Kapitel 6:
Die Nachfrage
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
ews.tu-dortmund.de → ‘Mikro¨okonomie’
1 / 76
Outline
normale und inferiore G¨uter
Einkommensexpansionspfad und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
2 / 76
Nachfragefunktionen von Individuen
Optimale Konsumentscheidung (x1 , x2 ) als Funktion
der Preise p1 , p2
und
des Einkommens m :
x1 = x1 (p1 , p2 , m)
x2 = x2 (p1 , p2 , m)
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
3 / 76
Nachfragefunktion bei perfekten Substituten
u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2 (a, b > 0)
Gut 2
Fall MRS = − ba < − pp12
⇔ p1 < p2 ·
a
b
Steigung: MRS = − ba
(‘Gut 1 ist relativ billig.’)
m
p2
Steigung: − pp12
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
⇒ x(p1 , p2 , m) =
m
p1
m
p1 , 0
Gut 1
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Nachfragefunktion bei perfekten Substituten
u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2 (a, b > 0)
Gut 2
Fall MRS = − ba > − pp12
m
p2
⇔ p1 > p2 ·
a
b
(‘Gut 1 ist relativ teuer.’)
⇒ x(p1 , p2 , m) = 0, pm2
m
p1
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Gut 1
5 / 76
Nachfragefunktion bei perfekten Substituten
u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2 (a, b > 0)
Gut 2
Fall MRS = − ba = − pp12
m
p2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
⇔ p1 = p2 ·
a
b
(‘G¨
uter 1 & 2 relativ gleich teuer.’)
⇒ jedes G¨
uterb¨
undel auf der
Budgetgerade ist optimal.
m
p1
Gut 1
6 / 76
Nachfragefunktion bei perfekten Substituten
u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2 (a, b > 0)
x(p1 , p2 , m)
m
,
0
p1
= {x1 , x2 ≥ 0 : p1 · x1 + p2 · x2 = m}
0, m
p2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
, falls −
, falls −
, falls −
p1
p2
p1
p2
p1
p2
> − ba
= − ba
< − ba
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Nachfragefunktion bei perfekten Komplementen
u(x1 , x2 ) = min {a · x1 , b · x2 }, (a, b > 0)
Gut 2
m
p2
p1
·x
1
+
p2
·x
2
0
Mikro¨
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a · x1
=
=b
· x2
m
m
p1
Gut 1
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Nachfragefunktion bei perfekten Komplementen
u(x1 , x2 ) = min {a · x1 , b · x2 }, (a, b > 0)
x(p1 , p2 , m) =
Mikro¨
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a·m
b·m
,
b · p1 + a · p2 b · p1 + a · p2
9 / 76
Nachfragefunktion bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = x1c · x2d (c, d > 0)
Gut 2
x2
x1
MRS = − dc ·
= − pp12
m
p2
Mikro¨
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x∗
⇒ x1∗ =
c
c+d
·
m
p1 ,
x2∗ =
d
d+c
·
m
p2
p1 · x1 + p2 · x2 = m
m
p1
Gut 1
10 / 76
Nachfragefunktion bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = x1c · x2d (c, d > 0)
x(p1 , p2 , m) =
Mikro¨
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d
m
m
c
· ,
·
c + d p1 c + d p2
11 / 76
Nachfragefunktion bei quasilinearen Pr¨aferenzen
Gut 2
MRS = −v 0 (x1 )
Tangentialbedingung:
−v 0 (x1∗ ) = − pp21
m
p2
Budgetbedingung:
x∗
p1 · x1 + p2 · x2 = m
⇒ x1∗ , x2∗
Indifferenzkurve
Indifferenzkurven
Budgetgerade
Mikro¨
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m
p1
Gut 1
12 / 76
Nachfragefunktion bei quasilinearen Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 f¨
ur v (x1 ) = ln(x1 )
v (x1 ) = ln(x1 ) ⇒ v 0 (x1 ) =
1
x1
p2 , m − 1
p p2
⇒ x(p1 , p2 , m) = 1 m,0
p1
Mikro¨
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, falls p2 < m
, falls p2 ≥ m
13 / 76
Ver¨anderung der Konsumentscheidung bei ver¨anderter
o¨konomischer Umgebung
Ver¨anderungen des Einkommens m
→
∂x(p1 ,p2 ,m)
∂m
Ver¨anderungen der Preise p1 und p2
→
∂x(p1 ,p2 ,m) ∂x(p1 ,p2 ,m)
,
∂p1
∂p2
Mikro¨
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14 / 76
normale und inferiore G¨uter
Einkommensexpansionspfad und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
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15 / 76
Ver¨anderung der Nachfrage bei Erh¨ohung des Einkommens
Definitionen: (i = 1, 2)
Normales Gut i:
die Nachfrage steigt im Einkommen.
Inferiores Gut i:
die Nachfrage sinkt im Einkommen.
Mikro¨
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∂xi (p,m)
∂m
∂xi (p,m)
∂m
>0
<0
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Ver¨anderung der Nachfrage bei Erh¨ohung des Einkommens
Die Budgetgerade verschiebt sich parallel nach außen.
Gut 2
m0
p2
Indifferenzkurven
→ normale G¨
uter 1 und 2
m
p2
Mikro¨
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x0
x
Budgetgeraden
m
p1
m0
p1
Gut 1
17 / 76
Ver¨anderung der Nachfrage bei Erh¨ohung des Einkommens
Beispiel: inferiores Gut
Gut 2
m0
p2
Indifferenzkurven
→ inferiores Gut 2
m
p2
Budgetgeraden
x
x0
m
p1
m0
p2
Gut 1
Von Gut 2 wird bei h¨
oherem Einkommen weniger nachgefragt.
Mikro¨
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Perfekte Substitute: normal oder inferior?
u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2 (a, b > 0)
x(p1 , p2 , m)
m
,
0
p1
= {x1 , x2 ≥ 0 : p1 · x1 + p2 · x2 = m}
0, m
p2
⇒
1
,
0
p1
∂x(p1 , p2 , m)
=
?
∂m
0, 1
p2
, falls −
, falls −
, falls −
, falls −
, falls −
, falls −
p1
p2
p1
p2
p1
p2
p1
p2
p1
p2
p1
p2
> − ba
= − ba
< − ba
> − ba
= − ba
< − ba
Nur das jeweils ‘relativ billige’ Gut ist ein normales Gut.
Mikro¨
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Perfekte Komplemente: normal oder inferior?
x(p1 , p2 , m) =
b·m
a·m
,
b · p1 + a · p2 b · p1 + a · p2
⇒
∂x(p1 , p2 , m)
=
∂m
b
a
,
b · p1 + a · p2 b · p1 + a · p2
Beide G¨
uter sind normale G¨
uter.
Mikro¨
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20 / 76
Cobb Douglas Pr¨aferenzen: normal oder inferior?
x(p1 , p2 , m) =
c
m
d
m
· ,
·
c + d p1 c + d p2
⇒
∂x(p1 , p2 , m)
=
∂m
c
1
d
1
· ,
·
c + d p1 c + d p2
Beide G¨
uter sind normale G¨
uter.
Mikro¨
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21 / 76
Quasilineare Pr¨aferenzen: normal oder inferior?
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 f¨
ur v (x1 ) = ln(x1 )
p2 , m − 1
p p2
x(p1 , p2 , m) = 1 m,0
p1
, falls p2 < m
, falls p2 ≥ m
⇒
1
∂x(p1 , p2 , m) 0, p2 =
1 ,0
∂m
p1
, falls p2 < m
, falls p2 ≥ m
F¨
ur kleine Einkommen ist nur Gut 1 normal, f¨
ur große Einkommen
ist nur Gut 2 normal.
Mikro¨
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22 / 76
normale und inferiore G¨uter
Einkommensexpansionspfad und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
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23 / 76
Einkommens-Konsumkurve
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Einkommen ab.
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Einkommens-Konsumkurve
Gut 1
24 / 76
Einkommenskonsumkurve bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Einkommen ab.
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Fall MRS = − ba < − pp12
(‘Gut 1 ist relativ billig.’)
Einkommenskonsumkurve
Gut 1
25 / 76
Einkommenskonsumkurve bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Einkommen ab.
Gut 2
Fall MRS = − ba > − pp12
Einkommenskonsumkurve
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
(‘Gut 1 ist relativ teuer.’)
Gut 1
26 / 76
EKK f¨ur u(x1 , x2 ) = min {a · x1 , b · x2 }
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Einkommen ab.
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Einkommenskonsumkurve
Steigung: ba
Gut 1
27 / 76
Einkommenskonsumkurve f¨ur u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Einkommen ab.
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Einkommenskonsumkurve
Steigung:
p1
p2
·
d
c
Gut 1
28 / 76
EKK f¨ur u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 (hier: v (x1 ) = ln(x1 ))
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Einkommen ab.
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Einkommenskonsumkurve
Gut 1
29 / 76
Engelkurve
Bildet alle optimalen Konsumentscheidungen bez¨
uglich eines Gutes
bei variierendem Einkommen ab.
m
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Engelkurve
Gut 1
30 / 76
Engelkurve bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Bildet alle optimalen Konsumentscheidungen bez¨
uglich eines Gutes bei variierendem
Einkommen ab.
x1 (p1 , p2 , m) =
m
m
p1
Fall MRS = − ba < − pp12
(‘Gut 1 ist relativ billig.’)
Engelkurve
steigender Verlauf: Gut 1 ist ‘normal’.
0
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Gut 1
31 / 76
Engelkurve bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Bildet alle optimalen Konsumentscheidungen bez¨
uglich eines Gutes bei variierendem
Einkommen ab.
m
x1 = 0
Fall MRS = − ba > − pp12
Engelkurve
(‘Gut 1 ist relativ teuer.’)
Gut 1 konstant: weder normal,
noch inferior.
0
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Gut 1
32 / 76
Engelkurve bei perfekten Komplementen
u(x1 , x2 ) = min {a · x1 , b · x2 } , (a, b > 0)
m
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Engelkurve
x1 (p1 , p2 , m) =
b·m
b·p1 +a·p2
steigender Verlauf: Gut 1 ist normal.
Gut 1
33 / 76
Engelkurve bei Cobb-Douglas Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = x1c · x2d (c, d > 0)
m
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Engelkurve
x1 (p1 , p2 , m) =
c
c+d
·
m
p1
steigender Verlauf: Gut 1 ist normal.
Gut 1
34 / 76
Engelkurve bei quasilinearen Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 (hier: v (x1 ) = ln(x1 ))
m
Engelkurve
(
x1 (p1 , p2 , m) =
m
p1
p2
p1
falls m ≤ p2
falls m > p2
Falls m ≥ p2 : ‘Einkommenseffekt = 0’
p2
Gut 1 normal, falls m < p2 .
p2
p1
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Gut 1
35 / 76
normale und inferiore G¨uter
Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
36 / 76
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
Definition Luxusgut:
Ein Gut ist ein Luxusgut, wenn das Verh¨altnis von
Einkommen zu nachgefragter Menge im Einkommen sinkt.
Definition notwendiges Gut:
Ein Gut ist ein notwendiges Gut, wenn das
Verh¨altnis von Einkommen zu nachgefragter
Menge im Einkommen steigt.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
37 / 76
Beispiel Maserati → Luxusgut
Einkommen m
600T
500T
Steigung: 500T/1
Steigung: 600T/2
1
2
# Maserati
Das Einkommen steigt
⇒ das Verh¨altnis von Einkommen zu # Maserati sinkt.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
38 / 76
Formale Definitionen
Gut 1 ist ein Luxusgut, falls
∂ x1 (p1m,p2 ,m)
∂x1 (p1 , p2 , m)
m
<0 ⇔
·
>1
∂m
∂m
x1 (p1 , p2 , m)
Gut 1 ist ein notwendiges Gut, falls
∂ x1 (p1m,p2 ,m)
∂x1 (p1 , p2 , m)
m
>0 ⇔
·
<1
∂m
∂m
x1 (p1 , p2 , m)
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
39 / 76
Engelkurve & Luxusgut
Falls die Engelkurve einen konkaven Verlauf hat, dann handelt es sich um ein Luxusgut.
Einkommen
Steigung: 1/x 0 (m)
Engelkurve
m
Steigung: m/x(m)
x(m)
1
x 0 (m)
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
<
nachgefragte Menge
m
m
⇔ x 0 (m) ·
>1
x(m)
x(m)
40 / 76
Homothetische Pr¨aferenzen
Monotone Pr¨aferenzen sind homothetisch, falls
sich die Indifferenzkurven entlang von Strahlen
durch den Ursprung (0,0) proportional ausbreiten.
Gut 2
α·x
α·y
x
y
Gut 1
Es gilt also:
Falls x ∼ y , dann α · x ∼ α · y f¨
ur alle α ≥ 0.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
41 / 76
Behauptung
Falls die Pr¨aferenzen f¨
ur die G¨
uter 1 und 2 homothetisch sind,
dann und nur dann gilt:
m
∂xi (p1 , p2 , m)
·
= 1 , i = 1, 2.
∂m
xi (p1 , p2 , m)
Ohne Beweis.
¨
Ubung:
zeigen Sie den Zusammenhang zwischen homothetischen
Pr¨aferenzen und der Form der Engelkurve grafisch!
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
42 / 76
Luxusg¨uter oder notwendige G¨uter?
I
perfekte Substitute
I
perfekte Komplemente
I
Cobb Douglas Pr¨aferenzen
lineare Engelkurven ⇒ homothetische Pr¨aferenzen!
I
quasilineare Pr¨aferenzen
nicht-lineare Engelkurve!
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
43 / 76
Quasilineare Pr¨aferenzen – Gut 1
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 (hier: v (x1 ) = ln(x1 ))
m
Engelkurve
m
ˆ
x1 (m)
ˆ
m
ˆ
p2
m
˜
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
˜
x1 (m)
˜
m
˜
p1
p2
p1
F¨
ur m ≥ p2 ist Gut 1 ein
notwendiges Gut.
= m/
ˆ pp21 > p1
= p1
Gut 1
44 / 76
normale und inferiore G¨uter
Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
45 / 76
Ver¨anderung der Nachfrage bei Ver¨anderungen von Preis 1
Definitionen: (i = 1, 2)
Gew¨
ohnliches Gut:
Die Nachfrage sinkt, wenn der Preis steigt:
Giffen-Gut:
Die Nachfrage steigt, wenn der Preis steigt:
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
∂xi (p1 ,p2 ,m)
∂pi
∂xi (p1 ,p2 ,m)
∂pi
<0
>0
46 / 76
Konsumentscheidung bei Reduktion des Preises f¨ur Gut 1
Die Budgetgerade dreht sich nach außen
Gut 2
p1 & p10
→ Gut 1 gew¨ohnlich
m
p2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
optimale Entscheidung bei p1
optimale Entscheidung bei p10
Anstieg
m
p1
m
p10
Gut 1
47 / 76
Konsumentscheidung bei Reduktion des Preises f¨ur Gut 1
Die Budgetgerade dreht sich nach außen
Gut 2
p1 & p10
→ Gut 1 Giffen
optimale Entscheidung bei p10
m
p2
optimale Entscheidung bei p1
R¨
uckgang
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p1
m
p10
Gut 1
48 / 76
normale und inferiore G¨uter
Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
49 / 76
Preis-Konsum-Kurve
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Preis ab.
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Preis-Konsum-Kurve
Gut 1
50 / 76
Preis-Konsum-Kurve bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Preis ab.
Gut 2
m
p2
m
p1
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p10
p1 >
a
b
· p2 (Gut 1 teuer)
p10 =
a
b
· p2 (G¨
uter 1 & 2 gleich teuer)
p100 <
a
b
· p2 (Gut 1 billig)
m
p100
Gut 1
51 / 76
Preis-Konsum-Kurve bei u(x1 , x2 ) = min{a · x1 , b · x2 }
Bildet alle optimalen G¨
uterb¨
undel bei variierendem Preis ab.
Gut 2
m
p2
x2 =
0
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p1
m
p10
m
p100
a
b
· x1
Gut 1
52 / 76
Preis-Konsum-Kurve bei quasilinearen Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 f¨
ur v (x1 ) = ln(x1 ) und m > p2
Gut 2
m
p2
1
x1
= p1
−1
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Gut 1
53 / 76
Preis-Konsum-Kurve bei quasilinearen Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 f¨
ur v (x1 ) =
√
x1
√
Falls v (x1 ) = x1 , dann h¨angt der Konsum von Gut 2 ebenfalls
von Preis p1 ab:
m
,
0
p1
x(p1 , p2 , m) = 2
p22 , m −
4p p2
1
p2
4p1
falls p1 <
p22
4m
falls p1 ≥
p22
4m
Die Preis-Konsum-Kurve ist in diesem Falle nicht-linear.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
54 / 76
Preis-Konsum-Kurve bei Cobb-Douglas Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
x(p1 , p2 ) =
m
d
m
c
· ,
·
c + d p1 c + d p2
Es gilt
∂x2 (p1 , p2 , m)
=0,
∂p1
daher ist die Preis-Konsum-Kurve eine Gerade
(parallel zur Achse von Gut 1).
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
55 / 76
Preis-Konsum-Kurve bei Cobb-Douglas Pr¨aferenzen
u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Preis-Konsum-Kurve
Gut 1
56 / 76
Partielle Nachfragekurve
Bildet alle optimalen Mengen eines Gutes bei variierendem
Preis ab. Der Preis f¨
ur das andere Gut und das Einkommen
sind konstant.
p1
x1 (p1 , p¯2 , m)
¯
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Gut 1
57 / 76
Partielle Nachfragekurve x1 (p1 ) bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Bildet alle optimalen Mengen eines Gutes bei variierendem Preis ab.
p1
∂x1 (p1 )
∂p1
< 0: Gut 1 ist gew¨ohnlich.
− pp12 < − ba
a
b
· p2
− pp12 = − ba
− pp21 > − ba
m
p1
0
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
a
p
b 2
x1 (p1 )
58 / 76
Partielle Nachfragekurve x1 (p1 )
bei u(x1 , x2 ) = min{a · x1 , b · x2 }
Bildet alle optimalen Mengen eines Gutes bei variierendem Preis ab.
p1
x1 (p1 ) =
b·m
b·p1 +a·p2
∂x1 (p1 )
∂p1
< 0:
Gew¨
ohnliches Gut 1X
0
0
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
b·m
b·0+a·p2
Gut 1
59 / 76
Partielle Nachfragekurve x1 (p1 )
bei u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 f¨
ur v (x1 ) = ln(x1 ) und m > p2
Bildet alle optimalen Mengen eines Gutes bei variierendem Preis ab.
p1
x1 (p1 , p¯2 , m)
¯ =
∂x1 (p1 )
∂p1
p
¯2
p1
< 0:
Gew¨
ohnliches Gut 1 X
0
0
Mikro¨
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Gut 1
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Partielle Nachfragekurve x1 (p1 )
bei u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
Bildet alle optimalen Mengen eines Gutes bei variierendem Preis ab.
p1
x1 (p1 , p¯2 , m)
¯ =
∂x1 (p1 )
∂p1
c
c+d
·
m
¯
p1
< 0:
Gew¨
ohnliches Gut 1 X
0
0
Mikro¨
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Gut 1
61 / 76
normale und inferiore G¨uter
Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
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Substitute und Komplemente
Definition Substitute:
G¨
uter 1 und 2 sind Substitute, wenn ein
Preisanstieg des einen Gutes einen Anstieg der
Nachfrage des anderen Gutes bewirkt.
Definition Komplemente:
G¨
uter 1 und 2 sind Komplemente, wenn ein
Preisanstieg des einen Gutes einen R¨
uckgang der
Nachfrage des anderen Gutes bewirkt.
Mikro¨
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Substitute oder Komplemente?
u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
x2 (p1 , p2 , m) =
0
, falls −
p1
p2
> − ba
m
, falls −
p1
p2
< − ba
p2
Preisanstieg von p1 <
a
b
· p2 auf p10 >
a
b
· p2 :
x2 (p10 , p2 , m) − x2 (p1 , p2 , m) =
F¨
ur alle anderen Anstiege von p1 gilt
Mikro¨
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m
−0>0
p2
∂x2 (p1 ,p2 ,m)
∂p1
= 0.
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Substitute oder Komplemente?
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2
F¨
ur die optimale Menge von Gut 1 gilt:
v 0 (x1 (p2 )) =
p1
p2
Betrachte Preis¨anderung f¨
ur Gut 2:
v 00 (x1 (p2 )) · x10 (p2 ) = −
p1
p22
Da v 00 (·) < 0:
⇒ x 0 (p2 ) > 0
Mikro¨
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Substitute oder Komplemente?
u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2
x1 (p1 , p2 , m) =
⇒
b·m
b · p1 + a · p2
∂x1 (p1 , p2 , m)
a·b·m
=−
<0
∂p2
(b · p1 + a · p2 )2
Mikro¨
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Substitute oder Komplemente?
u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
x1 (p1 , p2 , m) =
⇒
Mikro¨
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m
c
·
c + d p1
∂x1 (p1 , p2 , m)
=0
∂p2
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normale und inferiore G¨uter
Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve
Luxusg¨uter und notwendige G¨uter
gew¨ohnliche und Giffen G¨uter
Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve
Substitute und Komplemente
Inverse Nachfragefunktion
Mikro¨
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Nachfragefunktion und inverse Nachfragefunktion
Die Nachfragefunktion
misst die Menge x1 (p1 ) als Funktion des Preises p1 .
p1
Mikro¨
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x1 (p1 ):
Welche Menge von Gut 1 m¨ochte ich
bei gegebenem Preis p1 (pro Einheit)
kaufen?
x1 (p1 )
Gut 1
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Nachfragefunktion und inverse Nachfragefunktion
Die inverse Nachfragefunktion
misst den Preis p1 (x1 ) als Funktion der Menge x1 .
p1
p1 (x1 ):
Welchen Preis (pro Einheit) bin ich
bereit f¨
ur eine gegebene Menge von
Gut 1 zu bezahlen?
p1 (x1 )
Mikro¨
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Gut 1
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Inverse Nachfragefunktion
Bei u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
partielle Nachfragefunktion:
(
x1 (p1 , p2 , m) =
m
p1
, falls p1 <
0
, falls p1 >
Betrachte nur den Bereich p1 <
Mikro¨
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a
b
· p2
· p2
· p2
x1 (p1 ) =
x1 =
a
b
a
b
m
p1
m
m
⇔ p1 (x1 ) =
x1
p1 (x1 )
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Inverse Nachfragefunktion
Bei u(x1 , x2 ) = min{a · x1 , b · x2 }
partielle Nachfragefunktion:
x1 (p1 ) =
x1 =
b·m
b · p1 (x1 ) + a · p2
(
⇔ p1 (x1 ) =
Mikro¨
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b·m
b · p1 + a · p2
m
x1
0
−
a
b
· p2
falls x1 <
falls x1 ≥
b·m
a·p2
b·m
a·p2
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Inverse Nachfragefunktion
Bei u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2
partielle Nachfragefunktion erf¨
ullt:
∂v (x1 (p1 ))
p1
=
∂x1
p2
∂v (x1 )
p1 (x1 )
=
⇔ p1 (x1 ) = v 0 (x1 ) · p2
∂x1
p2
Mikro¨
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Inverse Nachfragefunktion
Bei u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
partielle Nachfragefunktion:
x1 (p1 ) =
m
c
·
c + d p1
Ebenso wie bei perfekten Substituten ist die nachgefragte Menge
proportional zum inversen Preis.
⇒
m
c
p1 (x1 ) =
·
c + d x1
Mikro¨
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Die Ableitung der inversen Nachfragefunktion
Definitionsgleichung der inversen Nachfragefunktion p1 (x1 ):
p1 (x1 (p1 )) = p1 .
Differenzierung nach p1 :
∂x1 (p1 )
∂p1 (x1 ) ·
=1
∂x1 x1 =x1 (p1 )
∂p1
Division durch x10 (p1 ):
p10 (x1 ) =
1
x10 (p1 )
“Die Ableitung der inversen Nachfragefunktion
entspricht der
Inversen der Ableitung der Nachfragefunktion.”
¨
Ubung:
verifizieren Sie diese Aussage f¨
ur einige ausgew¨ahlte
Nachfragefunktionen!
Mikro¨
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Summary
I
Die nachgefragte Menge eines Gutes ist im Allgemeinen eine
Funktion in den Preisen und im Einkommen.
I
Falls das Einkommen steigt, wird von einem normalen Gut
mehr und von einem inferioren Gut weniger nachgefragt.
I
Falls der Preis steigt, wird von einem gew¨
ohnlichen Gut
weniger und von einem Giffen Gut mehr nachgefragt.
I
Das Verh¨altnis von Einkommen zu nachgefragter Menge sinkt
bei Luxusg¨
utern und steigt bei notwendigen G¨
utern.
I
Ist Gut 1 ein Komplement von Gut 2, dann steigt die
nachgefragte Menge von Gut 1, falls der Preis von Gut 2 sinkt.
I
Ist Gut 1 ein Substitut von Gut 2, dann steigt die nachgefragte
Menge von Gut 1, falls der Preis von Gut 2 steigt.
I
Die Steigung der inversen Nachfragefunktion ist die Inverse
der Steigung der Nachfragefunktion.
Mikro¨
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