Aspekte der konvexen und nichtlinearen Analysis

Aspekte der konvexen und
nichtlinearen Analysis
J. Baumeister1
16. April 2015
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Vorwort
Die Welt ist nichtlinear. Die Linearität ist eine
Erﬁndung der Mathematik zur Vereinfachung der
Berechnungen
G. Strunk und G. Schiepek
Die Lösung von Gleichungen ist eine Grundaufgabe der Mathematik, im wesentlichen lassen
sich die wichtigen Probleme der Angewandten Mathematik darauf reduzieren. Die GleichungsAufgabe wird formuliert als
G(x) = y
(1)
Dabei sind X, Y Banachräume1 , U ⊂ X, G : U −→ Y, y ∈ Y . Unter Lösen von (1) haben wir zu
verstehen: Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung x ∈ U und der stetigen Abhängigkeit einer Lösung von der rechten Seite der Gleichung. Diese Forderungen entsprechen der Deﬁnition von well-posedness/Gutgestelltheit nach Hadamard (≈ 1900). Sind diese Forderungen bei einer Aufgabe nicht alle erfüllt, spricht man von ill-posedness/Schlechtgestelltheit.
Hinzu kommt in der angewandten Mathematik die Forderung nach der stabilen (approximativen) Berechnung einer Lösung. Mit Stabilität ist gemeint, dass sich Fehler in den Daten der
Aufgabe und Approximations- und Rundungsfehlern nicht „dramatisch“ auf das Rechenergebnis
auswirken. Bei ill-posedness stellt diese Forderung eine große Herausforderung dar.
Durch die Gleichung (1) werden miterfasst Fixpunktgleichungen
Fx = x
(2)
durch die Umformulierung Gx := F x − x, y := θ , Umgekehrt, jede Gleichung (1) kann in eine
Fixpunktgleichung (2) umgeschrieben werden mittels F (x) := G(x) + x − y . Das Eigenwertproblem
Rx = λx
(3)
ordnet sich unter (1) ein durch die Umformulierung G(x, a) := (Rx − ax, �x� − 1), y := (θ, 0) .
Im endlichdimensionalen Kontext wird die Lösung von Gleichungen im linearen Fall durch
Resultate der Linearen Algebra und der Numerischen Linearen Algebra, im nichtlinearen Fall
durch Resultate der (Höheren) Analysis und der Numerischen Analysis abgedeckt. Im unendlichdimensionalen Kontext sind die Ergebnisse der linearen Funktionalanalysis für eine erfolgreiche
Behandlung von linearen Gleichungen heranzuziehen. Bei der Betrachtung von nichtlinearen
Gleichungen bedient man sich meist der Linearisierungstechnik: Bestimmung der Lösungsstruktur in der Nähe einer Lösung, Berechnung einer (isolierten) Lösung. In der globalen Analysis die
Bestimmung ist die Gesamtheit der Lösungen im Fokus.
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Wir hinterfragen die Ergebnisse meist nicht, ob sie auch für nichtvollständige normierte Räume gültig sind.
Meist sieht man an den Beweisen der Resultate, dass die Annahme der Vollständigkeit notwendig ist.
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Die Themen der Nichtlinearen Funktionalanalysis sind vielfältig. Sie unterscheiden sich
meist schon im Ansatz: Erweiterungen der Sätze aus der Linearen Funktionalanalysis, lokale
bzw. globale Perspektive, geometrische versus analytische Aufbereitung der Probleme, . . . . Eine
Kanonisierung des Gebiets Nichtlinearen Funktionalanalysis liegt eigentlich noch nicht vor. Frühe
Versuche einer umfassenden Darstellung der Themen sind etwa [1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17,
16, 19, 18, 21]. Lehrbücher zur Nichtlinearen Funktionalanalysis sind meist ausgerichtet auf eine
spezielle Anwendungsperspektive.
Konvexität spielt bei der Entwicklung der Nichtlinearen Analysis eine bedeutende Rolle,
zum Einen als Werkzeug (Einsatz von Resultaten, Diﬀerenzierbarkeit,. . . ), zum Anderen bei der
Herleitung von Ergebnissen (Fixpunktsätze, nichtexpansive Operatoren, . . . ). Wir bedienen uns
der Ergebnisse aus dem Skriptum zur „Konvexen Analysis“ aus dem Wintersemester 2014/15
([2]); siehe auch [10, 12, 14]. Dort ﬁndet man auch umfangreiche Literatur zum Thema. Ein
zentrales Ergebnis auf der Brücke von konvexer Analysis zur nichtlinearen Analysis wird das
Variationslemma von Ekeland sein; siehe [7]. Es ist von gro¨ser Bedeutung bei der Behandlung
von variationellen Problemen; siehe etwa [20].
Frankfurt, im April 2015
Johann Baumeister
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Literaturverzeichnis
[1] J. Appell and M. Väth. Elemente der Funktionalanalysis. Vieweg, Braunschweig, 2005.
[2] J. Baumeister. Konvexe Analysis, 2014. Skriptum WiSe 2014/15, Goethe–Universität Frankfurt/Main.
[3] M. Berger. Nonlinear functional analysis. Springer, New York, 1977.
[4] J. Cronin. Fixed points an topological degree in nonlinear analysis. Amer. Math. Soc., Providence,
1964.
[5] K. Deimling. Nonlinear Functional analysis. Springer, Berlin, 1985.
[6] G. Eisenack and C. Fenske. Fixpunkttheorie. Taschenbuch. Springer, 1978.
[7] I. Ekeland. On the variational principle. J. Math. Anal. Applic., 47:325–353, 1974.
[8] H. Gajewski K. Gröger and K. Zacharias. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordiﬀerentialgleichungen. Akademie-Verlag, Berlin, 1974.
[9] H. Jeggle. Nichtlineare Funktionalanalysis. Teubner, Stuttgart, 1979.
[10] J.T. Marti. Konvexe Analysis. Birhäuser, Basel, 1977.
[11] L. Nirenberg. Topics in nonlinera functional analysis. Courant Institute of Math.Sci., New York,
1974.
[12] R.R. Phelps. Convex functions, monotone operators and diﬀerentiability. Springer, Berlin, 1993.
[13] T. Riedrich. Vorlesung über nichtlineare Operatorgleichungen. Teubner, Leipzig, 1976.
[14] R.T. Rockafellar. Convex analysis. Princeton University press, Princeton, 1970.
[15] M. Ruzicka. Nichtlineare Funktionalanalysis. Springer, Berlin, 2007.
[16] R. Schätzle. Nichtlineare Funktionalanalysis, 2011. http://www.math.uni-tuebingen.de.
[17] J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon & Beach, 1969.
[18] B. Schweizer. Nichtlineare Analysis, 2010. http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/schweizer.
[19] B. Schweizer. Partielle Diﬀerentialgleichungen, 2011. http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/schweizer.
[20] M. Struwe. Variational Methods. Springer, New York, 2000.
[21] E. Zeidler. Nonlinear functional analysis, Part I-IV. Springer, New York, 1991.
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