T3pBlatt05

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Ubungen
zur Vorlesung
Elektrodynamik (T3p)
SoSe 2015
Blatt 5
Aufgabe 1: Methode der Bildladungen (*)
Eine Punktladung Q sei am Ort ~r0 = (a, b, 0), a, b > 0, vor zwei sich im rechten Winkel schneidenden, geerdeten Metallplatten, den beiden leitenden Halbebenen (x ≤ 0, y = 0, z) und (x = 0, y ≤
0, z), fixiert.
a) Bestimmen Sie das gesamte elektrostatische Potential mittels Bildladungen.
b) Berechnen und interpretieren Sie die auf die Ladung wirkende Kraft!
c) Berechnen Sie die induzierte Oberfl¨achenladung auf den Metallplatten.
Hinweis: F¨
ur die induzierte Oberfl¨achenladung σ auf der Oberfl¨ache ∂V gilt der Zusammenhang mit dem elektrischen Feld und dem Normalenvektor der Oberfl¨ache
~ ∂V
σ = 0~n · E|
¨
d) Uberlegen
Sie sich graphisch, d.h. ohne explizite Rechnung, wie viele Bildladungen man
einf¨
uhren m¨
usste um das Problem korrekt zu beschreiben, wenn sich die Platten unter einem
Winkel von 30◦ schneiden.
Aufgabe 2: Potential zweier Dr¨
ahte (*)
Zwei unendlich lange Dr¨
ahte verlaufen parallel zur x-Achse im Abstand 2d (siehe Grafik) und
tragen dabei gleichf¨
ormige Ladungsdichten +λ und −λ.
a) Bestimmen Sie das Potential V (~x) an jedem Punkt (x,y,z) und verwenden Sie dabei den
Ursprung als Referenzpunkt.
Hinweis: Es empfiehlt sich zun¨
achst das elektrische Feld eines einzelnen Drahtes mit Hilfe
des Gesetzes von Gauß zu bestimmen, dann eine Superposition zweier Dr¨ahte zu betrachten
~ r) = −∇V
~ (~r) zu bestimmen. Benutzen Sie
und letztlich das Potential aus der Relation E(~
hierbei die Identit¨
at:
2x
d
ln x2 + a2 = 2
.
dx
x + a2
¨
b) Zeigen Sie, dass die Aquipotentialfl¨
achen V (~x) = V0 = const. kreisf¨ormige Zylinder sind und
bestimmen Sie die Achse und den Radius eines Zylinders mit dem Potential V0 .
c) Was erhalten Sie aus Ihren Formeln f¨
ur den Fall V0 = 0. Wie l¨asst sich dies erkl¨aren?
1
Aufgabe 3: Sph¨
arischer Leiter (*)
Betrachten Sie zun¨
achst eine geerdete Kugelschale mit Radius R, sowie eine Ladung q an der
Position a~ez , mit a < R (siehe Abb. 1).
Abb. 1: Kugelschale mit Ladung im Inneren
a) Argumentieren Sie, an welcher Position man eine Bildladung q 0 platzieren m¨
usste, um das
Problem der geerdeten Kugelschale mit Ladung im Inneren richtig zu beschreiben.
b) Geben Sie das Potential V (~r) allgemein im gesamten Raum an.
c) Nehmen Sie nun an, dass f¨
ur die Bildladung gilt
q0 = −
qR
.
a
Bestimmen Sie damit die Position der Bildladung um das Problem der geerdeten Kugelschale
zu l¨osen. Zeigen Sie insbesondere, dass damit gilt: V (|~r| = R) = 0.
d) Bestimmen Sie die Ladungsdichte σ und die Gesamtladung auf der Oberfl¨ache des obigen
Leiters. Stimmt diese Gesamtladung mit der Erwartung vom Gauß’schen Gesetz in integraler
Form u
¨berein?
Betrachten Sie nun einen geerdeten Leiter bestehend aus der Ebene z = 0 zusammen mit der
Halbkugel mit Gleichung x2 + y 2 + z 2 = R2 , z > 0 (siehe Abb. 2).
Abb. 2: Metallplatte mit Delle
e) Bestimmen Sie eine Anordnung von Bildladungen f¨
ur eine Punktladung q an der Position
(x0 , y0 , z0 ) mit x20 + y02 + z02 > R2 und z0 > 0 in dieser Anordnung von Leitern.
Bei Fragen E-Mail an: [email protected]
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