Wie teilt man ein Kuchenstück gerecht?? Die - sturzhang.de

Wie teilt man ein Kuchenstu
¨ ck gerecht??
Wasilij Barsukow, Fr¨
uhling 2006 / Winter 2008
Die Aufgabe ist einfach und lebensnah: Gegeben ist ein Tortenst¨
uck von dreieckiger Form
und man soll dieses in gleich große Teile zerschneiden, und zwar mit Schnitten, die nicht
strahlenf¨ormig aus der engsten Stelle des St¨
ucks gehen, sondern senkrecht“, so wie in
”
Abb. 1 dargestellt.
Abbildung 1: Wie soll man die Schnitte ansetzen, um das Kuchenst¨
uck gerecht zu teilen?
Das Problem ist nat¨
urlich ¨aquivalent zu jenem, bei dem man nur den (in L¨angsrichtung)
halben Kuchen teilt (Abb. 2). Dabei heiße die kurze, zu den Schnitten parallele Seite
Grundseite. Das St¨
uck sei x lang, wenn man von der Spitze bis zur Grundseite misst.
¨
Mit dem halben Offnungswinkel
α eines solchen St¨
ucks ist die Grundseite dann y =
x tan α. Das Kuchenst¨
uck soll in n Teile geteilt werden, welche mit 1, 2, ..., n bei der
Spitze angefangen durchnummeriert werden. Bei konstanter H¨ohe des Kuchenst¨
ucks ist
die Zerteilung der Fl¨ache wesentlich.
Bei einer speziellen Wahl von n kann man die Gr¨oße des i-ten St¨
ucks rekursiv berechnen,
indem man bei der Fl¨ache des Dreiecks an der Spitze (j = 1) anf¨angt und dann die
u
¨brigen Trapeze aller j nacheinander ausrechnet, bis man bei i ankommt. Das ist nicht nur
m¨
uhselig, sondern auch schlecht zu verallgemeinern. Es soll also eine explizite Darstellung
f¨
ur die Breite des i-ten St¨
ucks das Ziel unserer Rechnungen sein.
2
α
= x tan
. Das Dreieck ABC (Abb. 2) habe die
Die Gesamtfl¨ache des St¨
ucks ist F = xy
2
2
2
x tan α
Fl¨ache F . Zum einen gilt analog F =
, zum anderen ist das aber die Summe aller
2
Teile des Kuchenst¨
ucks, die vor dem jetzt betrachteten, i-ten St¨
uck, liegen. Da jedes die
F
F
x 2 tan α
Fl¨ache n haben soll, folgt f¨
ur das Dreieck F = n (i − 1):
= Fn (i − 1) oder
2
x =
2F (i − 1)
n tan α
Wir wissen aber auch, dass das i-te Teil des Kuchenst¨
ucks ein Trapez ist, dessen Fl¨achen2 tan α
z
inhalt sich als Fn = y ·zi + i 2 (entspricht FQuadrat +FDreieck ). Wiederum mit y = x tan α
ergibt sich:
1
Abbildung 2: Definitionen
F
n
= x tan α · zi +
z 2 tan α
2
F
tan α
+ zi · x tan α −
2
n
2F
0 = zi2 + zi · 2x −
n tan α
2F
zi = −x ± x 2 +
n tan α
0 = zi2 ·
Dabei ist nur die positive L¨osung sinnvoll. Einsetzen von x ergibt:
2F (i − 1)
2F (i − 1)
2F
+
+
n tan α
n tan α
n tan α
2F (i − 1)
2F i
= −
+
n tan α
n tan α
√
√
2F
=
·
i− i−1
n tan α
zi = −
zi
zi
Mit F =
x2 tan α
2
wird
2F
n tan α
=
√x :
n
zi =
√x
n
·
√
√
i− i−1
2
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
√
√
i− i−1
1
0,414
0,318
0,268
0,236
0,213
0,196
0,183
0,172
0,162
0,113
0,071
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
√1
n
1
0,707
0,577
0,5
0,447
0,408
0,378
0,354
0,333
0,316
0,224
0,141
Tabelle 1: Ausgew¨ahlte Werte hier aufgetauchter Zahlenfolgen
Die Gr¨oße des ersten, dreieckigen St¨
ucks ist offensichtlich √xn , so dass die im linken Teil
der Tabelle aufgef¨
uhrten Werte als Anteile der u
ucke im Vergleich zum ersten zu
¨brigen St¨
verstehen sind. Gleichzeitig sind dort auch die Werte f¨
ur √1n tabelliert (rechte Spalte). Diese entsprechen dem Anteil der Breite des ersten Teils zur Gesamtl¨ange des Kuchenst¨
ucks.
Dabei wird deutlich, dass im Falle einer Zweiteilung des Kuchenst¨
ucks das schmalere etwa
70% der Gesamtl¨ange wegnimmt, im Falle einer Vierteilung sogar genau die H¨alfte. Erst
ab etwa 20 Teilen nimmt es weniger als ein Viertel ein. Damit wird deutlich, dass, wer
schon einmal der Herausforderung gegen¨
uber stand, das Kuchenst¨
uck auf diese Weise zu
teilen, er sich wahrscheinlich versch¨atzt hat! In Abb. 3 sind einige Aufteilungen des Kuchenst¨
ucks maßstabsgetreu dargestellt. Dabei sind nur die relativen Verh¨altnisse relevant,
da alle zi proporional x sind.
3
Abbildung 3: Einige Aufteilungen des Kuchenst¨
ucks
4

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