Wie teilt man ein Kuchenstu ¨ ck gerecht?? Wasilij Barsukow, Fr¨ uhling 2006 / Winter 2008 Die Aufgabe ist einfach und lebensnah: Gegeben ist ein Tortenst¨ uck von dreieckiger Form und man soll dieses in gleich große Teile zerschneiden, und zwar mit Schnitten, die nicht strahlenf¨ormig aus der engsten Stelle des St¨ ucks gehen, sondern senkrecht“, so wie in ” Abb. 1 dargestellt. Abbildung 1: Wie soll man die Schnitte ansetzen, um das Kuchenst¨ uck gerecht zu teilen? Das Problem ist nat¨ urlich ¨aquivalent zu jenem, bei dem man nur den (in L¨angsrichtung) halben Kuchen teilt (Abb. 2). Dabei heiße die kurze, zu den Schnitten parallele Seite Grundseite. Das St¨ uck sei x lang, wenn man von der Spitze bis zur Grundseite misst. ¨ Mit dem halben Offnungswinkel α eines solchen St¨ ucks ist die Grundseite dann y = x tan α. Das Kuchenst¨ uck soll in n Teile geteilt werden, welche mit 1, 2, ..., n bei der Spitze angefangen durchnummeriert werden. Bei konstanter H¨ohe des Kuchenst¨ ucks ist die Zerteilung der Fl¨ache wesentlich. Bei einer speziellen Wahl von n kann man die Gr¨oße des i-ten St¨ ucks rekursiv berechnen, indem man bei der Fl¨ache des Dreiecks an der Spitze (j = 1) anf¨angt und dann die u ¨brigen Trapeze aller j nacheinander ausrechnet, bis man bei i ankommt. Das ist nicht nur m¨ uhselig, sondern auch schlecht zu verallgemeinern. Es soll also eine explizite Darstellung f¨ ur die Breite des i-ten St¨ ucks das Ziel unserer Rechnungen sein. 2 α = x tan . Das Dreieck ABC (Abb. 2) habe die Die Gesamtfl¨ache des St¨ ucks ist F = xy 2 2 2 x tan α Fl¨ache F . Zum einen gilt analog F = , zum anderen ist das aber die Summe aller 2 Teile des Kuchenst¨ ucks, die vor dem jetzt betrachteten, i-ten St¨ uck, liegen. Da jedes die F F x 2 tan α Fl¨ache n haben soll, folgt f¨ ur das Dreieck F = n (i − 1): = Fn (i − 1) oder 2 x = 2F (i − 1) n tan α Wir wissen aber auch, dass das i-te Teil des Kuchenst¨ ucks ein Trapez ist, dessen Fl¨achen2 tan α z inhalt sich als Fn = y ·zi + i 2 (entspricht FQuadrat +FDreieck ). Wiederum mit y = x tan α ergibt sich: 1 Abbildung 2: Definitionen F n = x tan α · zi + z 2 tan α 2 F tan α + zi · x tan α − 2 n 2F 0 = zi2 + zi · 2x − n tan α 2F zi = −x ± x 2 + n tan α 0 = zi2 · Dabei ist nur die positive L¨osung sinnvoll. Einsetzen von x ergibt: 2F (i − 1) 2F (i − 1) 2F + + n tan α n tan α n tan α 2F (i − 1) 2F i = − + n tan α n tan α √ √ 2F = · i− i−1 n tan α zi = − zi zi Mit F = x2 tan α 2 wird 2F n tan α = √x : n zi = √x n · √ √ i− i−1 2 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 √ √ i− i−1 1 0,414 0,318 0,268 0,236 0,213 0,196 0,183 0,172 0,162 0,113 0,071 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 √1 n 1 0,707 0,577 0,5 0,447 0,408 0,378 0,354 0,333 0,316 0,224 0,141 Tabelle 1: Ausgew¨ahlte Werte hier aufgetauchter Zahlenfolgen Die Gr¨oße des ersten, dreieckigen St¨ ucks ist offensichtlich √xn , so dass die im linken Teil der Tabelle aufgef¨ uhrten Werte als Anteile der u ucke im Vergleich zum ersten zu ¨brigen St¨ verstehen sind. Gleichzeitig sind dort auch die Werte f¨ ur √1n tabelliert (rechte Spalte). Diese entsprechen dem Anteil der Breite des ersten Teils zur Gesamtl¨ange des Kuchenst¨ ucks. Dabei wird deutlich, dass im Falle einer Zweiteilung des Kuchenst¨ ucks das schmalere etwa 70% der Gesamtl¨ange wegnimmt, im Falle einer Vierteilung sogar genau die H¨alfte. Erst ab etwa 20 Teilen nimmt es weniger als ein Viertel ein. Damit wird deutlich, dass, wer schon einmal der Herausforderung gegen¨ uber stand, das Kuchenst¨ uck auf diese Weise zu teilen, er sich wahrscheinlich versch¨atzt hat! In Abb. 3 sind einige Aufteilungen des Kuchenst¨ ucks maßstabsgetreu dargestellt. Dabei sind nur die relativen Verh¨altnisse relevant, da alle zi proporional x sind. 3 Abbildung 3: Einige Aufteilungen des Kuchenst¨ ucks 4
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