Parabelsegment

Parabelsegment
Gegeben ist die Normalparabel f (x) = x2 .
Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite d = 2 wandert auf der x-Achse entlang und
legt damit ein Parabelsegment fest. F¨
ur welchen Streifen ist die Fl¨
ache des Segments maximal?
y
3
2
1
-2
-1
1
c Roolfs
1
2
x
Maximales Parabelsegment
Gegeben ist die Normalparabel f (x) = x2 .
Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite d = 2 wandert auf der x-Achse entlang und
legt damit ein Parabelsegment fest. F¨
ur welchen Streifen ist die Fl¨
ache des Segments maximal?
y
3
B
2
1
A
-2
-1
1
2
L¨
osung:
A u | u2 , B u + d | (u + d)2
Sekante y = (2u + d)x − u(u + d) Die Betrachtung eines Trapezes reicht.
1
A = 6 d3
Alle Segmente sind gleich groß.
c Roolfs
2
x
L¨osung eleganterer Art
Gegeben ist die Normalparabel f (x) = x2 .
Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite d = 2 wandert auf der x-Achse entlang und
legt damit ein Parabelsegment fest. F¨
ur welchen Streifen ist die Fl¨
ache des Segments maximal?
y
y
3
3
B
2
1
1
A
-2
-1
B
2
A
1
2
x
-2
-1
1
2
x
1
2
x
y
3
2
1
-2
-1
L¨
osung:
Die Differenzfunktion lautet aufgrund der Nullstellen
g(x) = −(x − u)(x − (u + d))
Durch eine Verschiebung um u bleibt der Fl¨
acheninhalt erhalten.
∗
2
g (x) = −x(x − d) = −x + dx
Durch Integration in den Grenzen 0 und d erhalten wir:
1
A = 6 d3
c Roolfs
3
y
3
B
2
1
A
-2
-1
1
x
2
Der Inhalt des Parabelsegmentes h¨
angt nur d ab. Diese Eigenschaft war schon Archimedes bekannt.
Aus der Linearit¨
at des Integrals folgt sofort, dass diese Eigenschaft allgemein f¨
ur jede quadratische
Funktion f (x) = ax2 + bx + c gilt.
Gibt es weitere Funktionen mit dieser Eigenschaft?
F¨
ur diese Funktionen m¨
usste gelten:
d
[f (x) + f (x + d) ]
|2
{z
}
Trapezfl¨ache
−
[F (x + d) − F (x) ] = C
|
{z
F′ = f
}
Fl¨ache unter dem Graphen von f
Wir leiten auf beiden Seiten ab.
d ′
′
2 [f (x) + f (x + d) ] − [f (x + d) − f (x) ] =
d
|2
[f ′ (x) + f ′ (x + d) ] =
{z
Trapezfl¨ache von f ′
}
0
[f (x + d) − f (x) ]
|
{z
}
Fl¨ache unter dem Graphen von f ′
Man f¨
uhre sich die Bedeutung der letzten Zeile vor Augen.
Die Trapezfl¨ache soll mit der Fl¨
ache unter dem Graphen von f ′ u
¨bereinstimmen.
Das kann nur f¨
ur lineare Funktionen von f ′ gelten, d. h. f muss quadratisch sein.
y
f′
3
2
1
-2
c Roolfs
4
-1
1
2
x
Segmentdreieck
Gegeben ist die Normalparabel f (x) = x2 .
Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite d = 2 wandert auf der x-Achse entlang und
legt damit ein Segmentdreieck fest. Die Spitze halbiert d.
F¨
ur welchen Streifen ist die Fl¨
ache des Segmentdreiecks maximal?
y
3
B
2
1
A
-2
-1
c Roolfs
5
1
2
x
Segmentdreieck
Durch eine Betrachtung dreier Trapeze ergibt sich
d3
ADreieck = 8 .
y
B
A
u
d
A = 2 [ (u + d)2 + u2 ]
d
d
d
d
A1 = 4 [ (u + 2 )2 + u2 ]
A2 = 4 [ (u + 2 )2 + (u + d)2 ]
ADreieck = A − A1 − A2
d3
Mit ASegment = 6
erhalten wir den Zusammenhang
4
A
= ASegment .
3 Dreieck
c Roolfs
6
u+d
x
Archimedes
Quadratur der Parabel
Archimedes (287 bis 212 v. Chr.) hatte die Idee, ein Parabelsegment durch Segmentdreiecke
auszusch¨
opfen. Dadurch gelang ihm die Bestimmung von Parabelfl¨
achen.
y
|
{z
d
d3
Wir ben¨
otigen nur ADreieck = 8
der Dreiecke.
1
d
f¨
ur
d
3
3
d
d
}
d
d, 2 , 4 , 8 , . . . und ber¨
ucksichtigen die Vielfachheit
d
3
ASegment = 8 [ d3 + 2 · ( 2 ) + 4 · ( 4 ) + 8 · ( 8 ) + . . . ]
d3
1
d3
d3
= 8 [ d3 + 4 + 16 + 64 + . . . ]
d3
1
= 8
1 − 41
unendliche geometrische Reihe
d3
= 6
c Roolfs
7
x

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