Übungsaufgaben Nr. 4 - Beuth Hochschule für Technik Berlin

Grundlagen digitaler Systeme (GDS)
Prof. Dr. Voß, L. Müller
Beuth Hochschule Berlin
Übungsaufgaben Nr. 4: Lösungen
Themen:
Schaltungsentwicklung mit Hilfe von
KV-Diagrammen (Wiederholung);
Realisierung von kombinatorischen Schaltungen
mit Multiplexern
Aufgabe 1
Ausgangsgleichung:
f(a,b,c,d) = ((b + d´)´ + (a´ + d)´ + (a´ + c + d´)´)´
a) Umwandlung in die konjunktive Form:
f´ = (b + d´)´ + (a´ + d)´ + (a´ + c + d´)´
f´´ = f = (b + d´) • (a´ + d) • (a´ + c + d´)
; Invertierung der Gleichung insgesamt
; „partielle“ Anwendung des Satzes von
; Shannon ergibt die konjunktive Form
b) Zur Ermittlung der mit 0 zu füllenden Felder am besten zunächst diese Gleichung komplett invertieren
(durch vollständige Anwendung des Satzes von Shannon):
f´ = (b´ • d) + (a • d´) + (a • c´ • d)
; eine disjunktive Form, die direkt die
; Fälle angibt, in den f = 0 gilt
Daraus ergibt sich folgendes KV-Diagramm:
- Felder mit 0 ausfüllen entsprechend der Gleichung
- restliche Felder mit 1 ausfüllen
- 1en bestmöglich zusammenfassen
d
f
a
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
b
c
Anmerkung:
Die eingezeichnete Zusammenfassung der Nullen dient nur Ihrer
Information; sie ist für die Aufgabenlösung nicht erforderlich.
c) Ableitung der Gleichung in disjunktiver Form:
f = (a´ • b) + (a´ • d´) + (b • c • d)
; disjunktive Form
f´ = (a´ • b)´ • (a´ • d´)´ • (b • c • d)´
; „partielle“ Anwendung des Satzes von
; Shannon eliminiert die ORs
f´´ = f = ((a´ • b)´ • (a´ • d´)´ • (b • c • d)´)´
GDS: Lösungen zu Übungsaufgaben Nr. 4 vom 28.05.2015
; Invertierung der Gleichung insgesamt
; ergibt die gewünschte reine NAND; Form
Seite 1 von 3
Grundlagen digitaler Systeme (GDS)
Prof. Dr. Voß, L. Müller
Beuth Hochschule Berlin
Übungsaufgaben Nr. 6: Lösungen
Aufgabe 2
Ausgangsgleichung ( = Ergebnis von Aufgabe 2):
oder
f = (a´ • b) + (a´ • d´) + (b • c • d)
; disjunktive Form
f = ((a´ • b)´ • (a´ • d´)´ • (b • c • d)´)´
; reine NAND-Form
Um die gefundenen Gleichungen mit einer Multiplexerschaltung zu realisieren, werden drei der vier
Eingangsvariablen mit den Steuereingängen des MUX verbunden. Laut vorliegender Aufgabenstellung sind
das die Variablen c...a; grundsätzlich ist die Zuordnung aber in beliebigen Kombinationen möglich.
Jede mögliche Kombination der Variablen c...a wählt genau einen Eingang des MUX aus, dessen Wert dann
auf den Ausgang geschaltet wird. Bezogen auf die Wahrheitstabelle wählt eine solche Kombination von c...a
genau zwei Zeilen aus, bezogen auf das KV-Diagramm genau zwei Felder. Den Unterschied zwischen
diesen beiden Zeilen bzw. Feldern macht die vierte Variable aus, in unserem Fall also d.
Zur nachfolgend wiedergegebenen Lösung gelangt man, indem man für jede mögliche Kombination von c...a
die beiden zugehörigen Zeilen der Tabelle bzw. Felder des Diagramms lokalisiert und ihren Inhalt betrachtet:
- sind beide 0, wird der MUX-Eingang direkt mit 0 (hardware-technisch: mit GND) verbunden
(in dieser Kombination von c...a ist die Funktion f also immer 0, unabhängig vom Wert von d)
- sind beide 1, wird der MUX-Eingang direkt mit 1 (hardware-technisch: mit +5V) verbunden
(in dieser Kombination von c...a ist die Funktion f also immer 1, unabhängig vom Wert von d)
- unterscheiden sich die Inhalte (also je einmal 0 und 1), wird der MUX-Eingang
- mit d verbunden, wenn der Inhalt der Zeile bzw. der Felder d entspricht, d.h. wenn die Funktion mit
d=0 ebenfalls 0 wird und mit d=1 ebenfalls 1
- mit d´ verbunden, wenn der Inhalt der Zeile bzw. der Felder dem Inversen von d entspricht, d.h.
wenn die Funktion mit d=0 1 wird und mit d=1 0.
Lösung:
d'
0
0
1
1
2
0
3
d'
4
0
5
1
6
d
7
MUX
Y
f
S2 S1 S0
c
b
a
GDS: Lösungen zu Übungsaufgaben Nr. 4 vom 28.05.2015
Seite 2 von 3
Grundlagen digitaler Systeme (GDS)
Prof. Dr. Voß, L. Müller
Beuth Hochschule Berlin
Übungsaufgaben Nr. 6: Lösungen
Bewertung der gefundenen Lösungen:
a)
Disjunktive Lösung:
benötigt werden
- 2 ANDs mit 2 Eingängen
- 1 AND mit 3 Eingängen
- 1 OR mit 3 Eingängen
außerdem 2 Inverter, wenn wir unterstellen, dass die Eingangsvariablen nur im Original
(also nicht invertiert) vorliegen.
b)
NAND-Lösung:
benötigt werden
- 2 NANDs mit 2 Eingängen
- 2 NANDs mit 3 Eingängen
außerdem 2 Inverter, wenn wir unterstellen, dass die Eingangsvariablen nur im Original
(also nicht invertiert) vorliegen.
c)
MUX-Lösung:
benötigt wird
- ein 8-zu-1-MUX.
Ø
Ø
Ø
Die MUX-Lösung ist in jedem Fall mit einem IC realisierbar (74LS151);
Die NAND-Lösung ist nur mit 2 ICs realisierbar (74LS10);
Die disjunktive Lösung ist nur mit 3 ICs realisierbar, weil die Inverter erforderlich sind.
Ø
Die MUX-Lösung ist damit die effizienteste (nur 1 IC)!
Ø
Die NAND-Lösung ist aufwendiger als die MUX-Lösung!
Ø
Die disjunktive Lösung ist die aufwendigste!
GDS: Lösungen zu Übungsaufgaben Nr. 4 vom 28.05.2015
Seite 3 von 3

Download Report