Blatt 10 - Mathematics TU Graz

Lineare Algebra II (NAWI)
SS2016
Übungsblatt №10
01.06.2016
Aufgabe 45. Seien A, B ∈ Kn×n . Zeige, daß spec AB = spec BA.
Aufgabe 46. Sei A ∈ Kn×n eine Matrix und p(x) ∈ K[x] ein Polynom sodaß p(A) = 0.
Zeige, daß alle Eigenwerte λ ∈ spec A die Gleichung p(λ) = 0 erfüllen.
Aufgabe 47. Eine Matrix A heißt nilpotent wenn es ein k gibt sodaß Ak = 0. Das kleinste
solche k heißt Index der Nilpotenz von A.
(a) Zeige, daß der Index einer nilpotenten n × n-Matrix höchstens n sein kann.
(b) Zeige, daß nilpotente Matrizen nicht diagonalisierbar sind (ausgenommen die Nullmatrix).
(c) Zeige, daß 0 der einzige Eigenwert einer nilpotenten Matrix ist.
Aufgabe 48. Sei A ∈ Kn×n eine diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten λ1 , λ2 , . . . , λn .
Zeige: es gibt Matrizen M1 , M2 , . . . , Mn ∈ Kn×n mit den Eigenschaften
1. idempotent Mi2 = Mi
2. Mi Mj = 0 wenn i 6= j
3. rank Mi = 1
sodaß
n
X
A=
λi Mi .
i=1
Zeige außerdem daß Ak =
Pn
k
i=1 λi Mi für alle k ∈ N.
Aufgabe 49. (a) Sei p(x) = c0 + c1 x + · · · + cn−1 xn−1 + xn ∈ K[x]. Zeige, daß p(x) genau
das charakteristische Polynom der Matrix


0 0 . . . 0 −c0
1 0 . . . 0 −c1 


0 1 . . . 0 −c2 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 −cn−1
ist.
(b) Sei K = C. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren für die n × nMatrix


0 0 ... 0 1
1 0 . . . 0 0


0 1 . . . 0 0


. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 ... 1 0
(c) Bestimme die Matrizen M1 , M2 , . . . , Mn aus Aufgabe 48.

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