DS 1 S.I.I. Etude des Systèmes Linéaires Continus Invariants CORRECTION Problème 1 – Contrôle de profondeur d’un sous-‐marin L’équation ci-‐dessous représente une modélisation simplifiée de la commande de profondeur d’un sous-‐marin. pc(t) correspond à la profondeur voulue et pr(t) est la profondeur réelle du sous-‐ marin (unité :m). La grandeur Cp(t) dans l’équation permet de prendre en compte les perturbations sous-‐marines lors de la plongée. Pour l’étude on prendra Cp(t)= où est une constante exprimé en m. (1) (K sans unité et positif) On étudie la plongée du sous-‐marin à partir de l’instant t0 où le sous-‐marin est sous-‐l’eau à une profondeur Pr0 à l’horizontal et à constante. A cet instant t0 le sous-‐marin est donc à vitesse l’équilibre et pc(t0)=0. 1-‐ Donner l’expression de Pr0 en fonction de K et de λ . On écrit l’équation (1) à t=t0. dp (t ) On a Cp(t)= λ , pr(t0)=Pr0 et r 0 = 0 car à t0 le sous-‐marin est à l’équilibre. dt L’équation (1) devient donc (1+K).pr0 = −λ soit pr0 = − 2-‐ Pour l’étude on propose d’étudiée le problème linéarisé autour du point d’équilibre en prenant comme profondeur réelle la variable r(t)=pr(t)-‐pr0. Ecrire l’équation différentielle (1) en fonction des variable r(t) et pc(t). L’équation (1) s’écrit ( d r(t)+pr0 dt ) +(1+K).r(t)+(1+K).p r0 = K.pc (t)− λ dr(t) +(1+K).r(t) = K.pc (t) D’où dt 3-‐ λ (1+K) Ecrire l’équation précédente dans le domaine de Laplace en prenant L(r(t)) = R(p) et L(pc (t)) = Pc (P) Toutes les variables sont maintenant à condition initiale nulle. En appliquant la transformée de Laplace à l’équation obtenue à la question 2, on a : p.R(p)+(1+K).R(p) = K.Pc (p) 4-‐ En déduire la fonction de transfert On a R(p) du système de contrôle de profondeur du sous-‐marin. Pc (P) R(p) K R(p) K = = . sous forme canonique Pc (p) 1+K +p Pc (p) 1+K Page 1 sur 4 1 p 1+ 1+K 5-‐ On impose une profondeur de consigne pc(t)=pc0 (type échelon). Déterminer l’expression de la profondeur r(∞) atteinte en régime permanent ( t → +∞ ) par le sous-‐marin. On a Pc (p) = Pc0 p d’où R(p) = pc0 K p 1+K +p On suppose que le système est stable (on verra plus tard que c’est le cas). Ainsi d’après le th. de la valeur finale lim r(t) = limR(p) = limp t→+∞ 6-‐ p→0 p→0 pc0 K K = p 1+K +p 1+K Le cahier des charges impose pour la valeur de r(∞) une précision de ± x% par rapport à la consigne pc0. Donner la condition sur K en fonction de x pour que le cahier des charges soit satisfait. ( ) ( ) ( ) K est forcément positif et on veut 1− 0,0X Pc0 ≤ r(∞) ≤ 1+ 0,0X Pc0 . Soit 1− 0,0X ≤ K ≤ 1+ 0,0X 1+K ( ) K K ≤ 1+ 0,0X est toujours vraie car ≤ 1 1+K 1+K 1− 0,0X La seconde inégalité donne K ≥ 0,0X 7-‐ Déterminer l’expression temporelle de r(t) en fonction de K et pc0. En déduire l’allure de r(t). p 1 1 K ou également R(p) = Kpc0 R(p) = c0 p 1+K +p p 1+K +p L’inégalité ( ) ( ) ! $ ! A B # & ce qui donne le système #" A +B = 0 On cherche A et B tels que R(p) = Kpc0 + # p 1+K +p & $# A(1+K) = 1 " % " 1 ! $ $$ A = 1 1+K d’où R(p) = K p # 1 + & On trouve # 1+K c0 # p 1+K +p & $B = − 1 " % $% 1+K ( ) ( Par transformée inverse, on obtient : r(t) = 8-‐ ) K p 1+ e−(1+K).t 1+K c0 ( ) D’après la question précédente, le contrôle de la profondeur du sous-‐marin est-‐il stable ? Justifié votre réponse. Le contrôle est stable car pour une consigne finie la réponse l’est aussi et sans oscillation importante. Page 2 sur 4 Problème 2 – Contrôle de gouverne d’un avion Sur les avions les gouvernes sont orientables afin de contrôler le comportement de l’avion. Comme le montre la figure ci-‐dessous, chaque gouverne permet l’orientation spatiale de l’avion lors de sa phase de vol. Le schéma fonctionnel ci-‐dessous représente la commande d’asservissement d’une gouverne. e(t) Potentiomètre ve(t) + (t) Amplificateur u(t) m(t) Actionneur (t) Réducteur _ v(t) Potentiomètre Le pilote de l’avion impose une orientation θe (t) (en rad) de la gouverne qui est commandée. On note θ(t) l’angle réel de la gouverne par rapport au fuselage de l’avion. Le système de commande est équipé de 2 potentiomètres. L’un permet de convertir l’angle de commande θe (t) en une tension ve(t) (en V) et l’autre l’angle θ(t) de la gouverne en une tension v(t). Les 2 potentiomètres sont identiques. La différence de tension ε(t) = v e (t)− v(t) est amplifiée (via un amplificateur) afin d’obtenir la tension u(t) de commande de l’actionneur de gouverne. L’angle de rotation en sortie d’actionneur est noté θm (t) . Entre l’actionneur et l’axe de rotation de la gouverne, est monté un réducteur afin d’abaisser la vitesse de rotation de la gouverne. Données : v (t) v (t) v 0 = o Pour les potentiomètres e = avec v0=130 V θe (t) θ (t) 2π o L’amplificateur est tel que u(t) = A.ε(t) avec A=90 (sans unité) o L’actionneur est modélisé par l’équation Tm -‐1 d2θm (t) dθm (t) + = Kmu(t) (condition initiales nulles) dt dt2 -‐1 Tm=0,128 s et Km=2,7 rad.s .V o Le réducteur est tel que θ(t) = α = 100 θm (t) Page 3 sur 4 Lors de l’étude aucune application numérique n’est demandée, les résultats seront donnés sous forme littérale. 1-‐ Ecrire les 5 équations précédentes dans le domaine de Laplace. Ve (t) = 2-‐ v0 2π Θe (t) V(t) = v0 2π Θ(t) U(p) = A.ε(p) Tmp2Θ(p)+pΘ(p) = KmU(p) Compléter le schéma-‐bloc suivant (A REPRODUIRE SUR LA COPIE): Ve(p) + e(p) (p) _ Θ(p) = α.Θm (p) m(p) U(p) A (p) V(p) 3-‐ A partir du schéma-‐bloc, montrer que l’expression de la fonction de transfert du système se met sous la forme Θ(p) 1 = 2 . Donner l’expression de B et de C. Θe (p) B.p + C.p +1 V0 Θ(p) = Θe (p) 2π A Km α p(1+ Tmp) V Km 1+ 0 A α 2π p(1+ Tmp) = V0 AKmα 2π V p(1+ Tmp)+ 0 AKmα 2π = 1 2πTm 2 2π p + p+1 V0 AKmα V0 AKmα B= 2πTm V0 AKmα 2π C= V0 AKmα Pour la suite de l’étude vous travaillerez avec les constantes B et C. 4-‐ Le pilote impose en entrée du système une consigne en échelon θe (t) = θ0 d’orientation de la gouverne. Déterminer l’angle de gouverne θ(∞) atteint par cette dernière en régime permanent. On a Θ(p) = θ0 d’où Θ(p) = 1 p Bp + Cp +1 θ0 2 p On suppose que le système est stable (on verra plus tard que c’est le cas). Ainsi d’après le th. de la valeur finale lim θ (t) = lim pΘ(p) = lim p t→+∞ 5-‐ p→0 p→0 θ0 1 = θ 2 p Bp + Cp +1 0 L’asservissement en orientation de la gouverne est-‐il précis ? Justifier votre réponse. La sortie du système est égale en régime permanent à la consigne. Le système est précis. Page 4 sur 4
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