chapitre Angles et parallélisme 10 Te souviens-tu ? 1.B ; 2.C ; 3.B ; 4.B ; 5.B. Activités 1 Découvrir le vocabulaire 1. Angles opposés par le sommet a) Le symétrique de la demi-droite [Ox) par rapport à O est la demi-droite [Ox’). Le symétrique de la demi-droite [Oy) par rapport à O est la demi-droite [Oy’). b) x’Oy’ est le symétrique par rapport à O de xOy. La symétrie centrale conserve les angles. Donc x’Oy’ et xOy ont la même mesure. c) Les angles xOy’ et x’Oy sont opposés par le sommet. 2. Angles adjacents, complémentaires, supplémentaires Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun et sont placés de part et d’autre de ce côté commun. Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90°. Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 180°. 2 Angles et parallélisme 1. Deux droites parallèles coupées par une sécante a) ySz’ et zRx’ mesurent 55°. On peut donc conjecturer que si deux droites sont parallèles alors les angles alternes – internes sont de même mesure. b) Le symétrique du point R par rapport à O est le point S. Le symétrique de la demi-droite [Rx’) par rapport à O est la demi-droite [Sy). c) Le symétrique de la demi-droite [Rz) par rapport à O est la demi-droite [Sz’). d) D’après les questions c) et d), le symétrique de l’angle zRx’ par rapport à O est l’angle ySz’. Or la symétrie centrale conserve les angles. Donc zRx’ et ySz’ sont de même mesure. e) z’Sy et y’Sz sont des angles opposés par le sommet. Or les angles opposés par le sommet sont de même mesure. Donc z’Sy et y’Sz sont de même mesure. 105 D’après la question d), zRx’ et ySz’ sont de même mesure. Donc zRx’ et y’Sz sont de même mesure. f) Si deux droites sont parallèles alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont de même mesure. 2. Angles alternes – internes égaux a) Je sais que le symétrique de xCz par rapport à I est un angle dont : – le sommet est le symétrique de C par rapport à I, donc c’est D ; – l’un des côtés est le symétrique de [Cz) par rapport à I, donc c’est [Dz’) ; – la mesure est égale à celle de xCz. Le symétrique de xCz par rapport à I est donc z’Dy’. b) z’Dy’ est le symétrique de xCz par rapport à I. Donc le symétrique de [Cx) par rapport à I est [Dy’). c) Les droites (xx’) et (yy’) sont symétriques par rapport à I. Or l’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Donc (xx’) et (yy’) sont parallèles. d) Si deux angles alternes – internes déterminés par deux droites (xx’) et (yy’) et une sécante sont de même mesure alors les droites (xx’) et (yy’) sont parallèles. e) La première propriété sert à trouver la mesure d’un angle. La deuxième propriété sert à démontrer que deux droites sont parallèles. 3 Somme des angles d’un triangle 1. De la conjecture… a) C 51° 55° A 74° B A + B + C = 55° + 74° + 51° = 180° c) On peut conjecturer que la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°. 2. … à la démonstration a) Je sais que : – les angles DAB et ABC sont alternes – internes ; – les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont de même mesure. Donc DAB = ABC. 106 b) Je sais que : – les angles EAC et BCA sont alternes – internes ; – les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont de même mesure. Donc EAC = BCA. c) L’angle DAE est un angle plat. DAB + BAC + CAE = 180° d) ABC + BAC + BCA = DAB + BAC + EAC = 180° e) La somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°. Exercices fondamentaux Vocabulaire 1 a) uOy et uOr sont adjacents. b) tOs et zOr sont opposés par le sommet. c) xOr et rOy sont adjacents et supplémentaires. d) tOv et zOu sont opposés par le sommet. e) tOv et vOx sont adjacents et complémentaires. f) sOy et sOt sont adjacents et complémentaires 2 a) yAu et vBt sont alternes – internes. b) yAu et xAv sont opposés par le sommet. c) yAu et uAx sont adjacents. d) yAu et zBu sont correspondants. e) xAu et vBz sont alternes – internes. f) xAu et uBt sont correspondants. 3 a) La droite (zt) est sécante aux droites (xy) et (uv). b) Les angles yCz et uDt sont alternes – internes. c) Les angles yCz et vDz sont correspondants. d) vDt et xCz sont alternes – internes. e) uDz et vDt sont opposés par le sommet. f) uDt et tDz sont adjacents. g) Il y a 2 angles adjacents à xCt : tCy et xCz. 4 a) Un triangle rectangle a 2 angles aigus complémentaires. b) Un triangle qui a ses 3 angles égaux est un triangle équilatéral. c) La somme des 3 angles d’un triangle est égale à 180°. d) Un triangle qui a 2 angles égaux est un triangle isocèle. 5 a) Les angles xAu et zBu sont correspondants. b) Les angles uBt et xAv sont alternes – internes. c) Si les droites (xy) et (zt) sont parallèles, les angles alternes – internes yAv et zBu sont égaux. d) xAu et uAy sont adjacents et supplémentaires. Définitions 6 Les angles complémentaires sont : GHI et STU ; ABC et MNO. Les angles supplémentaires sont : ABC et DEF ; JKL et VWX. 7 a) xAz et vAx sont adjacents. b) tAu et zAy ne sont pas adjacents. c) Les angles adjacents avec yAu sont : uAz, uAx, uAv, yAt, yAv et yAx. 107 d) Les angles opposés par le sommet sont : - yAu et xAv, - zAx et tAy, - yAz et xAt, - zAv et uAt, - uAz et vAt, - uAx et vAy. f) D 45° 8 a) G C F 45° v A t B E H FCD et AEC sont complémentaires et correspondants. A u vAt et tAu sont adjacents et complémentaires. b) z x O y xOz et zOy sont adjacents et supplémentaires. c) 9 a) Les angles alternes–internes sont : - yOr et vPs, - xOr et uOs. b) Les angles correspondants sont : - yOs et uPs, - uPr et yOr, - sOx et sPv, - rPv et rOx. c) Les angles opposés par le sommet sont : - yOs et rOx, - rOy et sOx, - uPr et sPv, - uPs et rPv. 10 a) et b) y BAC et EDF sont supplémentaires et non adjacents. d) Impossible. e) 133° 47° z O x c) L’angle zOx est un angle plat car les angles xOy et zOx sont adjacents et supplémentaires (xOy + yOz = 47° + 133° = 180°). 11 a) et b) v w ACE et BCD sont supplémentaires et opposés par le sommet. 108 A u c) wAv est un angle droit car wAv = uAv – uAw, wAv= 124° – 34° = 90°. 12 a) Les angles correspondants à l’angle yEs sont : - tBs, les deux droites sont (xy) et (tz), la sécante est (rs) ; - vAs, les deux droites sont (xy) et (uv), la sécante est (rs) ; - yFu, les deux droites sont (uv) et (rs), la sécante est (xy) ; - yDt, les deux droites sont (zt) et (rs), la sécante est (xy). b) Les angles tBr et xEs sont alternes – internes. Les angles tBr et uCz sont alternes – internes. 13 • Les angles HAB et RAS sont opposés par le sommet. • Les angles EBK et PBE sont adjacents et supplémentaires. • BAH et ABP sont alternes – internes. • HAB et KBE sont correspondants. • RAS et PBA sont correspondants. • ABK et KBE sont adjacents et supplémentaires. b) Le mot mystère est : SPHÈRE. Angles et parallélismes 14 a) Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. b) Il faut choisir la deuxième propriété car d’après le codage du dessin on sait que les angles uJt et uIy sont des angles correspondants égaux. 15 uOy et xOv sont des angles opposés par le sommet. Or si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux. Donc uOy = xOv = 117°. xOv et zPv sont des angles correspondants. (xy) est parallèle à (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc zPv = xOv = 117°. 16 xQv et zRv sont des angles correspondants. (xy) est parallèle à (zt). Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont de même mesure. Donc xQv = zRv = 52°. zRv et uRz sont des angles adjacents et supplémentaires. Donc zRv + uRz = 180° et uRz = 180 – zRv = 180° – 52° = 128°. 17 Apprends à rédiger • Je sais que xAv = 43° et (xy) // (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont de même mesure. Donc zBv = xAv = 43°. • B appartient à (zt) donc zBt est un angle plat et les angles zBv et vBt sont supplémentaires. zBv + vBt = 180° 43° + vBt = 180° vBt = 180° – 43° = 137° 18 uSy et uTt sont des angles correspondants. (xy) est parallèle à (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc uTt = uSy = 27°. uTt et uTz sont supplémentaires. Donc uTz = 180° – uTt uTz = 180° – 27° = 153°. 19 • vCy et uCy sont des angles supplémentaires. Donc vCy = 180° - uCy, vCy = 180° – 64° = 116°. • xCv et uCy sont opposés par le sommet. Or si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux. Donc xCv = uCy = 64°. 109 • uDt et uCy sont des angles correspondants. (xy) est parallèle à (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc uDt = uCy = 64°. • uDt et tDv sont des angles supplémentaires. Donc tDv = 180° – uDt tDv = 180° – 64° = 116°. • uDz et vCy sont des angles alternes – internes. (xy) est parallèle à (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux. Donc uDz = vCy = 116°. • vDz et xCv sont des angles correspondants. (xy) est parallèle à (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc vDz = xCv = 64°. 20 a) ABCD est un parallélogramme. Or les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. Donc (AB) est parallèle à (CD). xAv et ADC sont des angles alternes – internes. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux. Donc xAv = ADC = 28°. b) ABCD est un parallélogramme. Or les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. Donc (AD) est parallèle à (BC). xBs et xAv sont des angles correspondants. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc xBs = xAv = 28°. c) • xAv et vAy sont des angles supplémentaires. Donc vAy = 180° – xAv, vAy = 180° – 28° = 152°. • zDu et vAy sont des angles alternes – internes. 110 (xy) et (zt) sont parallèles. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux. Donc zDu = vAy = 152°. zCr et zDu sont des angles correspondants. (uv) et (rs) sont parallèles. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc zCr = zDu = 152°. Les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure. 21 a) • ABC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. ABC = 180° – (BAC + ACB) ABC = 180° – (105° + 18°) ABC = 180° – 123° ABC = 57° • ADE et ABC sont des angles correspondants. (BC) est parallèle à (DE). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc ADE = ABC = 57°. • AED et ACB sont des angles correspondants. (BC) est parallèle à (DE). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc AED = ACB = 18°. b) Les deux triangles ABC et ADE ont leurs angles qui ont mêmes mesures. 22 a) EHx et FEH sont des angles alternes – internes. (EF) est parallèle à (GH). Or si deux droites sont parallèles alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux. Donc EHx = FEH = 113°. EHG et EHx sont des angles supplémentaires. Donc EHG = 180° - EHx, EHG = 180° – 113° = 67°. b) Les angles sEt et vFt ne sont pas égaux car les droites (EH) et (FG) ne sont pas parallèles. 23 a) (d1) est parallèle à (d2) d’après la propriété : « si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles ». b) (d1) et (d2) ne sont pas parallèles d’après la propriété : « si deux droites sont parallèles alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux ». c) (d1) et (d2) sont parallèles d’après la propriété : « si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes – internes de même mesure, alors elles sont parallèles ». 24 yBr et xBs sont des angles opposés par le sommet. Or si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux. Donc yBr = xBs = 62°. xBs et xAv sont des angles correspondants. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. xAv = 63° et xBs = 62°. Donc (uv) et (rs) ne sont pas parallèles. 25 zBu et xAu sont des angles correspondants de même mesure. Or si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc (xy) et (zt) sont parallèles. sDx et sCz sont des angles correspondants. (xy) est parallèle à (zt). Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc sCz = sDx = 130°. sCz et zCr sont des angles supplémentaires. Donc zCr = 180° – sCz et zCr = 180° – 130° = 50° zCr et zBu sont des angles correspondants. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. zCr = 50° et zBu = 48° Donc les droites (uv) et (rs) ne sont pas parallèles. ABCD est donc un trapèze. 26 a) tBr et uAs sont des angles alternes – internes de même mesure. Or si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes – internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc (uv) et (zt) sont parallèles. b) xCr et rCy sont des angles supplémentaires. Donc rCy = 180° – xCr rCy = 180° – 124° = 56° rCy et tBr sont des angles correspondants de même mesure. Or si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc (xy) et (zt) sont parallèles. c) (xy) est parallèle à (zt). (zt) est parallèle à (uv). Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre. Donc (xy) et (uv) sont parallèles. Somme des angles d’un triangle 27 a) ABC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. C = 180° – (A + B) C = 180° – (38° + 84°) C = 180° – 122° = 58° b) DEF est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. F = 180° – (D + E) F = 180° – (105° + 43°) F = 180° – 148° = 32° c) GHI est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. I = 180° – (G + H) I = 180° – (138° + 35°) I = 180° – 173° = 7° 111 28 a) La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. C = 180° – (A + B) C = 180° – (68° + 44°) C = 180° – 112° = 68° b) Les angles C et A sont égaux. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc le triangle ABC est isocèle en B. 29 a) J + K = 110° + 70° = 180° Dans le triangle JKL, L devrait avoir pour mesure : L = 180 – ( J + K) = 180 – (110° + 70°) = 180° – 180° = 0°. On peut construire un tel triangle : il est plat. b) ABC est rectangle en A. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. C = 90° – B C = 90° – 58° = 32° c) DEF est rectangle en D. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. F = 90° – E F = 90° – 45° = 45° Donc E = F. Donc le triangle DEF est rectangle isocèle en D. 30 a) ABC est un triangle isocèle en A. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc C = B = 65°. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. A = 180° – ( B + C) A = 180° – (65° + 65°) A = 180° – 130° = 50° b) DEF est isocèle en D. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc E = F. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc D + E + F = 180° 110° + E + E = 180° 110° + 2 ✕ E = 180° 112 2 ✕ E = 180° – 110° 2 ✕ E = 70° E = 70° ÷ 2 = 35° 31 TEL est isocèle en E. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc T = L. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc E + T + L = 180° 36° + T + T = 180° 2 ✕ T = 180° – 36° 2 ✕ T = 144° T = 72° Donc L = T = 72°. • RAP est rectangle en R. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc P = 90° – A P = 90° – 37° = 53° • CDI est un triangle équilatéral. Un triangle équilatéral a ses trois angles qui mesurent 60°. Donc C = D = I = 60°. 32 Dimitri s’est trompé dans le choix de la propriété qu’il a utilisée. Il aurait dû utiliser la propriété suivante : « les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires ». 33 Apprends à rédiger Je sais que ABC est un triangle rectangle en A, donc BAC = 90°. Je sais que ACD est un triangle équilatéral. Or un triangle équilatéral a ses trois angles qui mesurent 60°. Donc CAD = 60°. Les angles BAC et CAD sont des angles adjacents. Donc BAD = BAC + CAD = 90° + 60° = 150°. 34 BAD est un triangle rectangle en D. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc ABD = ADB – DAB = 90° – 63° = 27°. ABC est un triangle rectangle en A. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc ACB = CAB – CBA = 90 – 27 = 63°. 35 a) HIP est isocèle en I. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc H = P. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc I + H + P = 180° 60° + H + H = 180° 2 ✕ H = 180° – 60° 2 ✕ H = 120° H = 60° Donc P = 60°. b) H = I = P = 60° Or si un triangle a ses trois angles qui mesurent 60° alors il est équilatéral. Donc HIP est un triangle équilatéral. c) ARC est isocèle en A. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc C = R = 60°. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc A + R + C = 180° A + 60° + 60° = 180° A + 120° = 180° A = 180° – 120° = 60° d) A = R = C = 60° Or si un triangle a ses trois angles qui mesurent 60°, alors il est équilatéral. Donc ARC est équilatéral. e) Si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors il est équilatéral. 36 BAD est rectangle en D. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc BAD = 90° – ABC BAD = 90° – 58° = 32° BAC = BAD + DAC BAC = 32° + 47° = 79° La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. BAC + BCA + ABC = 180° 79° + BCA + 58° = 180° 137° + BCA = 180° BCA = 180° – 137° = 43° 37 ABD est un triangle équilatéral. Un triangle équilatéral a ses trois angles qui mesurent 60°. Donc ADB = 60°. DBC est un triangle rectangle isocèle en B. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc BDC = BCD. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc BDC + BCD = 90°. 2 ✕ BDC = 90° BDC = 45° ADC = ADB + BDC ADC = 60° + 45° = 105° A 38 a) 73° 73° B b) C 4,6 cm F 6 cm D 52° E 113 c) GHI est un triangle rectangle isocèle en G. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc GHI = GIH. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc GHI + GIH = 90°. GHI + GHI = 90° 2 ✕ GHI = 90° GHI = 45° HEG = HGE La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. EHG + HEG + HGE = 180° 22° + HEG + HEG = 180° 2 ✕ HEG = 180° - 22° 2 ✕ HEG = 158° HEG = 79° Donc HGE = 79°. H I E 79° 79° F 7 cm G 45° H 39 EGH est isocèle en H. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. 3 cm G 40 vBx et vBA sont deux angles supplémentaires. Donc vBA = 180° – vBx vBA = 180° – 115° = 65° ACB et uCv sont deux angles opposés par le sommet. Or si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux. Donc ACB = 25°. ACB + CBA = 25° + 65° = 90° ACB et vBA sont des angles complémentaires. Or si un triangle a deux angles complémentaires alors il est rectangle. Donc BAC est rectangle en A. Qui dit vrai ? Clara a raison. Exercices d’approfondissement 41 Vrai ou faux a) Vrai car les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc le deuxième angle aigu mesure 90° – 45° soit 45°. 114 Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle. b) Faux, si l’angle principal du triangle isocèle mesure 45°, alors ses angles à sa base mesurent (180° – 45°) ÷ 2 = 67,5°. Ce triangle isocèle n’est donc pas rectangle. c) Faux, ce n’est vrai que pour des angles alternes – internes ou correspondants. d) Vrai, dans ce cas on a un triangle aplati. 42 Calcul d’angle a) (BE) et (CD) sont perpendiculaires à (BC). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles. Donc (BE) et (CD) sont parallèles. b) AEB et l’angle de 113° sont supplémentaires. Donc AEB = 180° – 113° = 67° ABE est rectangle en B. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc BAE = 90° – AEB. BAE = 90° – 67° = 23° Donc DAC = 23°. 43 Calcul d’angle (bis) Les angles uOy et RPS sont des angles correspondants. Les droites (uv) et (zt) sont parallèles. Or si deux droites sont parallèles alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Donc RPS = uOy = 128° RPS est isocèle en P. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc RSP = PRS. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc RSP + PRS + RPS = 180° RSP + RSP + 128° = 180° 2 ✕ RSP = 180° – 128° 2 ✕ RSP = 52° RSP = 26° 44 Encore un calcul d’angle ! • ABC est équilatéral. Un triangle équilatéral a ses trois angles qui mesurent 60°. Donc ABC = 60°. CBD = ABD – ABC CBD = 90° – 60° = 30° BCD est isocèle en B. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc BCD = BDC. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc BCD + BDC + CBD = 180°. BDC+ BDC + 30° = 180° 2 ✕ BDC = 180° – 30° 2 ✕ BDC = 150° BDC = 75° • CDE est rectangle isocèle en C. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux. Donc CDE = CED. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc CDE + CED = 90° CDE + CDE = 90° 2 ✕ CDE = 90° CDE = 45° • BDE = BDC + CDE BDE = 75° + 45° = 120° 45 Toujours un calcul d’angle ! yBz et zBx sont deux angles supplémentaires. Donc zBx = 180° – yBz zBx = 180° – 142° = 38° BAC est rectangle en A. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc ACB = 90° – ABC ACB = 90° – 38° = 52° DAC et ACB sont deux angles alternes – internes. (uv) et (xy) sont parallèles. Or si deux droites sont parallèles alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux. Donc DAC = ACB = 52°. DAC est isocèle en A. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc ADC = ACD. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc ADC + ACD + DAC = 180°. ACD + ACD + 52° = 180° 2 ✕ ACD = 180° – 52 2 ✕ ACD = 128° ACD = 64° 115 46 Parallèle ou pas ? ABC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc ABC + BAC + ACB = 180° 58° + 37° + ACB = 180° 95° + ACB = 180° ACB = 180° – 95° ACB = 85° AED et DEC sont deux angles supplémentaires. Donc AED = 180° – DEC AED = 180° – 96° = 84° Les angles AED et ACB sont des angles complémentaires. Or si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. AED = 84° et ACB = 85°. Donc les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles. 47 Droites perpendiculaires (d4) forment avec (d2) et (d3) deux angles correspondants de même mesure. Or si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc (d2) et (d3) sont parallèles. (d2) et (d1) sont perpendiculaires. Or si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (d1) et (d3) sont perpendiculaires. 48 Nature d’un triangle a) ABC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à180°. Donc BAC + ABC + ACB =180° BAC + 61° + 59° = 180° BAC + 120° = 180° BAC = 180° – 120° = 60° b) ADE est un triangle isocèle en A. DAE mesure 60°. Or si un triangle isocèle a un angle de 60° alors il est équilatéral (voir exercice 35). Donc ADE est un triangle équilatéral. c) ADE est un triangle équilatéral. 116 Or les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Donc AED = 60°. AED et ACB sont des angles complémentaires. Or si deux droites sont parallèles alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux. Or AED mesure 60° et ACB mesure 59°, donc les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles. 49 Bissectrice ABC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc CAB + ABC + ACB = 180° CAB + 108° + 24° = 180° CAB + 132° = 180° CAB = 180° – 132° = 48° [AD) est la bissectrice de BAC. Donc CAD = BAC ÷ 2 CAD = 48° ÷ 2 = 24° b) CAD et ACD mesurent 24°. Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle. Donc ACD est isocèle en D. 50 Bissectrice ? a) ABC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc CAB + ABC + ACB = 180°. CAB + 62° + 83° = 180° CAB + 145° = 180° CAB = 180° – 145° = 35° CAB et ACD sont des angles alternes – internes de même mesure. Or si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes – internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc (AB) est parallèle à (DC). Donc ABCD est un trapèze. b) ADC est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. DAC + ACD + ADC = 180° DAC + 35° + 112° = 180° DAC + 147° = 180° DAC = 180° – 147° = 33° DAC et CAB ne sont pas égaux, donc [AC) n’est pas la bissectrice de BAD. 51 Somme des angles d’un quadrilatère A B E D C ABD est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc ADB + ABD + DAB = 180°. CBD est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc CDB + CBD + BCD = 180°. De plus : ADB + CDB = ADC ABD + DBC = ABC ADB + ABD + DAB + CBD + CDB + BCD = 180° + 180° ABC + BCD + CDA + DAB = 360° Donc la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360°. 52 Somme des angles d’un pentagone, d’un hexagone • Pentagone B A C E D ABE est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc EAB + ABE + AEB = 180°. EBD est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc EBD + EDB + BED = 180°. BCD est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. Donc DBC + DCB + BDC = 180°. De plus : AEB + BED = AED EDB + BDC = EDC ABE + EBD + DBC = ABC EAB + ABE + AEB + EBD + EDB + BED + DBC + DCB + BDC = 180° + 180° + 180° D’où ABC + BCD + CDE + DEA + EAB = 540°. La somme des angles d’un pentagone est égale à 540°. A B F C E D • Hexagone AFE est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. FAE + FEA + AFE = 180° AED est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. EAD + EDA + AED = 180° ABD est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. ADB + ABD + BAD = 180° BCD est un triangle. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. DBC + DCB + BDC = 180° De plus : FEA + AED = FED EDA + ADB + BDC = EDC CBD + DBA = CBA BAD + DAE + EAF = BAF FAE + FEA + AFE + EAD + EDA + AED + ADB + ABD + BAD + DBC + DCB + BDC = 180° + 180° + 180° + 180° ABC + BCD + CDE + DEF + EFA + FAB = 720° La somme des angles d’un hexagone est égale à 720°. 117 53 Mot mystère RPI = 67° PRI = 46° ERI = 44° ESM = 90° RMS = 46° IER = 68° Le mot mystère est PRISME. 54 Cas particulier C’est un cas particulier des deux propriétés suivantes : – si deux droites sont parallèles alors les angles correspondants déterminés par une sécante sont égaux ; – si deux droites sont parallèles alors les angles alternes – internes déterminés par une sécante sont égaux. On peut démontrer la propriété de 6e en utilisant soit les angles alternes – internes soit les angles correspondants. 55 Losange a) D A 5 cm C B b) ABCD est un losange. Les côtés d’un losange sont de même longueur. Les côtés [AB] et [BC] sont de la même longueur. Donc ABC est un triangle isocèle en B. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc BAC = ACB. c) ABCD est un losange. Les côtés d’un losange sont de même mesure. Les côtés [AD] et [DC] sont de la même longueur. Donc ACD est un triangle isocèle en D. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc DAC = ACD. 118 d) DAB = DAC + BAC DAB = ACD + ACB DAB = DCB e) ABCD est un losange. Les côtés d’un losange sont de même mesure. Les côtés [AB] et [AD] sont de la même longueur. Donc BAD est un triangle isocèle en A. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc ABD = ADB. ABCD est un losange. Les côtés d’un losange sont de même mesure. Les côtés [CB] et [CD] sont de la même longueur. Donc CBD est un triangle isocèle en C. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc CBD = CDB. ADC = ADB + CDB ADC = ABD + CBD ADC = ABC f) Dans un losange les angles opposés sont de la même mesure. g) D’après la question b), BAC = ACB = 17°. BAC est un triangle. La somme des angles dans un triangle est égale à 180°. BAC + ACB + ABC = 180° 17° + 17° + ABC = 180° 34° + ABC = 180° ABC = 180° – 34° = 146° D’après la question f), ADC = ABC = 146°. D’après la question c), DAC = ACD. ADC est un triangle. La somme des angles dans un triangle est égale à 180°. Donc ADC + DAC + ACD = 180° 146° + DAC + DAC = 180° 146° + 2 ✕ DAC = 180° 2 ✕ DAC = 180° – 146° 2 ✕ DAC = 34° DAC = 17° h) La diagonale [AC) est la bissectrice de l’angle BAD. 56 Carré a) D C O A 5 cm B b) Les diagonales d’un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu. Les diagonales d’un carré sont de la même longueur. c) ABO est un triangle isocèle rectangle en O. d) ABO est un triangle rectangle et isocèle en O. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc OAB = ABO. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. Donc OAB + ABO = 90°. ABO + ABO = 90° 2 ✕ ABO = 90° ABO = 45° Résous des problèmes 57 Triangle inscrit dans un cercle a) B et D appartiennent au cercle de centre O. Donc [OB] et [OD] sont des rayons. Donc OB = OD. D’où OBD est un triangle isocèle en O. b) OBD est isocèle en O. Un triangle isocèle a ses angles à la base de même mesure. Donc BDO = OBD = 57° La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. BDO + OBD + BOD = 180° 57° + 57° + BOD = 180° 114° + BOD = 180° BOD = 180° – 114° BOD = 66° c) AOD et BOD sont deux angles supplémentaires. AOD = 180° – BOD AOD = 180° – 66° = 114° d) A et D appartiennent au cercle de centre O. Donc OA = OD. D’où AOD est un triangle isocèle en O. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc OAD = ADO. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. OAD + ADO + AOD = 180° ADO + ADO + 114° = 180° 2 ✕ ADO + 114° = 180° 2 ✕ ADO = 180° – 114° 2 ✕ ADO = 66° ADO = 33° e) ADB = ADO + ODB ADB = 33° + 57° = 90° ADB est donc un triangle rectangle en D. 58 Points alignés a) AEB est un triangle équilatéral. Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Donc AEB = 60°. b) AEB est un triangle équilatéral. Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Donc EAB = 60°. DAE et EAB sont des angles complémentaires. Donc DAE = 90° – EAB DAE = 90° – 60° = 30° DA = AB = AE Donc DAE est un triangle isocèle en A. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc ADE = DEA. La somme des angles dans un triangle est égale à 180°. Donc ADE + DEA + DAE = 180° DEA + DEA + 30° = 180° 2 ✕ DEA + 30° = 180° 119 2 ✕ DEA = 180° – 30° 2 ✕ DEA = 150° DEA = 75° c) AEB est un triangle équilatéral. Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Donc ABE = 60°. ABE et CBE sont des angles complémentaires. Donc CBE = 90° – ABE CBE = 90° – 60° = 30° CBF est un triangle équilatéral. Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Donc FBC = 60°. FBE = FBC + CBE FBE = 60° + 30° = 90° d) FBE est un triangle avec un angle droit. De plus EB = BF car ABE et CBF sont équilatéraux et ABCD est un carré. Donc FBE est un triangle rectangle et isocèle en B. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure. Donc BEF = BFE. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. 120 Donc BEF + BFE = 90° BEF + BEF = 90° 2 ✕ BEF = 90° BEF = 45° e) DEA + AEB + BEF = 75° + 60° + 45° = 180° DEA + AEB + BEF = DEF Donc DEF = 180°. Donc les points D, E et F sont alignés. 59 Figure du chapitre H G 45° A 45° E x F (d) 71° B 71° 3 cm C
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