Exercices de statistiques descriptives

S TATISTIQUES DESCRIPTIVES - E XERCICES
1. S TATISTIQUES À UNE VARIABLE
Exercice 1 :
Les 31 étudiants d’une classe ont obtenu les notes suivantes à un devoir :
Notes
7
8
9
10
11
12
14
Effectifs
1
5
4
12
5
3
1
1. Construire le diagramme en bâtons de la distribution des effectifs.
2. Déterminer la valeur moyenne à 10−2 près de cette série.
3. Déterminer la médiane, le premier et le 3ème quartile de cette série.
4. Déterminer l’étendue et l’écart-type de cette série.
Exercice 2 :
On a prélevé un échantillon de 500 pièces pour un contrôle de qualité, les diamètres des pièces se
répartissent de la manière suivante :
Diamètres en
mm
Effectifs
E.C.C.
1. Calculer des valeurs approchées de la
[14,90 ; 14,92[
5
[14,92 ; 14,94[
37
[14,94 ; 14,96[
64
[14,96 ; 14,98[
98
[14,98 ; 15,00[
125
moyenne µ et l’écart-type σ de cette
série.
2. Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants. (unités en abscisse 1 cm
pour 0,01 mm et en ordonnées 1 cm
pour 50 pièces).
3. Déterminer graphiquement la mé-
[15,00 ; 15,02[
102
[15,02 ; 15,04[
48
[15,04 ; 15,06[
14
[15,06 ; 15,08[
5
[15,08 ; 15,10[
2
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diane, le premier quartile et le 3ème
quartile.
4. Déterminer graphiquement le pourcentage de pièces dont le diamètre ap£
¤
partient à µ − σ ; µ + σ .
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Statistiques descriptives
Exercice 3 :
Une société fournit des balles dans un tournoi de ten-
Masse de la balle
Effectifs
[55,8 ; 56,2[
8
[56,2 ; 56,6[
16
[56,6 ; 57[
215
et l’écart-type des masses des balles testées.
[57 ; 57,4[
437
3. Les balles dont la masse est comprise entre 56,6
[57,4 ; 57,8[
288
[57,8 ; 58,2[
22
[58,2 ; 58,6[
14
nis. On teste la masse de 1 000 balles prises au hasard
parmi celles-ci.
1. Calculer une valeur approchée de la moyenne
des masses des balles testées.
2. Calculer des valeurs approchées de la variance
g et 57,8 g sont homologuées pour le tournoi.
Calculer le pourcentage de balles homologuées
parmi les balles testées.
Exercice 4 :
L’entreprise Techval fabrique des fenêtres en PVC. La vente au public est assurée par des artisans
indépendants qui déterminent eux-mêmes leurs prix.
Une étude a été réalisée sur les prix de vente au public d’une fenêtre dont le prix conseillé de vente
est de 300 e ; les résultats sont regroupés dans la tableau ci-dessous.
Prix relevés (en euros)
Nombre d’artisans
[280 ; 290[
2
[290 ; 300[
12
[300 ; 305[
18
[305 ; 310[
10
[310 ; 320[
5
Construire un histogramme de cette série statistique.
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Exercice 5 :
Dans une entreprise, on a évalué le temps nécessaire à la maintenance de différentes machines.
Durée (en heures)
Nombres de
Effectifs cumulés
Effectifs cumulés
machines
croissants
décroissants
[0 ; 0,5[
2
[0,5 ; 1[
8
[1 ; 1,5[
7
[1,5 ; 2[
12
[2 ; 2,5[
7
[2,5 ; 3[
4
Compléter le tableau précédent.
On suppose que la répartition des effectifs est uniforme dans chaque classe.
a) Tracer sur un même graphique le polygone des effectifs cumulés croissants et le polygone
des effectifs cumulés décroissants.
b) Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection des deux courbes.
Que représente l’abscisse de ce point pour la série statistique ?
2. S TATISTIQUES À DEUX VARIABLES
Exercice 6 :
Une machine outils produit automatiquement des pièces cylindriques. Réglée initialement pour
un diamètre de 8 mm, elle se dérègle en cours d’utilisation. Le but de l’exercice est de déterminer
le nombre de pièces que l’on pourra produire avant que leur diamètre n’atteigne 8,1 mm. Afin
de contrôler la fabrication et de procéder aux réglages éventuellement nécessaires, on mesure le
diamètre de la dernière pièce dans chaque série de dix pièces produites. Les résultats obtenus sont
les suivants :
Numéro de pièce : xi
Diamètre de la pièce
en mm : y i
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
8,00
8,00
8,01
8,01
8,02
8,03
8,03
8,04
8,05
8,06
1. Représenter le nuage de points Mi (xi ; y i ) associé à la série statistique précédente dans le
plan muni d’un repère orthogonal.
On prendra pour origine le point de coordonnées (0 ; 8), pour unité, 1 cm pour dix pièces en
abscisses et de 1 cm pour 0,01 mm en ordonnées.
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2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer le point G.
3.
a) Calculer les coordonnées du point moyen G1 associé aux points du nuage ayant les 5
plus petites abscisses.
b) Calculer les coordonnées du point moyen G2 associé aux 5 autres points.
c) On prend la droite (G1 G2 ), appelée droite de Mayer, comme droite d’ajustement.
La tracer.
d) Déterminer une équation de la droite (G1 G2 ) sous la forme y = ax + b.
4. Les pièces produites doivent avoir un diamètre de 8 mm, avec une tolérance de 0,1 mm.
Déterminer graphiquement le nombre de pièces, que l’on pourra produire avant que le diamètre n’atteigne la valeur de 8,1 mm, puis calculer ce nombre à l’aide de l’équation trouvée
de la droite de Mayer et arrondir à l’entier.
Exercice 7 :
Une machine produit des boutons. Elle se dérègle au fil du temps et on décide donc de noter
chaque jour le pourcentage de boutons de qualité inférieure produit par cette machine.
Jours : xi
Pourcentages de boutons : y i
1
2
3
4
5
6
2,5
2,6
2,8
3,3
3,2
3,4
1. Représenter cette série statistique double par un nuage de points en portant en abscisses
xi et en ordonnées y i , avec comme unités graphiques 1 cm par jour en abscisses et 1% en
ordonnées.
2.
a) Donner une équation de la droite de régression de y en x.
Arrondir les coefficients à 10−1 .
b) Déterminer le coefficient de corrélation. Interpréter ce résultat.
c) Tracer cette droite sur le graphique.
3. On suppose que l’équation précédente est une bonne représentation du phénomène « déréglage de la machine » étudié du 1ier au 15ème jour.
Estimer le pourcentage de boutons de qualité inférieure produits, au 8ème jour et au 9ème jour.
On admet au maximum 4% de boutons de qualité inférieure.
Quel jour faudra-t-il réviser la machine ?
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Exercice 8 :
Dans cet exercice, les calculs seront effectués à 10−3 près.
L’étude du coût de maintenance annuel d’une installation de chauffage dans un immeuble de
bureaux, en fonction de l’âge de l’installation, a donné les résultats suivants :
Âge xi (en années)
Coût y i (en ke)
1
2
3
4
5
6
7,55
9,24
10,74
12,84
15,66
18,45
¡
¢
1. Représenter le nuage de points Mi xi ; y i dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2
cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
Peut-on envisager un ajustement affine de ce nuage ?
2.
¡
¢
a) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double xi ; y i .
Le résultat obtenu confirme-t-il l’observation faite à la question 1. ?
b) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression D de y en x.
Tracer D dans le même repère que celui de la question 1..
c) En admettant que l’évolution de coût constaté pendant six ans se poursuive les années
suivantes, donner une estimation du coût de maintenance lorsqu’elle aura huit ans.
Exercice 9 :
Une machine fabrique en grande série des billes d’acier.
La moyenne des diamètres des billes produites en une semaine varie au cours du temps.
La fabrication est jugée valable tant que cette moyenne reste dans l’intervalle [3,25 ; 3,32].
La semaine numérotée 0 correspond à celle du réglage initial. Des contrôles hebdomadaires effectués lors des quatre premières semaines de fonctionnement ont donné les résultats suivants :
Semaine s
Moyenne m
1.
0
1
2
3
4
3,32
3,32
3,31
3,29
3,27
a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique. Interpréter.
b) Déterminer une équation de la droite d’ajustement de m en s par la méthode des
moindres carrés.
2. En déduire un pronostic pour la valeur maximale du temps séparant deux réglages successifs.
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Exercice 10 :
Nécessite la dérivation pour la dernière question.
Le tableau suivant indique le prix de vente en euros d’une machine et le nombre d’exemplaires
vendus les 4 dernières années.
Rang de l’année : i
Prix de vente : xi
1
2
3
4
2 000
1 400
1 800
2 500
198
240
222
160
Nombre d’exemplaires vendus : y i
1.
a) Proposer une méthode pour estimer le nombre d’exemplaires vendus par rapport au
prix de vente.
b) Estimer alors le nombre d’exemplaire vendus pour un prix de vente de 1 500 e.
2. Calculer le chiffre d’affaires réalisé pour ces 4 années. En quelle année le chiffre d’affaires
est-il le plus élevé ? Quel est ce chiffre d’affaires ?
3. On suppose maintenant que, chaque année, le nombre d’exemplaires vendus y et le prix de
vente x suivent la relation suivante : y = −0,08x + 349.
On note S(x) le chiffre d’affaires réalisé en vendant y machines valant chacune x euros.
a) Exprimer S(x) en fonction de x.
b) Étudier les variations de la fonction S sur [1 400 ; 2 500].
c) En déduire le prix de vente d’une machine l’année de rang 5 si l’on veut que la somme
encaissée S(x) soit maximale. Quel sera le nombre d’exemplaires vendus, à une unité
près ? Quelle sera alors la somme encaissée ?
Exercice 11 :
Après le chapitre 2
Une entreprise envisage la fabrication d’un nouveau produit. Elle étudie la demande pour ce nouveau produit, afin d’essayer de déterminer le prix de vente qui lui permettra d’obtenir la plus
grande recette.
Dans le tableau suivant, figure une partie des résultats d’une enquête réalisée pour déterminer le
nombre d’acheteurs potentiels de ce nouveau produit en fonction de son prix de vente.
Prix de vente en euros : xi
200
250
300
350
450
500
Nombre d’acheteurs potentiels : y i
632
475
305
275
266
234
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1. On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de
variables z i = ln(y i ).
Compléter le tableau en calculant les différentes valeurs prises par la variable z i et en arrondissant à 10−3 près les valeurs.
2. Donner une valeur approchée à 10−2 près du coefficient de corrélation de la série statistique
double (xi ; z i ). Le résultat obtenu permet-il d’envisager un ajustement affine ?
3. Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de
z en x sous la forme z = ax + b où a sera donné à 10−4 près par excès et b à 10−2 près par
excès.
4. Utiliser cette estimation pour déterminer le nombre d’acheteurs potentiels, si le prix de
vente est fixé à 400 e.
Exercice 12 :
Après le chapitre 2
Pour un parc de véhicules, on a relevé le nombre de sinistres par véhicule pendant la première
année de mise en service. Pour les véhicules ayant eu, au plus, 4 sinistres les résultats sont les
suivants :
Nombre de sinistres : xi
Effectifs : n i
0
1
2
3
4
1 345
508
228
78
35
y i = ln (n i )
1. Compléter le tableau.
2. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x sous la forme y = ax + b où a
et b sont à arrondir à 10−2 près.
3. Estimer le nombre de véhicules ayant eu 6 sinistres pendant leur première année de mise en
circulation.
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