Matematica LEZIONE 19 Le funzioni LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI Una funzione da A a B può essere iniettiva, suriettiva, biiettiva. LE FUNZIONI REALI E LE LORO CARATTERISTICHE A. B. A A e b A B a d B x C. A B a Funzione Una funzione dall’insieme A all’insieme B è una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. La funzioni numeriche hanno come dominio e codominio due sottoinsiemi di ℝ. Sono anche dette funzioni reali di variabile reale. 19 d b c f e B a d b e c f y C codominio Funzione iniettiva: a ogni elemento di B arriva al più una freccia. Funzione suriettiva: a ogni elemento di B arriva almeno una freccia. Funzione biiettiva: a ogni elemento di B arriva una e una sola freccia. Una funzione y = f (x), di dominio D, si dice: dominio • crescente in senso stretto in un intervallo I ⊆ D , se ∀x1, x2 ∈ I , con x1 < x2 , risulta f ( x1 ) < f ( x2 ) ; • decrescente in senso stretto in un intervallo I ⊆ D , se ∀x1, x2 ∈ I , con x1 < x2 , risulta f ( x1 ) > f ( x2 ) . Se la funzione è crescente o decrescente in senso lato, le considerazioni sono analoghe, ma valgono rispettivamente le relazioni f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) e f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) . Alcune funzioni numeriche esprimono proporzionalità fra le variabili x e y. Dato k ∈ ℝ − {0} : • y = kx esprime la proporzionalità diretta; • y= y k esprime la proporzionalità inversa; x Una funzione si dice monotòna in un intervallo del suo dominio se in esso è sempre crescente o sempre decrescente. • y = kx esprime la proporzionalità quadratica; 2 • y = ax + b con a, b ∈ ℝ esprime la funzione lineare. Una funzione y = f ( x) si dice periodica di periodo T ( T > 0 ) se: A. dominio di f f: A x variabile indipendente immagine di x mediante f B y = f (x) variabile dipendente Terminologia delle funzioni numeriche. B. C. y FUNZIONI algebriche C= codominio razionali irrazionali y = f (x) O A = dominio trascendenti y = 2 x y = cos x y = x +1 x Rappresentazione grafica di f (x) del dominio D = A e del codominio C = { f ( x) | x ∈ A} intere fratte y = 5x – 7 y= 2x −1 3x + 2 Classificazione delle funzioni reali di variabile reale. f ( x ) = f ( x + kT ) , ∀k ∈ ℤ. ⎧ x se x ≤ 0 Valore assoluto: y = |x| = ⎨ . È un esempio di funzione definita per casi. ⎩− x se x < 0 a è zero di una funzione y = f (x) se f (a) = 0. M66 f (x + T) f (x + 2T) x x+T x + 2T O T x y = f (x) Una funzione y = f (x), di dominio D, si dice: • pari se f (− x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D ; • dispari se f (− x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ D . y = x2 è una funzione pari, y = x3 è una funzione dispari. Funzione inversa: se indichiamo con f una funzione e con f −1 la sua inversa, si ha: b = f −1 ( a ) ⇔ a = f ( b) . Una funzione ammette la funzione inversa se e solo se è biiettiva. g A Dominio naturale di una funzione: è il più ampio sottoinsieme di ℝ che può essere preso come dominio. È costituito da tutti i valori per i quali non perde significato l’espressione analitica che definisce la funzione. È anche detto campo di esistenza. f (x) C f g c a b b = f (a ) c = g (b ) = g (f (a )) Funzione composta f(x) = 5x – 7 è: (x + 7) f-1(x) = . 5 Funzione composta: date le funzioni f : A → B e g : B → C , la funzione composta g f : A → C associa a ogni elemento a ∈ A un elemento c ∈ C così ottenuto: f B La funzione inversa di • ad a si associa b ∈ B tale che b = f ( a ) ; • a b si associa c ∈ C tale che c = g (b ) . Se C = A , possiamo definire sia g f che f g. In generale, g f ≠ f g . M67 LEZIONE 19 Matematica Le funzioni LE SUCCESSIONI NUMERICHE an = 2n+1; 1, 3, 5, 7, ... Una successione numerica è una funzione a che associa a ogni numero naturale un numero reale: a : ℕ " ℝ, n " an. n si chiama indice della successione e an termine della successione. Una successione è detta: • crescente se an < a n+1, ∀n ∈ ℕ; • decrescente ∀ se an >ℕan+1, ∀n ∈ ℕ; • costante se an = a n+1, ∀n ∈ ℕ; • crescente in senso lato se an ≤ a n+1, ∀n ∈ ℕ; • decrescente in senso lato se an ≥ a n+1, ∀n ∈ ℕ. LE PROGRESSIONI ARITMETICHE Una successione an si dice progressione aritmetica di ragione d se an+1 − a n = d , ∀n ∈ ℕ. esempio: 9, 12, 15, 18, 21, ...; d = 3. Se consideriamo n numeri consecutivi di una progressione aritmetica, il primo e l’ultimo termine sono detti estremi della progressione. Una progressione aritmetica di ragione d è: • crescente se d > 0 ; • decrescente se d < 0 ; • costante se d = 0 . Teorema. La somma Sn dei primi n termini di una progressione aritmetica è: Sn = n ⋅ a1 + an . 2 LE PROGRESSIONI GEOMETRICHE a Una successione an si dice progressione geometrica di ragione q se n+1 = q , ∀n ∈ ℕ. an esempio: 1, 2, 4, 8, 16, ...; q = 2. Se consideriamo n numeri consecutivi della progressione geometrica, il primo e l’ultimo termine sono detti estremi. In una progressione geometrica di ragione q: a • an = an–1  q e an = n + 1 ; • an = a1 ⋅ q n−1 ; n ≥ 1 ; q • as = ar ⋅ q s −r Se la ragione di una progressione geometrica è positiva, la progressione è: • crescente se q > 1 e an > 0, 0 < q < 1 e an < 0 ; • decrescente se 0 < q < 1 e an > 0, q > 1 e an < 0 ; • costante se q = 1 . Teorema. La somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica, di ragione q ≠ 1, è: Sn = a1 ⋅ M68 qn − 1 1 − qn . = a1 ⋅ q −1 1− q