ESAME SCRITTO DI FISICA GENERALE 1 DEL 16 GIUGNO 2014 Prof. Francesco Michelotti INGEGNERIA DELLE COMUNICAZIONI [L (DM 270/04) - ORDIN. 2010] INGEGNERIA ELETTRONICA [L (DM 270/04) - ORDIN. 2014] INGEGNERIA ELETTRONICA [L (DM 270/04) - ORDIN. 2010] 1° TURNO 1) Un punto materiale si muove lungo una traiettoria circolare di raggio R con velocità scalare v=A+Bt2. Si calcoli la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso tra gli istanti t1 e t2. Si determini poi il modulo dell’accelerazione del punto materiale negli istanti t1 e t2. [Dati: R = 1 m, A= 4 m/s, B = 1 m/s3, t1 = 0 s, t2 = 2 s] 2) Un proiettile di massa m e velocità v colpisce e attraversa un blocchetto di legno di massa M, sospeso ad un filo di lunghezza L, e ne fuoriesce con velocità v/2. Si calcoli il minimo valore di v tale che il blocchetto, inizialmente fermo, riesca a compiere un giro completo intorno al centro di sospensione. [Dati: m = 10 g, M = 100 g, L = 50 cm] 3) Una massa m è collegata ad una puleggia, di massa M e raggio R, mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile, che si avvolge senza slittare attorno alla puleggia. La puleggia è libera di ruotare senza attrito intorno al suo centro C. All’istante iniziale la massa m viene lasciata cadere da ferma, mettendo in rotazione la puleggia. Sapendo che la massa m si sgancia dalla fune dopo essere scesa di un tratto h dalla posizione iniziale, si calcoli la velocità angolare di rotazione della puleggia dopo che la massa m si è sganciata. E’ data l’espressione del momento d’inerzia della puleggia IC. [Dati: m = 2 kg, M = 10 kg, R= 0.5 m, h = 2 m, IC=(1/2)MR2] 4) Una diga di lunghezza L trattiene l’acqua di un bacino idrico di profondità h. Calcolare la risultante delle forze esercitate dall’acqua sulla diga. [Dati: L = 500 m, h = 150 m] 5) Quattro moli di gas ideale monoatomico compiono il ciclo termodinamico reversibile indicato in figura, composto da due trasformazioni isoterme, una isobara ed una isocora. Calcolare il lavoro ed il calore totali scambiati dal gas nel corso del ciclo ed il rendimento. [Dati: T1=400 K, T2=800 K, p1=2∙105 Pa, p2=5∙105 Pa] p p2 p1 T2 T1 V ESAME SCRITTO DI FISICA GENERALE 1 DEL 16 GIUGNO 2014 Prof. Francesco Michelotti 1° TURNO SOLUZIONI 1) Moto vario con accelerazione dipendente dal tempo: t s( t ) = s( t 0 ) + ∫ v( t ' )dt ' t0 t2 t2 1 ∆s = s( t 2 ) − s( t 1 ) = ∫ v( t ' )dt ' = ∫ (A + Bt 2 )dt ' = A( t 2 − t 1 ) + B( t 32 − t 13 ) 3 t1 t1 1 ∆s = 4 ⋅ 2 + 1 ⋅ 8 = 10.7 m 3 v 2 ( t ) (A + Bt 2 ) 2 dv ( t ) d (A + Bt 2 ) a ( t ) = a T2 + a 2N a N (t) = R = = = 2Bt a T (t) = T R R dt dt a T ( t 1 ) = 0m / s 2 a N ( t 1 ) = 16m / s 2 a T ( t 2 ) = 4m / s 2 a N ( t 2) = 64m / s 2 a ( t 1 ) = 16m / s 2 a ( t 2 ) = 64.1m / s 2 2) La minima velocità VMIN di M dopo l’urto necessaria affinché il blocchetto faccia un giro su traiettoria circolare si trova imponendo che alla sommità del giro la tensione della fune sia nulla: Mg + T = Ma Mg + 0 = Ma N alla massima quota 2 VSOMM da cui VSOMM = gL =M L Nella salita di M vale la conservazione dell’energia meccanica: 1 1 2 2 MVMIN = MVSOMM + Mg 2L sostituendo 2 2 1 2 1 5 VMIN = gL + 2gL = gL e 2 2 2 VMIN = 5gL D’altra parte nell’urto si conserva la quantità di moto totale: v mv = m + MV 2 da cui mv = m v + MV 2 V= mv 2M VMIN = e mv MIN 2M Uguagliando le due espressioni per VMIN si ricava la condizione sulla vMIN: v MIN = 2M 2 ⋅ 0.1 5gL = 5 ⋅ 9.81 ⋅ 0.5 = 99m / s m 0.01 3) Nella discesa di m e contemporanea rotazione di M vale la conservazione dell’energia meccanica totale: (K + U) IN = (K + U) FIN da cui 0= 1 1 mv 2FIN + I C ω 2FIN − mgh 2 2 Si ottiene: ω FIN = 2mgh = 6.7 rad / s 1 2 2 mR + MR 2 4) La pressione in acqua ad una profondità x è data dalla legge di Stevino: con e p( x ) = p 0 + ρgx p 0 = 1atm ≈ 10 5 Pa ρ = 10 3 kg / m 3 con v FIN = ω FIN ⋅ R La forza esercitata su una porzione del muro della diga posta a profondità x, di lunghezza L e spessore dx è data da: dF = p( x )Ldx = (p 0 + ρgx )Ldx da cui si ricava la forza totale integrando sulla profondità: h 1 F = ∫ (p 0 + ρgx )Ldx = hL(p 0 + ρgh ) = 6.3 ⋅ 1010 N 2 o p VB p = nRT1 ln 1 = −1.2 ⋅ 10 4 J VA p2 L BC = p B (VC − VB ) = nR (T2 − T1 ) = +1.33 ⋅ 10 4 J V p p T L CD = nRT2 ln D = nRT2 ln C = nRT2 ln 2 1 = +5.9 ⋅ 10 3 J VC pD p1T2 L DA = 0J L CICLO = L AB + L BC + L CD = +7.2 ⋅ 10 3 J 5) L AB = nRT1 ln con ∆U CICLO = 0 Per il rendimento si ha: ∆U = Q − L η= η= L CICLO Q ASS,CICLO = da cui p2 B D p1 A T2 T1 V Q CICLO = L CICLO = +7.2 ⋅ 10 3 J L CICLO L CICLO = = Q CICLO − Q AB − Q DA L CICLO − L AB − nC V (T1 − T2 ) 7.2 ⋅ 10 3 J = 0.18 = 18% 7.2 ⋅ 10 3 J + 1.2 ⋅ 10 4 J + 2 ⋅ 10 4 J C L CICLO L CICLO 3 − L AB − nR (T1 − T2 ) 2
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