Chapitre 9 Tests asimilaires et tests des rapport des vraisemblances

Chapitre 9
Tests
similaires et tests des
rapport des vraisemblances
maximales
217
CHAPITRE 9. TESTS
9.1
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Tests U.P.P
9.1.1
similaires
Tests similaires sans paramètres nuisibles
Dé…nition 1 Un test
si parmi les tests
aux points
2
similaire
de H0 :
similaires sur la frontière
de H0 :
puissance E ( ) est continue en , et si
similaire U:P:P, alors
Le test
0
0
\
1,
2
1,
est dit U:P:P
a une puissance maximum
0
0
2
0
contre H1 :
est un test de seuil
. Mais si
similaire sur la frontière
est plus puissant que
2
1,
la fonction
de H0 contre H1 ,
est U:P:P et sans biais.
est sans biais puisqu’il est de niveau
celle du test trivial
0
contre H1 :
0
1.
Proposition 1 Si pour tout test
Proof.
2
0
\
1
et de puissance
est un test sans biais de niveau , alors
à
est
car sa fonction puissance est continue. Et comme
il en résulte que
0
est U:P:P et sans biais.
Exemple : une application aux modèles exponentiels)
Soit ( ; A; fp ; 2
2
H0 :
g) un modéle exponentielle où p (x) = C ( ) :e
:h (x) et
un intervalle ouvert, et considérons le problème du test de l’hypothèse bilatère
1
2
contre l’alternative H1 :
<
1
ou
>
2:
En utilisant le théorème
ci-dessus et le théorème 2 §7.3, on montre qu’il existe un test
< 1) de 8
H0 contre H1 dé…ni par :
>
>
1
si S (x) < 1 ou S (x) > 2
>
>
<
(x) =
si S (x) = i ; i = 1; 2
i
>
>
>
>
: 0
si
1 < S (x) < 2
où les 1 ; 2 ; 1 et 2 sont déterminés par E 1 ( ) = E 2 ( ) = :
(0 <
:S(x)
UPPSB au seuil
CHAPITRE 9. TESTS
Ce test
0
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
est aussi UPPSB au seuil
= f 0 g contre l’alternative
minées par E 0 ( ) =
1
= f 6=
pour le problème de test de l’hypothèse
0g
avec les constantes
1;
2;
1
et
2
déter-
et E 0 (S: ) = :E 0 (S) :
Le fait de se restreindre aux tests
semblables, on trouve qu’il existe des tests
UPPSB pour les tests bilatères, dont on a vu qu’il n’existe pas toutjours de test
UPP.
9.1.2
Tests similaires avec paramètres nuisibles
Soit ( ; A; fp :
2
s’intéresse içi à une composante
^
=
est une partie de Rk : On
g) un modèle statistique et ou
i
de
= ( 1 ; :::;
obtenu en ôtant de
1 ; :::; i 1 ; i ; i+1 ; :::; k
k)
et dans ce cas le paramètre
la composante
i;
est dit nuisible
ou paramètre fantôme. On étudie ici les problèmes de test de type composite pour
et ou le paramètre
i;
est quelconque. A cette …n, on introduit une nouvelle classe de
tests dit à structure de Neyman.
Dé…nition 2 Soit S une statistique exhaustive pour
Un test
similaire sur
0\
1
2
0
\
1:
est dit avoir une structure de Neyman relativement
a S si
E ( =S = s) = :
sauf peut être sur une partie fs : s 2 Eg P
Il est aisé de voir q’un test
0
\
1
résultat.
est
semblable sur
négligeable,
2
0
\
1.
ayant une structure de Neyman relativement à S et
0
\
1:
Le résultat suivant fournit une réciproque a ce
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Théorème 1 Si S est une statistique exhaustive complète pour
test
similaire sur
0
\
Si E ( ) =
Proof.
2
0
\
1.
1
2
0\
1,
alors tout
a une structure de Neyman.
pour tout
2
0
\
1,
alors E (E ( =S)) =
pour tout
D’ou l’on déduit du fait que S est quasi-complète que E ( =S = s) =
pour presque tout s, d’où le résultat.
Application aux familles exponentielles
Soit ( ; A; fp :
2
g) un modèle exponentiel,
avec
!
n
X
p (x) = C ( ) :h (x) : exp
i :Si (x) .
une partie de Rk et
i=1
Dans cette situation la fonction puissance de chaque test
d’une hypothèse H0 contre
une alternative H1 (H0 et H1 disjointes) est continue, et tout test sans biais de niveau
est tel que sa fonction puissance est égal à
sont
similaires sur la frontière
0
\
sur la frontière
0
\
1,
aussi ces tests
1.
On considère ici le problème du test de l’hypothèse
H0 :
0
=
= ( 1;
2 ; :::; k )
:
1
2 ; :::; k )
:
1
0
1
contre l’hypothèse
H1 :
1
=
= ( 1;
>
0
1
,
et on cherche à construire un test U:P:P et sans biais de
Pour chaque
1
noté
0
contre
1.
, la statistique (S2 ; :::; Sk ) est exhaustive pour ( 2 ; :::;
k)
et
a pour densité :
fS2 ;:::;Sk (s2 ; :::; sk ) = C ( )
Z
h (t) :e
:s1
ds1 : exp
k
X
i :si
i=2
!
:
La densité conditionnelle de S1 sachant S2 ; :::; Sk est évidemment :
fS1 ;S2 ;:::;Sk (s; ) = Z
1
h (s) :e
:h (s) : exp ( :s1 )
:s1 ds
1
(7.9)
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
c’est-à-dire une loi exponentielle à un paramètre, indépendante du paramètre ( 2 ; :::;
k ).
Ceci suggère de rechercher d’abord des tests U:P:P sans biais de H0 contre H1 dans
le modèle conditionnel, et de déduire ensuite des tests U:P:P:S:B relatifs à
dans le
modèle initial.
Théorème 2 Sous les hypothèses précédentes, il existe un test
UPPSB au seuil
de l’hypothèse H0 contre H1 dé…ni (dans le modèle image) par
8
>
>
1
si s1 > (s2 ; :::; sk )
>
>
<
0 (s1 ; s2 ; :::; sk ) =
(s2 ; :::; sk ) si s1 = (s2 ; :::; sk )
>
>
>
>
: 0
si s1 < (s2 ; :::; sk )
où
et
sont des fonctions de (s2 ; :::; sk ) telles que
E 01 ( =S2 = s2 ; :::; Sk = sk ) = ; 8 (s2 ; :::; sk ) :
Pour s …xé, on sait que le test
Proof.
conditionnel R; B; P
Soit
=
2
S1 =(S2 =s2 ;:::;Sk =sk )
:
=
0
1
; comme
(t; s) est UPP au seuil
:
est un ouvert non vide de Rk , (S2 ; :::; Sk ) est
une statistique exhaustive complète dans le modèle obtenue en …xant
modèle initial. Le test
est bien sûr sans biais au seuil
E [ (S1 ; (S2 ; :::; Sk )) = (S2 ; :::; Sk ) = (s2 ; :::; sk )]
que E [ (S1 ; (S2 ; :::; Sk ))]
8 2
dansle modèle
=
0
1
dans le
puisque
8
2
0 ; 8 (s2 ; :::; sk ),
assure
8
2
1 ; 8 (s2 ; :::; sk ),
assure
0
et
E [ (S1 ; (S2 ; :::; Sk )) = (S2 ; :::; Sk ) = (s2 ; :::; sk )]
quant à elle que E [ (S1 ; (S2 ; :::; Sk ))]
8 2
1:
Pour montrer qu’il est UPPSB il su¢ t de montrer qu’il est UPP parmi les tests
semblables sur H0 ; puisque, le modèle étant exponentiel, tout test sans biais au
CHAPITRE 9. TESTS
seuil
est
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
semblable sur H0 : D’autre part, d’après le théorème 1 ci-dessus, il su¢ t
de montrer qu’il est UPP parmi les tests ayant une
ment à (S2 ; :::; Sk ) et
0;
c’est-à-dire véri…ant
E [ = (S2 ; :::; Sk ) = (s2 ; :::; sk )] =
Pour tout
2
1
la puissance de
E [ (S1 ; S2 ; :::; Sk )] =
Z
Z
(s; s2 ; :::; sk ) P
(s; s2 ; :::; sk ) P
S1 =(S2 =s2 ;:::;Sk =sk )
Z
(s; s2 ; :::; sk ) P
0
0
S2 ;:::;Sk
S1 =(S2 =s2 ;:::;Sk =sk )
p:p:
(s) dP
(S2 ;:::;Sk )
(s2 ; :::; sk ) :
maximise la puissance conditionnelle
(s) dans l’ensemble des tests véri…ant
; on a pour tout test
E 01 ( =S2 = s2 ; :::; Sk = sk ) =
relativement a (S2 ; :::; Sk ) et
8 2
est
Comme, pour (s2 ; :::; sk ) …xé,
R
structure de Neyman relative-
à
structure de Neyman
:
S1 =(S2 =s2 ;:::;Sk =sk )
Z
(s)
(s; s2 ; :::; sk ) P
S1 =(S2 =s2 ;:::;Sk =sk )
(s)
p:p
et en intégrant par rapport à P
(S2 =s2 ;:::;Sk =sk )
E ( ) 8 2
E ( )
ce qui montre que
:
1
est bien UPPSB:
Le résultat suivant permet de contourner certaines di¢ cultés inhérentes au modèle
conditionné par (S2 ; :::; Sk ) = (s2 ; :::; sk ) et aux calculs des constantes
(s2 ; :::; sk ) et
(s2 ; :::; sk ) :
Théorème 3 Sous les hypothèses précédentes, et dans le cadre du problème du test de
l’hypothèse
0
:
= ( 1;
2 ; :::; k )
:
1
0
1
contre l’hypothèse
CHAPITRE 9. TESTS
1
:
= ( 1;
2 ; :::; k )
f (T; S) libre dans
0
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
:
1
>
0
1
et telle que f (t; s) soit croissante pour tout s; alors un test
véri…ant
(u) =
et E ( ) =
Proof.
8 2
Le test
, on suppose qu’il existe une statistique réelle U =
0;
8
>
>
1
>
>
<
est dé…ni directement sur le modèle image par U = f (T; S) : Sur
(u) =
8
>
>
1
>
>
<
La statistique U est libre sur
sont indépendantes
2
2
si u = f (t; s) > c
si u = c
si u < c
si t > k (s)
si t = k (s) ;
si t < k (s)
0:
0;
S est exhaustive et complète pour
0;
donc U et S
0:
(U ) ; la statistique
(T; S) =
et on a pour tout
si s1 < c
est UPPS au seuil :
>
>
>
>
: 0
avec E ( (T; S)) = 8 2
Comme
si s1 = c
(s2 ; :::; sk )
>
>
>
>
: 0
ce modèle image par (T; S) ; il s’écrit
8
>
>
1
>
>
<
(t; s) =
>
>
>
>
: 0
ou encore
si u > c
0
(T; S) est indépendante de S 8 2
0
:
E [ (T; S) =S = s] = E [ (T; S)] = ; 8s:
Ce qui assure d’près le théorème 3 ci-dessus que
est bien UPPS au seuil :
A signaler que si la fonction f est décroissante en t pour tout s le théorème reste
vrai si on inverse les inégalités de la fonction
:
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Ce théorème s’adapte bien aux problèmes de tests unilatères et de tests bilatères H0 :
1
12
et
ou
=f :
1
et H0 :
2
=
=f :
1
=
ou
=
2 g.
Il su¢ t de remplacer
2:
1
2g ;
0
=f
0g
=
et dans ce cas U est seulement libre sur
1
Quant au problème du test de l’hypothèse H0 :
par
=f :
=
0;
=
on sup-
pose dans le théorème que f est linéaire croissante (resp. décroissante) en t et ceci
quelque soit s. Les constantes ci et
i
(i = 1; 2) sont alors déterminées par :
et E (U: ) = E (U ) 8 2
E ( )=
0:
Exemples
1. Soit (X1 ; :::; Xn ) un n échantillon d’une variable aléatoire X distribuée suivant une loi normale de moyenne
l’hypothèse H0 :
=
2
et de variance
. On considère le test de
quelconque, contre l’hypothèse H1 :
0;
6=
0;
quelconque.
Les statistiques S1 = X n =
tives pour
et
2
n
X
Xi et S2 =
Sn2
=
i=1
n
X
Xi
Xn
2
sont exhaus-
i=1
, et un test U:P:P de H0 contre H1 s’il existe, est nécessairement
fonction de ces deux statistiques.
Sous H0 la statistique S1 est exhaustive, bornée et complète pour le paramètre
et de plus comme les statistiques S1 et S2 sont indépendantes, la loi conditionnelle de S2 par rapport à S1 est identique à la loi de S2 ; et cette dernière est
indépendante du paramètre . Il existe alors un test
par :
(x) =
et la constante
8
>
>
1
>
>
<
>
>
>
>
: 0
si
U:P:P semblable dé…ni
S2
;
si
S2 <
est déterminée à partir de la loi de
nS22
0
qui sous l’hypothèse
1g
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
nulle, est une loi du X 2 à n
0
=
1 degrés de liberté :
1
n 2
2 2
(n
1)
Z
+1
u n 3
2 u 2 du:
e
1
On véri…e aussi que ce test est sans biais.
2. Soit (X1 ; :::; Xn ) un n échantillon d’une variable aléatoire X distribuée suivant
une loi normale de moyenne
pothèses H0 :
2
et de variance
. Et on considère les deux hy-
quelconque et H1 : > 0 et quelconque.
n
n
X
1X
2
(Xi
Les statistsiques S1 =
Xi et S =
0 ) sont exhaustives bornées et
n
i=1
i=1
complètes pour les paramètres 0 et 2 respectivement. La densité conditionnelle
=
0;
de S1 par rapport à S = s, s’écrit :
ns
+ n (S1
2 2
h (s) : exp
0) (
0)
s
n 3
2
2
(S1
0)
avec
2
0)
(S1
s;
et h (s) est la constante de normalisation sur le domaine de variation de S1 à
p
p
s; 0 + s] et h dépend de la valeur s de la statistique S.
savoir [ 0
En utilisant cette densité, il existe un test
U:P:P conditionnel à S = s de H0
contre H1 donné par :
(x) =
8
>
>
1
>
>
<
>
>
>
>
: 0
si
S1
(s)
0
:
si
S1
0
<
(s)
D’autre part, sous l’hypothèse nulle la loi conditionnelle de
S1
p
0
s
est indépen-
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
dante de s, alors le test
0
avec la constante
s’écrit encore :
8
>
>
1
si
>
>
>
<
(x) =
>
>
>
>
>
: 0
si
S1
p
0
S1
p
0
s
précédent est équivalent au test 0 :
8
>
>
>
1
si
>
>
<
0
(x) =
>
>
>
>
>
: 0
si
Comme la variable aléatoire
p
n
p
2
0) ,
1
Z
n
Xn
1
on montre que le test
0
S
:
p
n
Xn
1
distribuée selon une loi de student à n
où stn
0
<
indépendante de s.
Par ailleurs, en utilisant la relation S = S2 + (S1
est déterminée par
0
s
Xn
1
0
S
<
0
est sous l’hypothèse nulle H0
S
1 degrés de liberté, alors la constante
+1
stn
1
(x) dx
désigne la densité de la loi de student à n
1 degrés de liberté.
Ainsi, ce test est U:P:P similaire et est U:P:P et sans biais.
3. On considère maintenant le test de l’hypothèse H0 :
conque. Il existe un test UPPS au seuil
p Xn
0
U= n
et c est déterminé par
S
P 0 (jU j > c) =
=
0
avec
quel-
de région de rejet fjU j > cg, où
(ou P 0 (U > c) =
2
):
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
En e¤et, la statistique V =
2
elle est donc libre sur
Xn
0
T
n
= f (T; S) a une loi indépendante de
S
S
0 . En outre, pour s …xé, la fonction f (t; s) est linéaire
=
croissante en t: Il vient alors en vertu du théorème 4 ci-dessus que le test U P P S
au seuil
est un test ayant une région de rejet de la forme jV j > k: Il est aisé de
voir que la statistique U dé…nie dans l’exemple 2 ci-dessus s’écrit
p
U=
1
n
nV
nV 2 )
(1
1
1
2
:
Elle est donc fonction croissante de V; il en résulte que la région de rejet du test
UPPS au seuil
àn
s’écrit aussi jU j > c: Comme U suit, sous H0 ; une loi deStudent
1 ddl; le nombre c est égal à t1
loin de Student à n
=2
(n
1) ; le quantile d’ordre 1
2
de la
1 ddl: Ce test est appelé un test de Student bilatéral.
CHAPITRE 9. TESTS
9.2
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Test du rapport des vraisemblances maximales
Ce test dé…ni à l’aide du rapport des vraisemblances, possède des propriétés optimales
dans le cadre d’hypothèses simples et possède de bonnes propriétés asymptotiques.
Soit f ; A; fp :
nant
2
Rp ; un modèle statistique, H une hypothèse concer-
gg où
et soit (X1 ; :::; Xn ) un n échantillon d’une variable aléatoire X distribuée selon
une loi de densité p ,
2
, auquel on associe la variable aléatoire
n
sup
n
=
2 i=1
n
sup
2H i=1
p i (Xi )
=
p i (Xi )
supL (X1 ; :::; Xn ; )
2
supL (X1 ; :::; Xn ; )
:
2H
On remarquera que cette variable est à valeurs
1
Dé…nition 3 On appelle test du rapport des vraisemblances le test
de l’hypothèse
nulle H contre l’hypothèse H dé…ni par la région de rejet
D = fu : u >
où
( )g ;
( ) est tel que
P (D )
8 2 H:
;
Remarques :
1. Lorsque les hypothèses H = f 0 g et H = f 1 g sont simples, alors la région de
rejet du test
n
devient :
D =
et l’on retrouve
Le test
n
=
x 2 Rn :
L (x; )
>
L (x; 0 )
1
avec cette fois-ci
c
;
> 1:
a la même structure qu’un test U:P:P de H = f 0 g contre H = f 1 g
pour lequel
> 0 et non
> 1:
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
2. Lorsque l’hypothèse nulle H est simple et H multiple (voir chap.7), le test
n
consiste à remplacer H par une hypothèse simple rendant maximale la vraisemblance. Si ^n est l’estimateur du maximum de vraisemblance, alors
n
et
n
(x;
0)
(x;
0)
=
L x; ^n
L (x;
0)
1.
On étudie les propriétés asymptotiques du test
n
lorsque la taille de l’échantillon
devient assez grand.
Propriétés asymptotiques du test du rapport des vraisemblances
On suppose que la famille des lois p :
2
où
R , satisfait les conditions
suivantes :
i) Le support de p est indépendant de ;
@
ii) E
log p (X) < +1;
8 ;
@
@2
iii) E
log p (X) < +1;
8 ;
@ 2
@2
iv) La fonction (x; ) ! 2 log p (x) est continue en uniformément en x.
@
Soit (X1 ; :::; Xn ) un n échantillon d’une variable aléatoire X distribuée suivant la
loi p , ^n l’estimateur du maximum de vraisemblance dé…nie par ce n échantillon. et
L X1 ; ^n
.
n (x) =
L (X1 ; 0 )
Théorème 4 Sous les conditions de régularité i)
2: log
n
L
iv) énoncées ci-dessus, on a :
( 0 ) ! X12 :
n!+1
CHAPITRE 9. TESTS
Proof.
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Soit x = (x1 ; :::; xn ) une réalisation du n échantillon et soit ^n l’estimateur
du maximum de vraisemblance associée à cette réalisation.
Le développement à l’ordre 2 de L (x;
log L (x;
^n : @ log L x; ^n
@
= log L x; ^n +
0)
+
i
au voisinage de ^n , s’écrit :
0)
1
2
0
2
^n
@2
log L (X;
@ 2
)
h
^
^
0 ; n . Et comme n est solution de l’équation de vraisemblance
avec 2
@
L (X; ) = 0, et que log
@
2: log
n (x;
n
(x;
0)
= log L x; ^n
log L (x;
0 ),
@2
log L (x; )
@ 2
n
2 X @2
2 log L (xi ;
@
i=1
il en résulte que
2
0) =
^n
0
=
^n
0
);
et qui s’écrit encore
2: log
n
(x;
0)
2
= n:I ( 0 ) : ^n
0
n
X
@2
log L (x;
@ 2
i=1
)
n:I ( 0 )
où I ( 0 ) désigne la quantité d’information de Fisher sur
0
fournie par x1 réalisation
de X1 .
Et comme
^n p:s
!
0
)
p:s
!
0
ce qui assure compte tenu de l’hypothèse iv) et ensuite iii) et de la loi forte des grands
nombres que :
1 X @2
log L (x;
n i=1 @ 2
n
p:s
) !
E
0
@2
log L (x;
@ 2
0)
= I ( 0) :
Il reste à étudier le comportement asymptotique de la variable n:I ( 0 ) : ^n
2
0
quand n ! +1. A cette …n, on rappelle que si ^n désigne l’estimateur du maximum
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
de vraisemblance au vu du n échantillon (X1 ; :::; Xn ), on a
p
In ( 0 ) ^n
loi
! N (0; 1) ;
0
d’où l’on déduit que
2
n:I ( 0 ) : ^n
0
loi
! X12 :
n!+1
Il en résulte alors de ces deux résultats limites que
2: log
n
( 0)
loi
! X12 :
n!+1
Théorème 5 Sous les hypothèses de régularité citées ci-dessus, la suite de tests
relatifs aux hypothèses H0 :
=
0
et H0 :
6=
0
n
est convergente.
Proof. Il s’agit de montrer que P (Dn; ) ! 1 lorsque n ! +1, où Dn; désigne la
région de rejet du test
n
: Dn; = fx 2 Rn :
n
(x;
0)
g et P 0 (Dn; ) = ).
>
n;
n
( ))
Ce qui revient à montrer que
8 6=
où la suite (Yn ( ) ; n
0,
P (Dn; ) = P (Yn ( 0 ) >
1) est dé…nie par
Yn ( ) =
et la suite (
n
! 1;
n!+1
L X; ^ n
L (X; )
;
( )) est déterminée par la condition au seuil
P 0 (Dn; ) = P (
n
( 0) >
n
( )) = ,
8n
1;
et ^ n l’estimateur du maximum de vraisemblance basé sur un n échantillon.
On remarquera que Yn ( 0 ) =
n
( 0 ).
La condition au seuil s’écrit encore
P (Yn ( 0 ) >
n
( )) = .
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Soit l le nombre déterminé par
P W12 > l
Et comme 2: log
n
= :
loi
! X12 (th. 8), il s’ensuit que 2: log
( 0)
n!+1
n
( )
! l , ce qui
n!+1
permet d’écrire
2: log
Si
6=
0,
n
( )=l +
pr
n,
n
! 0 .
n!+1
on peut écrire :
L X; ^ n
L X; ^ n L (X; )
0
=
;
Yn ( ) =
L (X; )
L (X; 0 ) L (X; )
d’où
2: log Yn ( ) = 2 log
avec Bn = log
On a
L (X; )
.
L (X; 0 )
L X; ^ n
L X; ^ n
L (X;
0)
2Bn ;
loi
= n ( 0 ) ! X12 lorsque n ! +1.
L (X; 0 )
n
Bn
1X
L (Xi ; ) p:s
L (X; )
log
! E log
= a, et a > 0.
=
n
n i=1
L (Xi ; 0 )
L (X; 0 )
D’autre part, on a :
0
1
L X; ^ n
P 0 (Dn; ) = P (2: log Yn ( ) > l + n ) = P @2 log
> l + n + 2Bn A :
L (X; 0 )
2 log
Et comme
Bn
!
n
a < 0; il existe un entier N
1 tel que 8n
0 p:s.
n
étant à valeurs positives, le théorème en résulte.
N , on ait l + n +2Bn <
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Exercices
I
Soit (X1 ; :::; Xn ) un n échantillon de la loi normale N (m;
2
):
1. Montrer qu’il existe un test UPP semblable de l’hypothèse H0 : m = m0 contre
l’alternative H1 : m 6= m0 avec
2
quelconque.
2. Montrer qu’il existe un test UPP semblable de l’hypothèse H0 :
l’alternative H1 :
2
6=
2
0
2
2
0
=
contre
avec m quelconque.
II
2
1)
Soit (X1 ; :::; Xn ) un n échantillon de la loi N (m1 ;
de la loi N (m2 ;
et (Y1 ; :::; Ym ) un m échantillon
2
2) :
1. Montrer qu’il existe un test UPP et sans biais de H0 :
l’alternative H1 :
1
>
2
où m1 et m2 sont quelconques et
=
1
2
contre
=
quelconque.
2. Montrer qu’il existe un test UPP de l’hypothèse H0 : m1 = m2 = m (m quelconque) contre l’alternative H1 : m 6= m0 avec
1
=
2
=
quelconque.
III
On observe un n échantillon (X1 ; :::; Xn ) d’ue vecteur gaussien N (m; ) où m 2
2 M+
k le cône des matrices dé…nies positives (n > k). Soit
Rk et
Pour tester H0 :
2
0
contre H1 :
2
1n
0;
0
1
Rk M+
k.
on utilise le rapport de vraisemblances
; avec
log
= sup fL (X; m; ) : (m; ) 2
0g
sup fL (X; m; ) : (m; ) 2
On prend dans ce qui suit des tests de région de rejet f
donnée.
1g :
cg pour une constante c < 1
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
1. Soit m0 2 Rk . On suppose la covariance
connue. Donner untest de niveau
de "m = m0 " contre "m 6= m0 ". C’est un test de Hotelling.
2
= f 2 :Ik : > 0g " contre " 2 M+
k n ";
n
2
jSj
=
vaut il 1 ?
nk . A quelle condition
[tr (S) =k] 2
2. Pour un test de sphérécité, "
montrer qu’on obtient
IV
Soit G un groupe. Un modèle statistique ( ; A; P ; 2
si, 8S 2 G et 8 2
;9
0
unique dans
) est dit invariant par G
tel que P S = p 0 :
1. Véri…er que si le modèle statistique est ( ; A; P ; 2
) identi…able alors
0
est
unique.
A chaque s 2 G on peut donc associer une application s de
dé…nie par s ( ) =
alors de noter
0
0
dans lui même
tel que P S = p 0 et on notera G l’ensemble des s: convient
par s ( ) :
2. Montrer que G est un groupe de bijections et on a s1 os2 = s2 os1 8s1 ; s2 2 G et
(s)
1
= (s 1 ) 8s 2 G.
Une hypothèse H0 est invariante par G si 8s 2 G; s (H0 ) = H0 (i.e. H0 est
globalement invariant pour tout s 2 G).
3. Montrer que H0 est invariant par G si et seulement si H1 = Hc0 est invariant par
G.
Un problème de test dé…ni par le modèle ( ; A; P ; 2
) et H0 est dit invariant
par G si le modèle et H0 sont invariant par G.
Un test
est dit invariant par G si
(x) =
(s (!)) ; 8! 2
et 8 2 G.
CHAPITRE 9. TESTS
SIMILAIRES ET TESTS DES RAPPORT DES VRAISEMBLANCES
Deux éléments ! et ! 0 sont dits équivalents et on note !
tel que ! 0 = s (!) : Véri…er que la relation
! 0 ; s’il existe s 2 G
est bien une relation d’équivalence.
On appellera orbites les classes d’équivalence relatives à cette relation.
On appelle invariant (resp. un invariant maximal) une application w dé…nie sur
telle w est constante sur chaque orbite (resp. !
! 0 () w (!) = w (! 0 )).
4. Soit w un invariant maximal. Montrer que v est un invariant si et seulement s’il
dépend de ! à travers w:
5. Montrer que si T est une statistique invariante (pour G) et si une application u
dé…nie sur
est invariant maximal (pour G), la loi de T ne dépend de
qu’à
travers u ( ) :
Ainsi, dans le modèle image par u, on obtient un espace des paramètres restreint
par rapport à
,ce qui permet d’éliminer des paramètres nuisibles.

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