Fonctions exponentielles et logarithmes

1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
CHAPITRE 4
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET
LOGARITHMES
Exercice 1
Calculez sans calculatrice :
1)
log 3 3
2)
log 2
3)
log 7 343
4)
log 3
5)
log 1 3
1
16
1
3
3
1
1000000
6)
log
7)
log 5 125
8)
log 7 ( 24 + 52 )
9)
log 0, 00001
10)
log 5 ( 32 + 42 )
11)
log 1 8
2
12)
log 1 0,57
2
13) 10log8,7
14)
6log6 13
15)
log
16)
log
1
8 + 62
2
100
0, 001
-1-
1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
17)
18)
19)
20)
Exercice 2
Soient a et b les deux réels strictement positifs tel que
1)
et
.
Calculez sans calculatrice :
a)
b)
c)
d)
e)
2)
Expliquez pourquoi on ne peut pas calculer
sans calculatrice. Montrez
comment on peut trouver une valeur approchée de ce nombre (par exemple au
centième près) en se servant d’une calculatrice.
Exercice 3
Les graphiques suivants représentent des fonctions logarithmes ou des fonctions
exponentielles. Trouvez l’expression analytique de chacune de ces fonctions en justifiant
votre réponse.
-2-
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Exercice 4
Pour chacune des quatre fonctions ci-dessous, trouvez la courbe qui lui correspond parmi
les huit courbes du graphique :
-3-
1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
Exercice 5
Résolvez les équations suivantes (solutions exactes et solutions approchées au centième
près).
1)
4x = 2
2)
log 2 x = −6
3)
1
  = 81
3
4)
log 2 ( 3 x + 5 ) =
5
5)
5 x +3 = 5
6)
log 4 ( 3 x + 1) =
3
7)
4 ⋅ 72 x =
5
8)
5log ( x − 2 ) + 7 = 16 + 2 log ( x − 2 )
9)
log ( 5 − 4 x=
) log ( 3x − 2 )
10)
3 ⋅ 7`8−3 x + 4 =1 − 10 ⋅ 7`8−3 x
x
11) 11 − log( x + 5) =
14
12)
log 5 ( 2 x + 11) − log 5 ( 7 − 5 x ) =
0
13)
7
= 112
8
14)
3 ⋅ 25 x −1 − 7 =
11 ⋅ 25 x −1 − 23
15)
log (12 x − 8 ) =
2
16)
log 9 3 ( x − 2 )  =
0,5
17)
log 5 + log ( x + 3) =
2
18)
log ( 53− x − 4 ) =
0
1− x
19) 115−log x = 1
20)
2 ( 3x − 14 ) − 11 ⋅ 3x =2 − 5 ( 6 + 3x )
-4-
1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
SOLUTIONS
Exercice 1 (corrigé complet)
1
1
=
log 3 3
2
2
1)
log
=
3 3
2)
log 2
3)
3
log=
log
=
3log
=
3
7 343
7 7
7 7
4)
log 3
5)
log 1 3 =
− log 1
1
=
− log 2 16 =
− log 2 24 =
−4 log 2 2 =
−4
16
1
=
− log 3 3 =
−1
3
3
3
1
=
−1
3
1
=
− log106 =
−6 log10 =
−6
1000000
6)
log
7)
3
=
=
log=
log
3log
3
5 125
55
55
8)
log 7 ( 24 + 52=
) log7 ( 24 + 25=) log7 49= log 7 7=2 2 og 7=7 2
9)
1
1
5
log 0, 00001 =
log10−5 =
−
( −5) log10 =
2
2
2
10)
log 5 ( 32 + 42=
) log5 ( 9 + 16=) log5 25= log5 5=2 2 log5 =5 2
11)
log 1 8 =
log 1 23 =
3log 1 2 =
−3log 1
2
12)
2
2
2
1
=
−3
2
1
7
log=
7 log
7=
log 1
7
=
1 0,5
1 0,5
2
2
2
2
13) 10log8,7 = 8, 7
14)
6log6 13 = 13
15)
log
16)
log
1
1
1
=
log
=
log
=
− log102 =
−2 log10 =
−2
2
8 +6
64 + 36
100
2
100
1
3
3 7
= log100 − log 0, 001 = log102 − log10−3 = 2 log10 + log10 = 2 + =
2
2
2 2
0, 001
-5-
1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
17)
log 2 16
log 2 24
4 log 2 2
4
=
=
=
= −1
−4
log 0, 0001 log10
−4 log10 −4
18)
log 5 + log =
2 log ( 5 ⋅ 2=
) log10= 1
19)
log 700 − log 7= log
20)
log ( 8 + log100=
) log (8 + log102=) log (8 + 2=) log10= 1
700
= log100= log102= 2 log10= 2
7
Exercice 2
a
= 4, 75
b
log ( a 2b3 ) = −5,5
a
=3
b
a10
= 39
b4
1)
log a 5 = 12,5 log
2)
Il n’existe pas de formule qui permet d’exprimer log ( a + b ) en fonction de log a
log
log
et de log b donc on ne peut pas calculer log ( a + b ) sans calculatrice.
Calculatrice :
log a = 2,5 ⇔ a = 102,5 et log b =−3,5 ⇔ b =
10−3,5
donc log ( a=
+ b ) log (102,5 + 10−3,5 )  2,50
Exercice 3
1)
La courbe de f1 admet (Ox) comme A.H. donc f1 est une fonction exponentielle et
comme f1 (1) = 4 on a f1 ( x ) = 4 x .
2)
La courbe de f 2 admet (Oy) comme A.V. donc f 2 est une fonction logarithme et
comme f 2 ( 3) = 1 on a f 2 ( x ) = log 3 x .
3)
La courbe de f3 admet (Oy) comme A.V. donc f3 est une fonction logarithme et
comme f3 ( 0,5 ) = 1 on a =
f3 ( x ) log
=
log 1 x .
0,5 x
2
4)
La courbe de f 4 admet (Ox) comme A.H. donc f 4 est une fonction exponentielle et
comme f 4 (1) = 1,5 on a f 4 ( x ) = 1,5 x .
5)
La courbe de f5 admet (Ox) comme A.H. donc f5 est une fonction exponentielle et
x
1
1
comme f5=
on a f=
25
0,=
25 x   .
(1) 0,=
4 ( x)
4
4
-6-
1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
Exercice 4 (corrigé complet)
Les courbes 1 à 4 ont des A.V. donc elles ne peuvent pas représenter des fonctions
exponentielles, alors que les courbes 5 à 8 ont des A.H. donc elles ne peuvent pas
représenter une fonctions logarithmes. Par conséquent les courbes de f et h ne peuvent
être que parmi les courbes 1 à 4 et les courbes de g et k ne peuvent être que parmi les
courbes 5 à 8. De plus :
f (1) =
4 − log1 =
4 donc  f = 3
g ( 2=
) 3=0 1 donc g = 5
h ( −3=
) log1= 0 donc h = 1
k ( −1) =50 − 2 =−1 donc k = 6
Exercice 5
1)
S = {0,5}
1
2) =
S =

 64 
{0, 015625}
{−4}
3)
S=
4)
S = {9}
5)
S=
6)
S = {21}
7)
5 
5

log
 log 4 
4  0, 06
S =
 avec
2
log
7
2
log
7




8)
S = {1002}
9)
S = {1}
10)
S= ∅
11)
S=
12)
 4
S = − 
 7
{−2,5}
{−4,999}
-7-
1re EFG – Chapitre4 – Fonctions exponentielles et logarithmes
13)
7 
S = 
3
14)
2
S = 
5
15)
S = {9}
16)
S = {3}
17)
S = {17}
18)
S = {2}
19)
S = {100000}
20)
S= ∅
-8-

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