1 Distributions de charges et de courants.

Spéciale PC
Thème TD Physique
Année 20132014
1
TD n° 24.
Les équations de Maxwell.
Donné le : 16 / 01 / 14.
1.4 Symétries et invariances d'une
distribution liforme de courants.
Distributions de charges et
de courants.
1.1 Résistance d'un conducteur ohmique cylindrique.
On considère un solénoïde d'axe Oz supposé inniment long (eets de bord négligés) comportant
n spires circulaires jointives par unité de longueur
parcourues par un courant continu d'intensité I . On
note R le rayon des spires et on néglige leur hélicité.
→
−
On cherche le champ B créé par le solénoïde en tout
point M de l'espace, repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
On considère un conducteur ohmique AB de longueur `, de section S , parcouru par un courant d'intensité IA→B réparti uniformément sur la section du
conducteur de conductivité électrique γ , soumis à la
d.d.p. U = VA − VB . On se place en régime stationnaire.
Exprimer la résistance RAB du conducteur en fonction de γ , ` et S .
1°) Exploiter les invariances et les symétries du pro→
−
−
blème pour montrer que B (r, θ, z) = B(r)→
u z.
1.2 Résistances de circuits non liformes.
2°) En appliquant le théorème d'Ampère sur un rectangle ayant deux côtés parallèles à Oz,situé, soit en
totalité à l'intérieur soit en totalité à l'extérieur du
solénoïde, prouver que
On considère une électrode hémisphérique de centre
O et de rayon a, plongée dans un demi-espace inni z < 0 conducteur ohmique de conductivité σ,
le demi-espace z > 0 étant isolant. Un courant stationnaire d'intensité I sort de l'électrode et s'en va
à l'inni.
1°) Identier la forme des lignes de courant dans
le conducteur. Quelle hypothèse de l'exercice justie l'armation "le vecteur densité de courant→
est à
−
ux conservatif" ? En déduire l'expression de j en
fonction de I , σ et r.
∀r < R
∀r > R
où C et D sont des constantes (qu'on ne demande
pas de déterminer pour le moment).
3°) On admet que D = 0 : était-ce prévisible ? Identier la constante C en appliquant le théorème d'Ampère sur un rectangle ayant un coté parallèle à Oz
situé à l'intérieur du solénoïde et l'autre coté parallèle situé à l'extérieur du solénoïde. En déduire
→
−
2°) Faire circuler le champ E de la surface de l'électrode à l'inni pour exprimer le potentiel V (a) sur
l'électrode.
3°) En déduire que la résistance R entre l'électrode
et l'inni vaut
R=
1
2πσa
→
−
−
B int = µ0 nI →
uz
1.3 Symétries et invariances d'une
distribution discrète de charges.
1.5 Un problème à symétrie sphérique en régime variable.
On considère 4 charges ponctuelles xes de même
valeur q > 0 situées aux sommets d'un carré de
centre O placé dans le plan (xOy) aux points de
coordonnées A1 (x = `; y = 0), A2 (x = 0; y = `),
A3 (x = −`; y = 0) et A4 (x = 0; y = −`).
On cherche le potentiel électrique en un point M au
voisinage de O a priori sous la forme (en se limitant
aux termes d'ordre deux)
Un conducteur sphérique de centre O et de rayon R
est plongé dans l'air, assimilé à un milieu ohmique
de faible conductivité σ . Initialement, le conducteur
porte une charge Q0 . Le conducteur se décharge progressivement et on note Q(t) sa charge à l'instant
t. De ce fait, il apparaît des courants décrits par
→
−
−
j = j(r, t)→
u r dans le milieu ohmique.
V (x, y, z) = V0 + αx + βy + γz
+ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + eyz + f zx
Exploiter toutes les invariances et symétries de ce
problème, ainsi que l'équation locale satisfaite par
V au voisinage de O pour déterminer tous les coecients du potentiel V (M ). En déduire le champ
→
−
E (x, y, z).
Bint (r) = C
Bext (r) = D
→
−
→
−
→
−
−
1°) Prouver que E = E(r, t)→
u r et B = 0 .2
2°) En déduire l'expression de E(r, t) puis celle de
1/ 2
Q(r, t).
2
3°) Le champ ........ est à ..................................
conservatif en régime stationnaire ou variable.
À propos des équations de
Maxwell.
4°) Dans le cadre de l'A.R.Q.S., la circulation du champ ........ le long d'un
......................................... est égale au produit de
µ0 par .........................................................
2.1 Formalisme local avec l'opérateur
nabla.
5°) La variation par rapport au temps du ...............
du champ .......... est égale à la circulation du champ
....... le long du .........................................................
Écrire sous forme locale les équations de Maxwell
→
−
ci-dessous en utilisant l'opérateur nabla ( ∇ ) :
Maxwell - Gauss :
Maxwell - Thomson :
Maxwell - Faraday :
Maxwell - Ampère :
Expressions des champs en fonction des potentiels :
→
−
E =
2.3 Les équations de Maxwell en régime stationnaire sous forme locale.
Écrire sous forme locale les équations de Maxwell en
régime stationnaire : que peut-on remarquer ?
→
−
B =
2.2 Les équations de Maxwell sous
forme intégrale.
2.4 Les équations de Maxwell dans
l'A.R.Q.S. sous forme intégrale.
Retrouver les expressions manquantes dans chacune
des phrases suivantes :
1°) La charge ...................... à une surface
fermée est égale au produit de ε0 par le
........................... du champ ........ à travers
................................................
2°) Le champ ......... est à .................................
conservative uniquement en régime stationnaire.
Écrire sous forme intégrale les équations de Maxwell
dans le cadre de l'A.R.Q.S. Identier les théorèmes
de Gauss et d'Ampère.
3
Puissance et énergie électromagnétique.
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