Mécanique quantique I

École polytechnique de Bruxelles
PHYSH301/2014
Mécanique quantique I
◦
Séance d'exercices n 2 : Oscillateur harmonique à trois dimensions (Partie
2)
1. A partir des résultats obtenus dans la partie 1, exprimer les fonctions radiales
Rnr l (r) = r−1 unr l (r) (sans les normer). Les exprimer sous forme de fonction hypergéométrique conuente et de polynome de Laguerre généralisé. En déduire le sens
physique de
2. Pour
n=0
nr .
et 1, normer les fonctions d'onde.
3. Application : un nanocristal (ou particule quantique ou q(uantum) dot) constitué d'arséniure de gallium (GaAs) possède des propriétés optiques très particulières
du fait de la quantication des niveaux d'énergie des électrons de conduction piégés
en son sein. Un modèle simpliste pour ces électrons de conduction est de considérer qu'ils ont une masse eective de
harmonique de force
~ω = 4
0.067me
et qu'ils sont soumis à un potentiel
meV. Calculer les énergies accessibles aux électrons de
conduction. Sachant que, pour un cristal inni, le gap du GaAs est de 1.42 eV, en
déduire l'énergie minimale d'un photon émis par un électron passant de l'état de
conduction le plus bas à l'état de valence le plus élevé.
Polynômes de Laguerre généralisés
Lαn (z) =
Γ(n + α + 1)
1 F1 (−n, α + 1, z),
n! Γ(α + 1)
∞
1 F1 (a, c, z) = 1 +
X Γ(a + n) Γ(c) z n
az
a(a + 1) z 2
+
+ ... =
,
c 1! c(c + 1) 2!
Γ(a)
Γ(c
+
n)
n!
n=0
Z∞
Γ(z) =
du uz−1 e−u ,
z ∈ C,
0
Γ(n) = (n − 1)!
et
1
(2n)! √
= n
π,
Γ n+
2
4 n!
n ∈ N,
Harmoniques sphériques
1
Ylm (θ, φ) = √
2π
Plm (x) =
s
2l + 1 (l − m)!
Plm (cos θ) eimφ ,
2 (l + m)!
(−1)m
dl+m 2
2 m
2
(1
−
x
)
(x − 1)l .
2l l!
dxl+m
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