TD1 - ENS de Lyon

ENS de Lyon
Préparation à l’agrégation
Géométrie affine - TD1
01/10/2014
Exercice 1. Parties linéaires
1. Montrer que la composée de deux applications affines est affine, et que sa partie
linéaire est la composée de leurs parties linéaires.
2. Montrer qu’une application affine est injective (resp. surjective, bijective) si et seulement si sa partie linéaire est injective (resp. surjective, bijective).
Exercice 2. Projections affines
~ ⊂E
~ un supplémentaire de F~ .
Soit F ⊂ E un sous-espace affine, et soit G
1. Montrer qu’il existe une unique application affine p : E → E de partie linéaire la
~ dont l’image est F , et telle que p ◦ p = p. On
projection sur F~ parallèlement à G,
~
appelle p la projection sur F parallèlement à G.
2. Quelles sont les applications affines ϕ telles que ϕ
~ ◦ϕ
~=ϕ
~?
Exercice 3. Conjugaison
Soit ϕ : E → E une transformation affine. Déterminer ce que sont ϕ ◦ T~v ◦ ϕ−1 et
~ et hO,λ est l’homothétie de centre
ϕ ◦ hO,λ ◦ ϕ−1 , où T~v est la translation de vecteur ~v ∈ E
O ∈ E et de rapport λ ∈ k.
Exercice 4. Composition d’homothéties
Soient O et O0 deux points distincts d’un espace affine E, et λ, λ0 ∈ k ∗ tels que λλ0 6= 1.
Montrer que la composée de l’homothétie de centre O, de rapport λ et de l’homothétie
de centre O0 , de rapport λ0 est une homothétie centrée en un point O00 tel que O, O0 et
O00 sont alignés.
Exercice 5. Un peu de géométrie
Démontrer les affirmations suivantes.
1. Par tout point d’un espace affine, il passe une unique droite parallèle à une droite
donnée (postulat des parallèles).
2. Par deux points distincts d’un espace affine, il passe une et une seule droite.
3. Dans un plan affine, deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont disjointes.
Exercice 6. Centre du groupe affine
Soit E un espace affine de dimension n ≥ 1. Déterminer le centre de GA(E).
1
Exercice 7. Groupe affine et points fixes
~ ∈ GL(E).
~
Soit E un espace affine, φ ∈ GA(E) de partie linéaire φ
1. Montrer que l’ensemble des points fixes de φ est un sous-espace affine de E.
2. Soit O ∈ E et O0 = φ(O). Montrer que M ∈ E est un point fixe de φ si et seulement
−→
−−→ −−→
~ −
si φ(
OM ) − OM = O0 O. En déduire que φ a un unique point fixe si et seulement si
~ − Id ~ est injectif.
φ
E
~ on note φO,L l’unique φ ∈ GA(E)
3. On fixe une origine O ∈ E. Si L ∈ GL(E),
~ = L. À quelle condition les transformations φO,L et T~v
telle que φ(O) = O et φ
commutent-elles ? Montrer que si tel est le cas, la composée T~v ◦ φO,L fixe un point
ou stabilise une droite.
~
~
~
4. Démontrer que toute application φ ∈ GA(E) telle que ker(φ−Id
~) = E
~ )⊕Im(φ−IdE
E
s’écrit comme à la question précédente.
5. Montrer que l’application affine
f : R2 → R2 : (x, y) 7→ (x + y, y + 1)
n’a pas de sous-espace invariant non trivial.
Exercice 8. Représentation linéaire du groupe affine
Soit V un espace vectoriel de dimension n + 1 et f ∈ V ∗ une forme linéaire non nulle.
En particulier, E = f −1 {1} est naturellement muni d’une structure d’espace affine de
dimension n. Montrer que le sous-groupe
{φ ∈ GL(V ) : f ◦ φ = φ} ⊆ GL(V )
s’identifie au groupe affine GA(E).
En déduire que le groupe affine d’un espace affine de dimension n est isomorphe au
groupe de matrices





a
1






..  

A
.
n
⊂ GLn+1 (k).
GAn (k) = 
 A ∈ GLn (k), (a1 , . . . , an ) ∈ k


an  




 0 ··· 0 1
2

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