Logarithmes de base quelconque

3.3 Logarithmes quelconques
Nous avons vu que la fonction expa , où a   \ 1 , définit une bijection
strictement monotone de  dans  .
Définition. La fonction loga , appelée fonction logarithme de base a,
où a   \ 1 , est la bijection réciproque de expa .
Cas particuliers :
•
Si a  10 alors log10 est appelé logarithme décimal et noté log . log
est donc la bijection réciproque de exp10 . Le logarithme décimal est
utilisé en chimie pour exprimer le pH (voir manuel p. 47).
•
Si a  e
(nombre d’Euler), alors
loge
est appelé logarithme
népérien et noté ln . ln est donc la bijection réciproque de exp .
Conséquences immédiates :
(1)
dom loga   et im loga   (car im expa   et dom expa   ).
(2)
 x    y    a x  y  x  loga y .
Exemples :
•
log2 256  8 car 28  256 ;
•
log3 81  4 car 34  81 ;
•
log5 5 
•
log 0, 001  3 car 103  0, 001 ;
•
ln 5  1,6094 car e1,6094  5 ;
1
2
1
car 5 2 
5 ;
On peut donc retenir que loga x est « l’exposant qu’il faut donner à
a pour obtenir x ».
(3)
 x    loga  a x   x et  x    a loga

x
x.
Exemples :
•
log6 64  4
6log6 4  4
•
log2 29  9
2log2 9  9 ( 9  dom log2 )
•
ln e 3  3
e ln 3  3
•
log106  6
10log 6  6
•
log0,5 8  log0,5 0, 53  3
0, 5
log 0,5 8
8
(4)
loga est strictement monotone et a même sens de variation que
expa . Plus précisément :
(5)
•
si a  1 alors loga est str. croissante ;
•
si 0  a  1 alors loga est str. décroissante.
x , y  0 :
•
loga x  loga y  x  y
•
loga x  loga y  x  y , lorsque a  1
•
loga x  loga y  x  y , lorsque 0  a  1
C’est une conséquence immédiate de la stricte croissance respectivement
décroissance de loga .
Exemples :
(6)
•
log2 x  3  log2 x  log2 23  x  8 ;
•
log x  2  log x  log102  x  2 ;
•
ln x  2  x  e 2 ;
•
log 1 x  5  x   13 
3
5
 x  243 ;
Les graphes de loga et expa sont symétriques par rapport à la 1re
bissectrice dans un repère orthonormé.
x
y   21 
y  2x
y  log2 x
y  log 1 x
2
(7)
(8)
De la symétrie des deux graphes de loga et expa on déduit aussi que :
•
si a  1 alors lim loga x   et lim loga x   ;
•
si 0  a  1 alors lim loga x   et lim loga x   ;
•
loga admet une asymptote verticale d’équation x  0 .
x 
x 
x 0
x 0
Comme a 0  1 et a 1  a , on a : loga 1  0 et loga a  1 . En d’autres
termes, le graphe de loga comprend les points  1, 0  et a,1  .
Nous passons maintenant en revue les propriétés moins évidentes des fonctions
logarithmes de base quelconque.
1) Propriété fondamentale de loga :
( a   \ 1 ),  x , y   
loga  xy   loga x  loga y
Remarque. Cette propriété est fondamentale parce qu’elle « caractérise »
les fonctions logarithmes. En d’autres termes, il n’y a pas d’autre fonction
dérivable sur  qui transforme la multiplication en l’addition. Nous
admettons ce fait.
Démonstration. La formule résulte du fait que loga
est la bijection
réciproque de expa et de la propriété fondamentale de expa . En effet, soit
x et y deux réels strictement positifs et x '  loga x et y '  loga y . Or :
Comme a x 'y '  a x '  a y '
 x '  loga x  a x '  x


 y '  loga y  a y '  y

 xy , on en déduit que :
loga  xy   x ' y '  loga x  loga y .
2) Autres propriétés :
( a   \ 1 ),  x , y   
1
a) loga
  loga x ;
x
 
x 
b) loga    loga x  loga y ;
y 
c) loga x r  r loga x , avec r   ;
Démonstration.
a) Dans la propriété fondamentale, on remplace y par
loga  x  x1   loga x  loga x1
 loga 1  loga x  loga
 0  loga x  loga
 loga
1
x
1
x
:
1
x
1
x
  loga x
b) On utilise la propriété fondamentale et la propriété précédente :
loga  xy   loga  x  y1   loga x  loga
1
y
 loga x  loga y
c) On a successivement :
loga x r  y  x r  a y
y
 x  ar

y
r
 loga x
 y  r loga x
3) Dérivées de expa et loga
Dérivée de expa :  x    a x  '  a x ln a et e x  '  e x .
Démonstration. On a déjà établi le cas particulier e x  '  e x . De plus on
sait que la dérivée de expa est donnée par la formule :
ah  1
.
h 0
h
Pour déterminer la valeur de k nous nous ramenons au cas particulier a  e :
 a x  '  ka x , où k  expa '  0   lim
x
 a x  '   e ln a 
 '  e x ln a  '  ln a  e x ln a
 ln a  a x
Donc k  ln a et la formule est démontrée.
Nous sommes maintenant en mesure de calculer la dérivée de loga :
Dérivée de loga :  x    loga '  x  
1
1
et ln'  x   .
x
x ln a
Démonstration. Nous utilisons la formule générale qui relie les dérivées
d’une bijection f et de sa réciproque f 1 :
 f 1  '  x  
1
f ' f
1 
x 
()
formule valable sous condition que f ' ne s’annule pas en f 1  x  . Ici :
f  expa et f 1  loga . Soit donc x  0 et loga x  y , c.-à-d. x  a y . En
appliquant la formule () , il vient :
 loga  '  x  

1
 expa  '  loga x 
1
 expa  '  y 
1
(a y et ln a sont  0)
a ln a
1

x ln a

y
Dans le cas du logarithme népérien (ln), on a ln a  ln e  1 . D’où la 2e
formule annoncée.

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