DS novembre 14

DS de Sciences de l’Ingénieur, MPSI1, octobre 14
Durée : 1h
Corrigé sur le site : http://perso.numericable.fr/starnaud/
Questions de cours
1. Donner la structure d’une chaine d’énergie.
2. Expliquer ce qu’est SysML (en quelques mots).
3. Dans un système asservi, donner le rôle du correcteur.
Exercice 1.
1. Tracer la fonction e (t )  u (t
sa transformée de Laplace.
 1)  (t  2).u (t  2)  (t  3).u (t  3)
2. Tracer la fonction e (t )  sin( t ).u (t )  sin( t
transformée de Laplace.
et donner
 2 ).u (t  2 ) et donner sa
3. Soit le système défini par la fonction de transfert
H ( p) 
2
p 2  12. p  45
,
déterminer la réponse temporelle de ce système à une impulsion.
4. Soit la fonction
S ( p) 
p6
p 2  8. p  8
, déterminer s(0), s(∞) et s’(0) en utilisant les
théorèmes des valeurs initiales et finales.
Exercice 2.
Soit le système dont le comportement est défini par l’équation différentielle :
d 2 s (t )
ds(t )

12
.
 35.s(t )  4.e(t ) .
dt 2
dt
1. Déterminer sa fonction de transfert
H ( p) 
S ( p)
E ( p)
2. Déterminer la réponse de ce système à un échelon unitaire.
Exercice 3
Station d’épuration
Une station d'épuration traite les eaux usées collectées par le réseau d'égouts des
agglomérations. Elle a pour fonction de les débarrasser de la pollution liée à l'activité
humaine. Les eaux purifiées sont ensuite rejetées dans le milieu naturel (fleuve, rivière,…).
1/8
Étude de la filière boue
Les boues sont constituées d’eau et de matière sèche. La siccité est le pourcentage
massique de matière sèche. Ainsi, une boue avec une siccité de 10 % présente une
humidité de 90 %. Afin d’incinérer les boues, il faut les déshydrater pour atteindre une
siccité de 20 %. La déshydratation mécanique par centrifugation permet de séparer l’eau
des matières sèches dans les boues.
La centrifugation se base sur la différence de densité entre les matières sèches et l’eau
présente dans cette boue. La boue arrive avec une certaine vitesse horizontale par un coté
de la centrifugeuse. L’eau traverse alors toute la centrifugeuse dans sa zone centrale tandis
que les matières en suspension sont plaquées contre le tambour extérieur du fait de sa
vitesse de rotation.
Une vis intérieure, tournant dans le même sens que le tambour mais à une vitesse plus
importante, vient alors récupérer les boues et les évacuer en sens inverse de l’eau jus- qu’à
la sortie latérale. La compréhension du fonctionnement des flux d’eau et de boue dans la
centrifugeuse n’est pas nécessaire à la suite de l’étude.
La boue visqueuse est cisaillée par la différence de vitesse entre la vis et le tambour (Bol
extérieur). La siccité de la boue est directement liée à cette différence de vitesse dont
l’asservissement est l’objet de l’étude suivante.
La séquence de lancement de la centrifugeuse se déroule en trois phases :
 Mise en marche du premier moteur Mtambour jusqu’à ce que le tambour 1 atteigne
sa vitesse de consigne de 2000 tours/min. Le moteur Mrel est à l’arrêt.
2/8
 Mise en marche du deuxième moteur Mrel jusqu’à ce que la vitesse différentielle de 2
tours/min soit atteinte entre le tambour 1 et la vis 3. La vis 3 tourne ainsi plus vite
que le tambour 1.
 La boue liquide est ensuite introduite.
Première phase :
Um(t)
Cr(t)
Mise en marche du premier moteur Mtambour
Moteur
Mtambour
ω10(t)
3/8
Son équation de fonctionnement est : J .
Avec :
Um(t)
ω10(t)
Cr(t)
Jeq1 = J
Ke = KT
R
d10 (t ) K T

.(u m (t )  K e .10 (t ))  C r (t )
dt
R
Tension d’alimentation (en Volt).
Vitesse de rotation du moteur (en rad/s).
Couple résistant sur l'arbre de sortie du moteur (en mN).
Inertie équivalente ramenée à l’axe de rotation de l’arbre.
Coefficients de couplage.
Résistance de l'induit.
On considère le couple résistant nul, l’équation devient :
d10 (t ) K T
J.

.(u m (t )  K e .10 (t ))
dt
R
On donne : Ke = KT = 3 (KT en N.m/A, Ke en V.s/rad)
R = 0,3 Ω
J = 500 kg.m2
Questions
1. Déterminer la fonction de transfert
2. Déterminer
3. Mettre
H m ( p) 
10 ( p )
. Faire l’application numérique.
U m ( p)
10 (t ) , la réponse temporelle de ce système à un échelon de 150 Volts.
H m ( p ) sous forme canonique, identifier ses paramètres caractéristiques.
En déduire la courbe de réponse à un échelon de 150 Volts, ses performances en
rapidité et la valeur finale de la vitesse de rotation (à représenter sur la courbe).
Le comportement du moteur peut se représenter sous la forme du schéma bloc suivant :
Question 4
Calculer H m ( p ) à partir de ce schéma bloc et retrouver le résultat de la
question 1.
4/8
On asservi ce moteur, la structure de l’asservissement est donnée ci-dessous.
Avec :
N10c(t)
N10(t)
e(t)
Cm(t)
KmT
Question 5
Consigne de vitesse de rotation en tour par minute du moteur Mtambour.
Vitesse de rotation en tour par minute du moteur Mtambour.
Force contre-électromotrice.
Couple moteur.
Coefficient de transfert de la génératrice tachymétrique .
Quels éléments justifient le fait qu’on a affaire à un système asservi.
On considère le couple résistant nul, après calcul, la structure de l’asservissement devient :
Avec
K 2  0,01
 2  20 s
Question 6
Déterminer la fonction de transfert
CT  p  , K 2
H  p 
en fonction de
et  2 .
On choisi dans un premier temps un correcteur proportionnel :
Question 7
N 10 ( p )
N 10 C ( p )
CT  p   K C .
 
Avec K C  300 , déterminer la fonction de transfert H p , faire
l’application numérique et la mettre sous forme canonique
En déduire la réponse à un échelon de vitesse N10c(t) = 2000 tours/min.
Donner les performances de cet asservissement (stabilité, dépassement,
précision, rapidité).
5/8
On donne dans le document réponse la réponse à un échelon de vitesse de N10c(t) = 2000
tours/min avec un correcteur proportionnel : CT p  500 (abscisse : temps en seconde,
ordonnée : vitesse de rotation en tour/min).
Question 8
Déterminer les performances de l’asservissement en vitesse avec ce
correcteur proportionnel CT p  500 .
 
 
On choisi dans un deuxième temps un correcteur proportionnel intégral :
CT  p   K C 
Ki
p
On donne dans le document réponse la réponse à un échelon de vitesse de N10c(t) = 2000
tours/min avec un correcteur proportionnel intégral (abscisse : temps en seconde,
ordonnée : vitesse de rotation en tour/min).
Question 9
Déterminer les performances de l’asservissement en vitesse avec ce
correcteur proportionnel intégral.
Question 10
Faire un bilan des performances en remplissant le tableau du document
réponse.
Conclure sur l’effet des différentes corrections.
Transformées usuelles.
Domaine temporel
Domaine de
Laplace
Domaine temporel
 t 
1
sin t
K
K
p
cos t
K
p2
1
pa
K.t
e  at
t
n
1e
at
t / 
e .t

p2  2
p
p2  2

p  2
p
2
p  2
sht
2
cht
. sin t

 p  a 2   2
e . cos t
pa
 p  a 2   2
e
 at
 at
n!
 p  a n1
n
1  1  a.t .e
n!
p n 1
1
p 1  p 
Domaine de
Laplace
 a .t
a2
2
p. p  a 
e
 a .t
e
 b .t
ba
 p  a . p  b 
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1  e  a.t
t
a
a
p . p  a 
2
1
b
a
.e a.t 
.e b.t
a b
a b
a.b
p. p  a 
. p  b
Question 8
Question 9
Question 10
Correcteur
Stabilité
Dépassement
Précision
Rapidité
CT  p   300
7/8
CT  p   500
CT  p   K C 
Ki
p
8/8

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