Wie teilt man ein Kuchenstück gerecht?? Die Aufgabe ist einfach

Wie teilt man ein Kuchenstück gerecht??
Wasilij Barsukow, Frühling 2006 / Winter 2008
Die Aufgabe ist einfach und lebensnah: Gegeben ist ein Tortenstück von dreieckiger Form
und man soll dieses in gleich große Teile zerschneiden, und zwar mit Schnitten, die nicht
strahlenförmig aus der engsten Stelle des Stücks gehen, sondern senkrecht“, so wie in
”
Abb. 1 dargestellt.
Abbildung 1: Wie soll man die Schnitte ansetzen, um das Kuchenstück gerecht zu teilen?
Das Problem ist natürlich äquivalent zu jenem, bei dem man nur den (in Längsrichtung)
halben Kuchen teilt (Abb. 2). Dabei heiße die kurze, zu den Schnitten parallele Seite
Grundseite. Das Stück sei x lang, wenn man von der Spitze bis zur Grundseite misst.
Mit dem halben Öffnungswinkel α eines solchen Stücks ist die Grundseite dann y =
x tan α. Das Kuchenstück soll in n Teile geteilt werden, welche mit 1, 2, ..., n bei der
Spitze angefangen durchnummeriert werden. Bei konstanter Höhe des Kuchenstücks ist
die Zerteilung der Fläche wesentlich.
Bei einer speziellen Wahl von n kann man die Größe des i-ten Stücks rekursiv berechnen,
indem man bei der Fläche des Dreiecks an der Spitze (j = 1) anfängt und dann die
übrigen Trapeze aller j nacheinander ausrechnet, bis man bei i ankommt. Das ist nicht nur
mühselig, sondern auch schlecht zu verallgemeinern. Es soll also eine explizite Darstellung
für die Breite des i-ten Stücks das Ziel unserer Rechnungen sein.
2
α
= x tan
. Das Dreieck ABC (Abb. 2) habe die
Die Gesamtfläche des Stücks ist F = xy
2
2
02
x tan α
0
0
Fläche F . Zum einen gilt analog F =
, zum anderen ist das aber die Summe aller
2
Teile des Kuchenstücks, die vor dem jetzt betrachteten, i-ten Stück, liegen. Da jedes die
02
α
Fläche Fn haben soll, folgt für das Dreieck F 0 = Fn (i − 1): x tan
= Fn (i − 1) oder
2
r
0
x =
2F (i − 1)
n tan α
Wir wissen aber auch, dass das i-te Teil des Kuchenstücks ein Trapez ist, dessen Flächenz 2 tan α
inhalt sich als Fn = y 0 ·zi + i 2 (entspricht FQuadrat +FDreieck ). Wiederum mit y 0 = x0 tan α
ergibt sich:
1
Abbildung 2: Definitionen
F
n
= x0 tan α · zi +
z 2 tan α
2
F
tan α
+ zi · x0 tan α −
2
n
2F
0 = zi2 + zi · 2x0 −
n tan α
r
2F
zi = −x0 ± x02 +
n tan α
0 = zi2 ·
Dabei ist nur die positive Lösung sinnvoll. Einsetzen von x0 ergibt:
r
zi
zi
zi
Mit F =
x2 tan α
2
wird
q
r
2F (i − 1)
2F (i − 1)
2F
= −
+
+
n tan α
r n tan α
r n tan α
2F (i − 1)
2F i
= −
+
n tan α
r n tan α
√
√
2F
=
·
i− i−1
n tan α
2F
n tan α
=
√x :
n
zi =
√x
n
·
√
√
i− i−1
2
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
√
√
i− i−1
1
0,414
0,318
0,268
0,236
0,213
0,196
0,183
0,172
0,162
0,113
0,071
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
√1
n
1
0,707
0,577
0,5
0,447
0,408
0,378
0,354
0,333
0,316
0,224
0,141
Tabelle 1: Ausgewählte Werte hier aufgetauchter Zahlenfolgen
Die Größe des ersten, dreieckigen Stücks ist offensichtlich √xn , so dass die im linken Teil
der Tabelle aufgeführten Werte als Anteile der übrigen Stücke im Vergleich zum ersten zu
verstehen sind. Gleichzeitig sind dort auch die Werte für √1n tabelliert (rechte Spalte). Diese entsprechen dem Anteil der Breite des ersten Teils zur Gesamtlänge des Kuchenstücks.
Dabei wird deutlich, dass im Falle einer Zweiteilung des Kuchenstücks das schmalere etwa
70% der Gesamtlänge wegnimmt, im Falle einer Vierteilung sogar genau die Hälfte. Erst
ab etwa 20 Teilen nimmt es weniger als ein Viertel ein. Damit wird deutlich, dass, wer
schon einmal der Herausforderung gegenüber stand, das Kuchenstück auf diese Weise zu
teilen, er sich wahrscheinlich verschätzt hat! In Abb. 3 sind einige Aufteilungen des Kuchenstücks maßstabsgetreu dargestellt. Dabei sind nur die relativen Verhältnisse relevant,
da alle zi proporional x sind.
3
Abbildung 3: Einige Aufteilungen des Kuchenstücks
4

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