STATICA DEL CORPO RIGIDO 1) Un’asta di massa trascurabile e di lunghezza 1 m è imperniata ad un suo estremo e può ruotare senza attrito. All’estremo opposto è applicata una forza di 5 N che forma con l’asta un angolo di 45°. Per mantenere l’asta in equilibrio è applicata un’altra forza di 14 N, perpendicolarmente all’asta stessa e dalla parte opposta. A che distanza dal perno è applicata? La situazione è schematizzata in figura: Affinché l’asta sia in equilibrio, la somma dei momenti delle due forze deve essere nulla. I due momenti hanno segno opposto, quindi deve risultare: M1 = M 2 Ricordiamo la definizione di momento: M = R×F → M = R ⋅ F ⋅ senα Teniamo ora presente che la forza F1 forma un angolo di 45° con l’asta e che il suo punto di applicazione R dista 1 metro dal perno; si ha quindi: M 1 = 1 × 5 × sen45° = 3,54 Nm La forza F2 è perpendicolare all’asta ed è applicata ad una distanza x dal perno; si ha quindi: M 2 = 14 x Uguagliando i due momenti si ottiene: 14 x = 3,54 2) x = 0,25 m Un telecomando di massa 0,110 kg lungo 21,0 cm sta fermo su di un tavolo come mostrato in figura. Per premere il tasto di accensione serve una forza di 0,365 N. Determina di quanto può sporgere al massimo il telecomando oltre il bordo del tavolo per non capovolgersi quando si preme il tasto. (Assumi che il telecomando sia equivalente a un’asta uniforme e che il tasto si trovi esattamente alla sua estremità) La situazione è schematizzata nella figura seguente: Osserviamo che il baricentro si trova a 10,5 cm dall’estremo sinistro. Conviene assumere come asse di rotazione lo spigolo da cui sporge il telecomando. Se indichiamo con x la parte del telecomando che sporge dal tavolo, allora la posizione del baricentro, rispetto all’asse di rotazione, è (10,5 – X) cm. La condizione limite di equilibrio si ha quando il momento torcente della forza F è opposto al momento torcente della forza peso, ossia quando: F ⋅ x = mg ⋅ (10,5 − x ) x= 3) → Fx + mgx = 10,5 ⋅ mg → x= 10,5 ⋅ mg F + mg 10,5 × 1,079 = 8 cm 0,365 + 1,079 Un oggetto è collocato su una tavoletta di massa trascurabile lunga 80 cm, che è sospesa ai due estremi A e B a due dinamometri che indicano rispettivamente 20 N e 35 N. Calcolare la massa dell’oggetto e la distanza a cui si trova rispetto all’estremo A. La situazione è schematizzata in figura: Le condizioni di equilibrio del sistema richiedono che sia nulla la risultante di tutte le forze e che sia nulla la soma dei momenti torcenti delle forze. Cominciamo dalla prima condizione; deve essere: FA + FB − P = 0 → mg = FA + FB → m= FA + FB 20 + 35 = = 5,6 Kg g 9,8 Imponiamo ora la condizione che siano nulli i momenti torcenti rispetto ad un punto, che sceglieremo arbitrariamente nell’estremo A. Indicando con x la distanza dell’oggetto dall’estremo A deve risultare: mg × x = FB × l 4) → x= FB × l mg → x= 35 × 0,80 = 0,51 m 5,6 × 9,8 Un trampolino è costituito da una tavola di lunghezza 4 m e massa 20 kg. Essa è fissata a due piastrini A e B, che distano tra loro 1,5 m, come mostrato in figura. Determinare la forza R sviluppata dal piastrino B sapendo che all’estremità della tavola si trova un tuffatore di massa 80 Kg Le forze che agiscono sono rappresentate dallo schema seguente: Consideriamo i momenti torcenti rispetto all’estremo A della tavola; si ha: τR = + LR×R τ1 = - L/2 × P1 τ2 = - L× P2 è il momento torcente della forza R sviluppata dal piastrino è il momento torcente dovuto alla forza peso della tavola è il momento torcente dovuto alla forza peso del tuffatore In condizioni di equilibrio la risultante dei momenti torcenti deve essere nulla, quindi si ottiene subito: L × P1 + L × P2 2 1,5 × R = 2 × 20 × 9,8 + 4 × 80 × 9,8 → R = 2352 N τ R + τ1 + τ 2 = 0 5) → LR × R = A 10 kg plank 3 m long is leant horizontally over a wall, so that it juts out 1 m from the wall itself. A 6 kg cat starts walking towards the end of the plank. Find the maximum distance the cat can walk, from the end of the plank, before it overturns. Iniziamo con la traduzione del testo: “Una tavola di massa 10 Kg e lunghezza 3 m è appoggiata orizzontalmente su un muro, in modo che sporge di un metro dal muro stesso. Un gatto di massa 6 Kg inizia a camminare verso l’estremità della tavola. Trova la massima distanza che può percorre il gatto, a partire dall’estremità della tavola, prima che essa si ribalti” La situazione è schematizzata nella figura seguente Assumiamo come riferimento le distanze a partire dall’estremo della tavola; in questo modo la posizione del baricentro B della tavola si trova a 1,5 m di distanza dall’estremo, ossia a 0,5 m dall’angolo del muro, che rappresenta il punto attorno a cui ruoterebbe la tavola se si rovesciasse. Indichiamo con x la posizione del gatto; il braccio del momento torcente è allora (1-x) m poiché la tavola sporge di un metro dal muro. La condizione limite si ha quando i momenti torcenti associati al gatto e al baricentro della tavola si equivalgono: