Un mese con Montalbano

NUMERI
I numeri sono gli elementi di insiemi a cui sono associate delle proprietà e delle operazioni.



si denota l’insieme dei numeri naturali
={1,2,3,4…} se a questo insieme aggiungiamo il
numero 0 avremo
={0,1,2,3,4,5…}
si denota l’insieme dei numeri interi (o anche numeri relativi) è costituito dai numeri
naturali, dallo 0 e dagli opposti dei numeri naturali. Esso è un’estensione dell’insieme .
={0,1,-1,2,-2,3,-3,…}
si denota l’insieme dei numeri razionali sono quelli che si esprimono come rapporto tra
interi (frazioni) e ci sono anche i numeri negativi:
un’estensione dell’insieme
. Due frazioni
n
,m
/{0}. Esso è
e rappresentano lo stesso numero quando
nh=mk. Inoltre un numero razionale ha infinite rappresentazioni. Tra le rappresentazioni
frazionarie di un numero razionale ne esiste una più semplice tali che:
 Il numeratore e il denominatore sono primi tra di loro;
 Il denominatore è un numero naturale;
 Una tale funzione si dice ridotta ai minimi termini;
 tutti i numeri si rappresentano in forma decimale con una parte intera e una parte
decimale (che può valere anche 0) costituito da infinite cifre: 3,456… il 3
rappresenta la parte intera e quelli dopo la virgola la parte decimale;
 i numeri interi sono quelli la cui parte decimale è costituita da tutte cifre nulle:
5,00000…..
 i numeri razionali sono quelli che hanno la parte decimale che contiene un numero
infinito di cifre non nulle;

la parte decimale è periodica:
=0,27272727… =0,25000…
sono numeri di cui possiamo determinare la forma frazionaria. Sono tutti numeri
periodici poiché anche quando la parte decimale è sempre 0 la posso considerare
periodica.

Numeri irrazionali sono i numeri con infinite cifre decimali non nulle e non periodiche:

π=3,1415926535, √ =1,41421356 , e=2,71828182(numero di Nepero)
si denota l’insieme dell’unione dei numeri razionali e irrazionali, dunque insieme dei
numeri rappresentabili in forma decimale. Essa è un’estensione di
Gli insiemi numeri introdotti verificano le seguenti proprietà di inclusione:

.
Operazioni tra numeri razionali e reali
Nell’insieme ma anche nell’insieme si definiscono due operazioni: somma e prodotto. Inoltre
è anche possibile introdurre una direzionalità in virtù della naturale presenza di un ordinamento
(ordine). In è definito un ordinamento totale, in virtù del quale presi due numeri a e b, si verifica
una e una sola delle 3 seguenti proprietà (proprietà di tricotomia):



a=b;
a<b;
a>b
L’ordinamento verifica le seguenti proprietà:




A1 a,b
si ha a ≤ b oppure b ≤ a;
A2 a ≤ b e b ≤ c  a ≤ c;
A3 a ≤ b e b ≤ a  a=b;
A4 a ≤ a
a
Somma
Ad ogni coppia di numeri reali a e b associamo un nuovo numero reale a+b che è la somma.
Quest’operazione verifica delle proprietà:




B1 a+b=b+a a,b
simmetrica;
B2 (a+b)+c=a+(b+c) a,b,c
associativa;
B3 0
: a+0=0+a=a a
elemento neutro;
B4 a
, (-a)
: a+(-a)=0 esistenza dell’opposto.
Prodotto
Ad ogni coppia di numeri a e b associamo un nuovo numero reale che è il prodotto ab.
Quest’operazione soddisfa le seguenti proprietà:




C1 ab=ba a,b
simmetrica;
C2 (ab)c=a(bc) a,b,c
associativa;
C3 1
: a1=1a=a a
elemento neutro;
-1
-1
C4 a
\{0}, a
: aa =1 esistenza del reciproco.
Tre ulteriori proprietà collegano l’ordinamento (A) con la somma (B), l’ordinamento (A) con il
prodotto (C), la somma (B) con il prodotto (C):



AB a ≤ b  a+c ≤ b+c
c
;
AC a ≤ b e 0 ≤ c (non negativo)  ac ≤ bc;
BC a(b+c)=ab+ac a,b,c
distributiva.
.
( , +, ≤, ) questa è una struttura e si chiama campo, ossia dove vi è un insieme
, o qualsiasi
altro campo che soddisfa queste proprietà. In più se c’è un ordinamento totale viene chiamato
campo totalmente ordinato.
Posso rappresentare i numeri razionali come punti di una retta:
Scelgo un punto che associa a 0 e scelgo un’unità di misura. Riporto un estremo dell’unità
nell’origine, il secondo estremo occupa una posizione a cui assoceremo il valore 1 o -1. Riportando
l’unità di misura più volte possiamo individuare i punti rappresentativi di tutti gli interi.
Però i punti della retta non li abbiamo riempiti tutti. Poiché mancano ancora gli irrazionali.
Partiamo da questa costruzione: prendo sulla retta il numero 1. Dopo di che costruisco un
quadrato che ha una certa diagonale d, dove d è un numero reale.
2
2
2
La proprietà di d che scaturisce dal teorema di Pitagora è che: d =1 +1 =2. Quindi d=√ è un
numero positivo tale che il suo quadrato vale 2. Allora costruisco un arco di circonferenza di
lunghezza d, dove cade l’arco quello è il valore di d. “d” non è razionale, ma irrazionale e lo si può
constatare attraverso il seguente teorema.
Teorema irrazionalità di √
n
(n è pari  n2 è pari). Cioè se n è pari ha il numero 2 tra i suoi fattori anche il numero
n2=nn lo ha. Per dimostrare che la radice di due non è un numero razionale mi serve dimostrare
che n2 è pari n è pari (vale una condizione necessaria e sufficiente). Considerata una certa
proposizione ab (n2 è parin è pari) vogliamo provare che l’implicazione ab è uguale
all’implicazione b a. Quindi un teorema della forma ab è lo stesso teorema in cui capovolgo
l’ipotesi con la tesi negandole entrambe. Per dimostrare che n2 è parin è pari andrò a dimostrare che
n
n è dispari  n2 è dispari. Se n non ha il numero 2 tra i suoi fattori, neppure il numero
n2=nn lo ha. Quindi questa è la premessa per dimostrare che non esiste alcun numero razionale
che abbia come quadrato 2. Supponiamo per assurdo che esista un numero d
rappresentiamo d con una frazione ridotta ai minimi termini. d=
m, n
tale che d2=2 e
primi tra loro.
2
Quindi d2=( ) =2  m2=2n2 n2 è pari perché ha tra i suoi fattori il numero 2 m è pari.
2
d2=( ) ma sappiamo che m è pari quindi possiamo dire che m=2h
d2=(
)2=2 , h
quindi 4h2=2n2n2=2h2n2 è parin è pari.
Assurdo perché avevamo ipotizzato che m,n erano primi tra loro, ma invece sono entrambi pari
quindi hanno un fattore comune.
In definitiva questo ci fa capire che il campo totalmente ordinato dei numeri razionali e il
campo totalmente ordinato dei numeri reali differiscono per una sorta di proprietà di
continuità, nel senso che posso andare da un punto all’altro di una retta attraverso i numeri reali
al contrario se guardo i razionali sulla retta non c’è continuità, ma è come se ci fossero dei buchi
infiniti.
Insiemi numerici
Ogni insieme A P( ) si denomina insieme numerico. Ci sono altre classi di parti notevoli di
cui gli intervalli. stesso è un intervallo di e anche l’insieme è un intervallo di .

Gli intervalli semilimitati: si costruiscono fissando un numero a
tra
e considerare tutti i numeri
minori di a, minori uguali di a, maggiori di a e maggiori uguali di a.




(- ,a)={x|x
(- ,a]={x|x
(a,
)={x|x
[a,
)={x|x
, x < a} superiormente limitato
, x ≤ a} inferiormente non limitato
, x > a} inferiormente limitato
, x ≥ a} superiormente non limitato
Quelli che contengono si chiamano chiusi, quelli che non contengono si chiamano aperti.

Intervalli limitati, presi a e b
, e considero tutti i numeri che verificano entrambe le
proprietà di risultare > o ≥ di a e < o ≤ di b. quindi si può vedere con l’intersezione di due
intervalli semilimitati.
 (a,b) = {x|x
, (x > a) /\ (x < b)}
 (a,b] ={x|x
, (x > a) /\ (x ≤ b)}
 [a,b) = {x|x
, (x ≥ a) /\ (x < b)}
 [a,b] = {x|x
, (x ≥ a) /\ (x ≤ b)}
Estremi dell’intervallo
I numeri a e b che delimitano l’intervallo in alto o in basso si denominano estremi dell’intervallo. I
semilimitati ne hanno uno i limitati ne hanno due (max e min). estremo inferiore e estremo
superiore. Se l’intervallo è chiuso ci sono gli estremi se è aperto non è detto che ci sono.
Maggioranti e minoranti
Preso l’intervallo (0,1) se prendo 2 (0,1) però è più grande di tutti i numeri dell’intervallo. Quindi
2 è un maggiorante. Preso un insieme numerico A un maggiorante di A è quel numero m che
verifica la proprietà M ≥ x
. In un insieme infinito non esistono massimi e minimi.
Nell’insieme finito se a e b fanno parte dell’insieme essi saranno a minimo se è il più piccolo di
tutti, b massimo se è il più grande di tutti. Il massimo di A è un numero che appartiene ad A e
M
M≥x
. Il minimo è un numero che appartiene ad A m
m≤x
.
Mentre il minorante è uguale al maggiorante solo che è ≤ x.
Esempio:
l’insieme dei numeri naturali



è inferiormente limitato
Ogni numero negativo è un minorante di ;
Lo 0 è un minorante di ;
I numeri positivi fino a 1 sono minoranti di
Al contrario non è superiormente limitato perché per ogni numero reale M si può determinare
un numero naturale n che sia maggiore di M.
Oss: se un insieme possiede un maggiorante M allora ne possiede infiniti poiché ogni numero
maggiore di M è ancora un maggiorante. In altre parole l’insieme dei maggioranti di A. Se un
insieme A possiede invece un massimo questo è unico. Infatti se esistessero 2 max M e M’ distinti
dovrebbe risultare:
M
M
M
x ≤ M e x ≤ M’
di conseguenza deve risultare M’< M e M < M’ IMPOSSIBILE!! (per la proprietà di tricotomia)
Consideriamo un insieme ordinato che può essere
o
DEF. Sia A un sottoinsieme superiormente limitato dell’insieme totalmente ordinato ( o ). Si
chiama estremo superiore di A il minimo maggiorante di A (ammesso che esista). Analogamente se
A è inferiormente limitato si chiama estremo inferiore di A il massimo minorante di A (ammesso
che esista). In simboli infA e supA.
Proprietà dell’estremo superiore (o proprietà di completezza o assioma di Dedekind)
DEF. Si dice che un insieme K totalmente ordinato possiede la proprietà dell’estremo superiore se
ogni suo sottoinsieme A che non sia vuoto sia superiormente sia inferiormente limitato possiede
un estremo superiore.
Oss. Questa proprietà è del tutto analoga a quela dell’estremo inferiore nel senso che ogni
insieme ordinato che verifica l’una delle due verifica necessariamente anche l’altra
Assegnato un insieme totalmente ordinato K, due parti A e B di K costituiscono una sezione di K(
una sezione è una coppa di insiemi con queste caratteristiche) se:



Sono disgiunti
Ricoprono K
Sono separati
;
;
x<y
SOMMATORIE
La somma tra 2 numeri può essere estesa a infiniti numeri. Sommiamo n numeri reali:
a+b+c+…..+d
nella notazione indiciale la stessa sommatoria si scrive (tutti i numeri li chiamo allo stesso modo
ma con indici diversi)
a1+a2+a3+…..+an
più sinteticamente la medesima sommatoria si scrive:
∑
Che si legge “somma per i che va da 1 a n degli ai”
Se gli n numeri da sommare hanno tutti lo stesso valore “a” si ha:
∑
∑
∑
Somma di due sommatorie
Sono sommatorie con indici che assumono gli stessi valori.
∑
Infatti (a1+b1)+(a2+b2)+….+(an+bn)
∑
∑
Scomposizione di una sommatoria
∑
∑
∑
Infatti a1+a2+a3+……+an=(a1+a2+a3+…..+am)+(am+1+am+2+am+3+….+an)
Traslazione di indici (shift)
∑
∑
Infatti a1+a2+a3+….an= am+1-m+am+2-m+….+am+n-m
FATTORIALE
Consideriamo 3 oggetti distinti che indichiamo con i simboli x,y,z da disporre in 3 caselle distinte
1,2,3. In quanti modi è possibile disporre questi oggetti?
DEF. Per ogni numero n il prodotto dei primi n numeri naturali si denomina fattoriale di n e si
denota con il simbolo n! in formula n!=1 2
. Per definizione si assume 0!=1. Le
permutazioni sono i diversi modi di ordinare in successione n oggetti distinti. Quante sono le
permutazioni? Sono n fattoriale.
Il fattoriale dei numeri da 1 a 10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n!
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
Il fattoriale verifica l’immediata proprietà
(n+1)!=(n+1)n!
Infatti (n+1)!=(n+1)
(n+1)n!=(n+1)
COEFFICIENTE BINOMIALE
Per ogni coppia di numeri interi non negativi n e m con m ≤ n si definisce coefficiente binomiale di
m e n il numero:
( )
Esempio: calcoliamo il cubo di un binomio: (x+y)3
Abbiamo (x+y)3=(x+y)
=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy=x3+3x2y+3xy2+y3
Consideriamo adesso una generica potenza di un binomio
(x+y)n=(x+y)
n volte
(x+y)n=a0xny0+a1xn-1y1+a2xn-2y2+….+an-1x1yn-1+anx0yn
Il generico coefficiente ak coincide con il numero di modi diversi in cui posso ottenere n-k fattori x
e k fattori y nep precedente prodotto.

Se lancio una moneta n volte e devo contare le k volte in cui ottengo testa e n-k volte in cui
ottengo croce avrò:
(x+y)n= ( )
( )
( )
(
)
( )
Ponendo x=1 e y=1
∑( )
2n=( )+( )
( )
(
)+( )
TRIANGOLO DI TARTAGLIA
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1 4
2
3
1
3
6
1
4
1
Proprietà del coefficiente binomiale
n
e
( )
(
)
(
)
INSIEMI INDUTTIVI
Una parte A di
1. 1
2. x
si dice insieme induttivo se soddisfa i due seguenti requisiti:
A
A x+1
A
oss. La classe degli insiemi induttivi non è vuota in quanto
è senz’altro un sistema induttivo.
DEF. Sia S( ) la classe di tutti gli insiemi induttivi l’intersezione di tutti i suoi elementi si denota
con N e prende il nome di insieme dei numeri naturali.
N=
N è il più piccolo insieme induttivo N
TEOREMA
L’intersezione dei numeri naturali N è un insieme induttivo di
1. 1
2. n
1
se A è un sottoinsieme di N A
necessariamente A=N
n+1
e si prova che A è un insieme induttivo, allora risulta
PRINCIPIO DI INDUZIONE
Predicati in cui la variabile è un numero naturale
1. n < 0;
2. 1+2+…+n=
3. (1+x)n ≥ 1+nx
n+1
n
4. (
n
5. 2 n! < n
=∑
( )
n
Dimostrazione per induzione
2) P(n) ∑
per n=1 è soddisfatta
La dimostrazione di “A è un insieme induttivo” consta di due passi:
1. Dimostrare che 1
2. Dimostrare che n
Dim.
ii) Assumiamo che la proprietà sia vera per un dato n
∑
Dimostriamo che è vera per il successivo di n
∑
∑
∑
Infatti
∑
∑
(
)
DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI
TEOREMA
Per ogni numero reale x ≥ -1 e per ogni numero naturale n sussiste la disuguaglianza di Bernoulli
(1+x)n ≥ 1+nx
Dimostrazione
i)
ii)
La proposizione è vera per n=1 poiché (1+x)1 ≥ 1+x
Assumiamo che la proprietà sia vera per un dato n (1+x)n ≥ 1+nx
Mostriamo che è vera per il successivo di n : (1+x)n ≥ 1+(n+1)x
(1+x)n ≥ 1+nx (1+x)n+1 ≥ 1+(n+1)x
Infatti (1+x)n+1= (1+x)(1+x)n
≥ (1+x)(1+nx)
= 1+(n+1)n+nx2
≥ (1+(n+1))x
Ne segue che la proprietà è vera per ogni n

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