Mathématiques CRPE - Didactique ANALYSER I. LES ERREURS DES ELEVES Repérage des erreurs Les erreurs peuvent être repérées dans diverses situations : devoirs écrits, brouillons, observations de l’élève travaillant individuellement ou en groupe, entretien avec l’élève, … Une question se pose : « Cette erreur est-elle vraiment une erreur ? ». Il convient alors de faire une analyse préalable de la tâche proposée, des consignes données. L’énoncé proposé avait-il une seule interprétation ? Pouvait-on comprendre autrement ce qui était demandé ? II. Hypothèses sur les procédures utilisées par les élèves L’analyse et l’interprétation des erreurs et de leur origine dépendent des différentes conceptions de l’apprentissage des mathématiques. 1. Conception transmissive La conception transmissive repose sur le fait que l’apprentissage est basé sur l’écoute, l’observation, l’imitation, la reproduction du modèle enseigné. L’analyse de l’erreur est faite en terme de manque ou d’anomalie. On se limite parfois à faire le constat que l’élève n’a pas acquis la notion ou les règles mathématiques. Dans cette conception, il faut encourager l’élève à travailler, recommencer les explications, proposer de nouveaux exercices d’entraînement. 2. Conception béhavioriste La conception béhavioriste repose sur l’idée que, pour faire passer l’élève, d’un état de connaissance à un autre, il faut ménager des étapes intermédiaires graduées, en découpant les compétences globales en compétences élémentaires et en distinguant différents niveaux pour ces compétences. Dans cette perspective, on distingue différents types d’erreurs : • maîtrise des connaissances, en distinguant les connaissances déclaratives (les savoirs : définitions, règles, théorèmes, …) et les connaissances procédurales (les savoir-faire : techniques, algorithmes, …) ; • disponibilité des connaissances : capacité à les mobiliser à bon escient, à les réinvestir ; • capacités logiques, raisonnement : gestion des données d’un problème, articulation de sous-problèmes, … Analyser les erreurs des élèves 1/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux Mathématiques CRPE - Didactique A partir de là, une intervention différenciée est possible : renforcement, retour sur des étapes antérieures, décomposition en étapes supplémentaires « plus simples », … 3. Conception socio-constructive Dans la perspective socio-constructive, l’erreur est l’expression d’une forme de connaissance. Quelle(s) procédure(s) l’élève a-t-il mise(s) en place ? Quelles sont les origines de cette (ces) procédure(s) ? • Limitations de l’élève - Limitations du sujet à un moment donné de son développement intellectuel. Exemple : Jusqu’à 6-7 ans, la notion de quantité numérique n’est pas distinguée de celle de la place occupée et l’élève affirmera qu’il y a plus objets en A qu’en B : Að* * * * * * * B ð² ² ² ² ² ² ² ² ² ² - Limitations des capacités dans le traitement de l’information : surcharge cognitive. On évoque ainsi l’idée de « charge mentale de travail » qui peut devenir excessive du fait de : – la gestion simultanée de plusieurs activités ; – le manque de procédures automatisées ; – le maintien du sujet sur des algorithmes coûteux (division par soustractions successives, par exemple) ; – le manque de « faits » disponibles dans la mémoire à long terme (résultats numériques, schémas de problèmes, …). - Caractéristiques personnelles de l’individu : – la représentation que l’élève a des mathématiques ou de l’école ; – la lenteur dans le travail ; – des capacités non spécifiquement mathématiques : lecture, expression écrite ou orale, … –… Analyser les erreurs des élèves 2/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux Mathématiques • CRPE - Didactique Conceptions de l’élève par rapport à un savoir déterminé - Conceptions d’origine épistémologique 1 Il s’agit des conceptions-obstacles qu’on peut retrouver dans l’histoire du concept, et dont le rejet a contribué à l’élaboration de ce concept par les mathématiciens. Par exemple, la conception des nombres comme expression d’une mesure a constitué un obstacle à l’élaboration du concept de nombre négatif pendant plus de 15 siècles. - Conceptions d’origine didactique Certaines conceptions sont d’enseignement mis en place : à rapporter aux dispositifs – soit dans le découpage opéré dans le savoir pour le présenter aux élèves ; – soit dans le cadre du choix des situations d’enseignement. Exemple : Les élèves arrivant au CM1 sont familiarisés avec les nombres naturels et ont acquis des règles qu’ils ont tendance à prolonger à tous les nombres. La règle « tout nombre possède un successeur, entre deux nombres consécutifs, on ne peut en intercaler aucun » peut expliquer une erreur comme « entre 2,5 et 2,7, il n’y a que 2,6 ». • Attentes réciproque maître-élève : contrat didactique - Erreurs qui sont produites à partir de règles du contrat élaborées par l’élève et qui vont fonctionner comme des obstacles à une représentation correcte de la tâche demandée. Exemple : recherche d’une seule solution (lorsqu’on n’en demande pas explicitement plusieurs). - Erreurs qui sont produites à la suite de la non appropriation des règles spécifiques à une activité donnée. L’élève ne sait pas exactement ce que le maître attend de lui dans des domaines comme : – la demande d’une explication ; – la rédaction de la solution d’un problème ; – le degré de précision dans les constructions géométriques. 1 Evoque ce qui est en rapport avec le développement et le fonctionnement des connaissances scientifiques. Analyser les erreurs des élèves 3/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux Mathématiques CRPE - Didactique III. Typologie des erreurs Famille d’erreurs Erreurs liées à la notion Causes possibles d’erreurs - Connaissance insuffisante du contenu - Techniques mal acquises - Connaissances erronées ou limitées Erreurs liées au mauvais traitement des données - Opérations mentales - Mauvaise cognitive) mémorisation - Erreurs de calculs - Manque d’automatismes (surcharge - Stratégies détournées ou mal adaptées Erreurs liées au comportement - Anxiété face à un problème - Temps mal géré Erreurs liées à la compréhension de la tâche - Situation mal comprise - Mauvaise interprétation de l’énoncé ou mauvaise représentation de la situation - L’élève répond à une autre chose qu’à la question. Il donne une réponse en fonction de ce qu’il croit que le professeur attend de lui - Contrat didactique IV. La remédiation 1. Qu’est-ce que la remédiation ? Le terme de remédiation évoque l’idée d’une nouvelle médiation que l’enseignant cherche à établir entre l’élève et le savoir après un premier apprentissage mal réussi. Il faut distinguer deux types de connaissances : • Celles qui sont en train d’être construites dans le cadre d’un premier enseignement et pour lesquelles l’erreur et la prise de conscience peuvent constituer un moment de l’apprentissage (voulu parfois par l’enseignant, dans le cadre d’une situation-problème). • Celles, enseignées antérieurement, pour lesquelles l’apprentissage n’a pas été complètement réussi. C’est dans ce cadre qu’on peut parler de remédiation. Analyser les erreurs des élèves 4/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux Mathématiques CRPE - Didactique La décision de remédier aux erreurs des élèves et les formes de cette remédiation dépendent de la réponse aux trois questions suivantes : - Y avait-il effectivement erreur par rapport à la tâche proposée, aux consignes données et aux interprétations auxquelles elles pouvaient donner lieu ? - Quelle est l'importance de l'erreur par rapport à la compréhension des concepts en cause et par rapport aux conséquences sur la suite des apprentissages ? - Quelle proportion d'élèves est concernée par ces erreurs ? Quel temps est-il possible de consacrer à cette remédiation ? Dans tous les cas, parmi toutes les erreurs commises par les élèves, il faut choisir celles pour lesquelles on souhaite mettre en place des activités de remédiation, puisque de toute façon on ne peut pas remédier à toutes les erreurs de tous les élèves. Il faut donc choisir les élèves pour lesquels de telles activités sont mises en place. 2. Erreurs liées aux caractéristiques de l’apprenant • Limitation du sujet à un moment de son développement Des activités dites de « remédiation cognitive » peuvent être envisagées. Divers courants proposent de telles activités : ateliers de raisonnement logique (ARL), programme d'enrichissement instrumental (PEI), ... • Limitation de la charge de travail Il est possible d'alléger la charge de travail en aidant les élèves à se construire des automatismes (techniques opératoires, reconnaissance de figures géométriques, lecture ...) ou à mieux organiser leur travail (comme, par exemple, noter des éléments importants). M Aider l'élève à se construire un automatisme concernant certains concepts ne l'aide pas pour autant à donner du sens à ces concepts. L'automatisme permet à l'élève « d'économiser de la place » en mémoire de travail en lui évitant justement un retour au sens. Pour faciliter la mise en place de ces automatismes, on pense bien sûr aux exercices progressifs et répétitifs (type exercices de factorisation, de développement, de calculs, de constructions de figures ...). Mais l'excès de ce genre d'activités présente un certain nombre d'inconvénients. - L'élève va avoir des difficultés pour transférer ces automatismes puisqu'ils ont été acquis dans un contexte bien déterminé dans lequel l'élève a repéré un certain nombre d'indices. Analyser les erreurs des élèves 5/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux Mathématiques CRPE - Didactique - S'il retrouve ces indices dans un problème ou un exercice, il fera fonctionner l'automatisme correspondant sans aucun contrôle, dans un domaine où il ne sera peut-être pas pertinent. - Ces exercices répétitifs peuvent induire chez l’élève une règle du contrat selon laquelle résoudre un problème, c'est trouver une recette ou un algorithme directement utilisable. • Erreurs liées à des difficultés que l’élève pour se construire une représentation du problème • Erreurs liées à la représentation qu’un élève a des mathématiques Il s'agit d'aider l'élève à prendre conscience qu'en maths il peut faire quelque chose. Pour cela on peut bien sûr valoriser les travaux qu'il réalise correctement, mais on peut aussi proposer de temps en temps en classe des problèmes ouverts. 3. Erreurs liées aux conceptions de l’élève par rapport à un concept donné Dans ce cas, il faut aider l'élève à prendre conscience de l'insuffisance de ces conceptions2 et à les faire évoluer. • Mise en place de conflits sociocognitifs Il s'agit dans ce cas de créer des interactions entre les élèves. Le débat peut porter par exemple sur le résultat d'un problème où chacun peut expliciter les raisons pour lesquelles il pense que son résultat est juste. Cela permet ainsi aux élèves d'expliciter leurs propres conceptions et de les confronter à d'autres. • Mise en place de situations-problèmes 4. Erreurs liées aux règles du contrat didactique • Règles qui sont source d’erreurs Il s'agit d'abord de les repérer et ensuite d'aider les élèves à rompre avec elles. Il faut trouver des activités pour lesquelles ces règles produisent des résultats faux : utilisation de problèmes ouverts, de problèmes sans questions, de problèmes pour lesquels il manque des données ... 2 Parce qu’elles conduisent soit à un résultat reconnu comme faux par l’élève, soit à une méthode trop lourde. Analyser les erreurs des élèves 6/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux Mathématiques • CRPE - Didactique Règles non appropriées par l’élève Il s'agit là au contraire d'aider les élèves à s'approprier ces règles. L'évaluation formatrice est une technique qui peut faciliter cette appropriation. L’évaluation est dite « formatrice » lorsqu’elle permet à l’élève de prendre conscience de ses difficultés et de ses besoins, de ses stratégies d’apprentissage, … L’évaluation formatrice est donc un dispositif d’évaluation en même temps que d’apprentissage. Les élèves autocontrôlent leurs procédures, maîtrisent des outils d’anticipation et de planification de l’action. Il faut tout d'abord clarifier les critères de réussite d'une tâche. Ensuite, à l'aide de tâches qui comportent un certain nombre d'erreurs les élèves doivent, préciser ce qui va et ce qui ne va pas. Ce travail peut se faire en groupe, mais doit se terminer par une mise en commun. Analyser les erreurs des élèves 7/7 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 0333 119 L - 73, rue de Marseille - 33000 Bordeaux