Transposition de

Didactique des mathématiques :
les fondamentaux
Année 2014-2015
Dr. Ruben Rodriguez Herrera
Agrégé en Mathématiques
[email protected]
IREM, ESPE, Ifé, CEMU
Université de Caen Normandie France
IREM de Basse - Normandie
Les outils de la didactique de
la mathématique
Module 2
-Les transpositions didactiques
dans différents univers expérimentables
adaptées à une communauté d'apprenants.
-Les variables didactiques dans une
situation
d'apprentissage-enseignement
-Les transpositions didactiques
dans différents univers expérimentables
adaptées à une communauté d'apprenants.
Les origines
Les connaissances ont eu toujours besoin d'être partagées par les communautés
humaines.
C'est ainsi que, pour faciliter l'accès à des connaissances déterminées et donc
pour être enseignées, les hommes ont volontairement construit des univers
adaptés, où les individus peuvent comprendre, assimiler et aussi anticiper des
résultats, c'est-à-dire des univers expérimentables et aussi des univers
formalisants (voir module1). Exemple : l'apprentissage des premières techniques
de conservation de la flamme aux autres membres d'un clan pour la survie de la
tribu.
C'est alors que naturellement les hommes ont construit, pour apprendre, des
transpositions qu'on peut appeler aujourd'hui « didactiques ».
Les transpositions didactiques primitives consistaient à partager les univers
familiers expérimentables, et par psychomorphismes, les enfants et adolescents
apprenaient. (Voir module1)
Univers de la
taille des pierres
Univers du feu
Univers des
peintures rupestres
Les apprenants,
par psychomorphismes
dans des
univers expérimentables,
sont dans une situation
préhistorique
de « transposition
didactique »
La marcassite,
pour générer des étincelles ;
Le « savoir savant »,
« comment allumer un feu ? »
est « enseigné » directement
par un phénomène de psychomorphisme
Alors la « transposition didactique »
dans ce cas...?
La friction
Les hommes doivent se former et former leurs proches
pour canaliser cette source de chaleur
Prométhée dérobant le feu
1637 , Jan COSSIERS
20 1
0
c
LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE
du savoir savant au savoir enseigné
C'est le titre d'un livre d'Yves
Chevallard, publié en 1985.
Introduite dans la première « école d'été de
didactique des mathématiques » en 1980.
Exemples autour de la notion de symétrie.
Considérons un espace vectoriel E de dimension finie n, et
une forme sesquilinéaire définie positive appelée « produitscalaire » et notée (x,y) → x.y
Un automorphisme u de E est dit « orthogonal » s'il
conserve le produit scalaire, au sens suivant:
∀ (x,y) ∈ E × E
u(x).u(y)=x.y
Exemples
L'identité est un automorphisme orthogonal.
L'application x → -x (symétrie centrale) est orthogonale
En analyse:
une courbe d’équation y = f(x) possède un axe
de symétrie d’équation x = a si et seulement
si, pour tout h tel que (a + h) appartient au
domaine de définition de f, on a :
(a − h) appartient au domaine de
définition, et
f(a + h) = f(a − h) ;
lorsque l’axe de symétrie est l’axe (Oy), c’està-dire ici l’axe d’équation x = 0 (donc avec a
= 0), la fonction est dite paire : f(h) = f(−h)
LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE
du savoir savant au savoir enseigné
C'est le titre d'un livre d'Yves Chevallard, publié en 1985.
Introduite dans la première « école d'été de didactique des mathématiques » en 1980.
Exemples autour de la notion de symétrie.
Définition
Si le point M’ est le symétrique du point M par rapport à l’axe (d),
alors (d) est la médiatrice du segment [MM’].
La symétrie axiale d'axe
(Ox)
en écriture complexe est
_
z' = z
La symétrie axiale d'axe
(Ox)
en écriture complexe est
_
z' = z
Nous pensons qu'il faut faire attention
à cette idée que la transposition didactique
part d'un « savoir savant » universitaire
pour le transformer en un savoir moins savant.
Ici la symétrie et sa forme
complexe constituent un Univers U
qui a sa propre épistémologie et
la symétrie par pliages et tâches
constitue un autre
Univers U' qui a sa propre épistémologie.
Mais il n' y a pas eu des « transpositions didactiques »
de l'univers U à l'univers U'
La symétrie axiale vue comme une transformation, est proche dans l'histoire,
(milieu du 19è siècle), et ceci par des raisons épistémologiques en
géométrie.
Mais la symétrie est très ancienne, elle était déjà présente chez
les architectes et mathématiciens de l'antiquité.
Le mot « symétrie » provient du grec « sun = avec » et « metron = mesure »
pour dire que la mesure est conservée ce qui est une condition nécessaire à
l'Harmonie chère aux Grecs.
Le Grec Thalès fut le premier mathématicien à produire des théorèmes (du
grec « theorema = ce que l'on constate, ce qui est vraie»).
Pour cela il s'est basé sur « la symétrie visuellement perçue» : par exemple
un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables.
C'est la première symétrie axiale intuitive constatée dans l'histoire des
mathématiques.
On voit ici, à propos de la symétrie,
que le « savoir savant » utilisé par Thalès et le
« savoir enseigné » aujourd'hui, par exemple en fin
de l'école primaire ou début du collège, sont
identiques donc la transposition didactique du
« savoir savant de Thalès » au « savoir
enseigné » est ici, dans cet exemple, une identité.
Nous pouvons affirmer qu'il existe
un ensemble d'univers différents
autour de la symétrie axiale
selon les différentes communautés.
-Univers de la symétrie axiale et le produit scalaire
-Univers de la symétrie axiale et les nombres complexes
-Univers de la symétrie axiale et les courbes des fonctions
-Univers de la symétrie axiale et les tracés sur feuille unie
-Univers de la symétrie axiale et les tracés sur feuille quadrillée
Univers de la symétrie axiale et les pliages.
….
Par contre à l'intérieur de chaque univers,
on peut, avec des intentions pédagogiques
précises,
transformer didactiquement les savoirs.
Pour cela en didactique des mathématiques
l'outil professionnel « variable didactique »
est précieux et fondamental
On peut aussi se référer
au phénomène qui se produit à l'intérieur
d’une petite communauté de savants, parfois
hétérogène, qui cherchent dans un univers
constitué d'objets nouveaux.
Dans cette communauté les savants sont
obligés
de faire des « transpositions à but didactique »
adaptées aux confrères pour avoir l'espoir
d’être compris...
C'est ainsi que les savants inventent des Univers
avec des formalisations les plus adaptées possibles.
Ils inventent des transpositions à but scientifique.
Concernant la didactique des
mathématiques, on peut dire qu'il y a
deux univers :
celui U des « transpositions
didactiques externes » et celui U' des
« transpositions didactiques
internes ».
L'enseignant navigue entre ces deux
univers dans un phénomène de
psychomorphisme qui lui permet
d'avancer dans l’enseignementapprentissage et donc dans ses
compétences professionnelles.
Exemples de quelques
couples: transpositions
externes-transpositions
internes
Exemples :
Le cas des propriétés de
nombres et opérations :
différentes transpositions
externes
Exemple 1
Transposition dans
l' univers numérique des
entiers naturels de « petite taille »
qui est suffisamment expérimentable
pour les élèves de cinquième du collège
La somme de deux entiers impairs consécutifs est un
multiple de 4.
Démonstration, par un élève de cinquième :
« Je fais quelques essais : 3+5=8, 1+3=4, 5+7=12 ; je
vois que je peux écrire ces additions de
la manière suivante : 3+5=3+1+5-1=4+4=8 (de même
pour les autres).
C’est la même chose que d’additionner le nombre pair
intermédiaire à lui-même, et le double d’un nombre pair
est toujours un multiple de 4. »
Exemple 2
Transposition dans
l' univers algébrique des entiers impairs consécutifs qui
est suffisamment expérimentable pour des élèves de
terminale scientifique.
La somme de deux entiers impairs
consécutifs est un multiple de 4.
Démonstration, par un élève de
terminale scientifique:
« Je peux écrire deux nombres
impairs consécutifs sous la forme
2k+1 et 2k+3, ainsi je
trouve :
(2k+1) + (2k+3) = 2k+1 + 2k+3 = 4k+4
= 4(k+1).
Le nombre obtenu est un multiple
de 4.»
Deux transpositions - Exemple 3
Les calculs généralisés peuvent se calculer
à l'aide des nombres géométrisés.
Voici la transposition algébrique actuelle :
1+2+3+4+...+(n-1)+n = n(n+1)/2
Et voici la transposition dans
l'univers géométrique de nombres
de l'école de Pythagore;
Remarque : la transposition
interne chez les Pythagoriciens
était caractérisée par un
Univers verbal oral
des raisonnements sur
les figures
Deux transpositions - Exemple 4
Les calculs généralisés peuvent se réaliser à l'aide des
nombres géométrisés.
Voici la transposition algébrique actuelle :
(n+1)(n+1) = nxn +n +(n+1)
Et voici la transposition dans l'univers géométrique de
nombres de l'école de Pythagore
Remarque : la transposition
interne chez les Pythagoriciens
était caractérisée par un
Univers verbal oral
des raisonnements sur les figures
Deux transpositions - Exemple 5
Les calculs généralisés peuvent se calculer à l'aide des nombres
géométrisés.
Voici la transposition algébrique actuelle :
1+3+5+7+...(2n-1) = nxn = n²
Et voici la transposition dans l'univers géométrique de nombres de
l'école de Pythagore
Remarque : la transposition
interne chez les Pythagoriciens
était caractérisée par un
Univers verbal oral
des raisonnements sur
les figures
Transpositions didactiques Exemple 6
Il s'agit de la propriété distributive
de la multiplication par rapport à
l'addition
(m + n) x r = (mxr) + (nxr)
Remarque : la transposition
interne chez les Pythagoriciens
était caractérisée par un
Univers verbal oral
des raisonnements sur les figures
LA VULGARISATION
Objectif : on cherche à
communiquer avec un public très
hétérogène.
Alors on emploie des analogies
et des métaphores.
On occulte les obstacles.
On montre tout simplement une
petite partie de la notion, sans
l'approfondir.
Analogies
Métaphores
Edward Norton Lorenz
Une fameuse métaphore :
«un seul battement d'ailes d'un papillon au Brésil
peut déclencher une tempête au Texas».
⇒
Système de Lorenz
Attracteur chaotique
Théorie du chaos
Trajectoires convergentes vers l'attracteur de
Lorenz.
La transposition permanente
L'enseignement est un exemple de la
transposition permanente c'est-à-dire
que les élèves et l'enseignant tirent
partie de l'interaction (
psychomorphismes, voir module 1),
entre l'Univers des transpositions
didactiques externes et l'Univers des
transpositions didactiques internes.
Exemples de psychomorphismes entre
l'univers de la transposition didactique
externe et l'univers de la transposition
didactique interne
a) Dans l'introduction des fractions (voir
module 1), quand quelques élèves
proposaient d'écrire 4/1 pour signifier
« un quart », ceci n'était pas prévu et on
avait adapté la transposition didactique
pour éclairer le sens du numérateur et
du dénominateur et la cohérence des
notations symboliques en
mathématiques.
b) dans l'introduction de la notion d'angle
droit (voir module 1), quelques élèves ont
proposé une autre procédure, non
prévue, pour trouver par pliage quatre
angles superposables avec deux plis de la
feuille.
Ceci a élargi la transposition didactique
au profit de la richesse de la relation entre
l'angle droit et la symétrie axiale
orthogonale.
On peut affirmer qu'il n'y a pas un acte d'enseignement où
l'on peut se passer de la
transposition didactique « in vivo »
Les réactions « in vivo » des élèves,
vis-à-vis de la transposition didactique
proposée par l'enseignant,
agissent sur cet enseignant
et modifient son Univers didactique professionnel.
Dans leur conception de la
transposition didactique, les sciences de
l'éducation assimilent savoir savant et
savoir universitaire,
celui que construisent les
savants-chercheurs.
C'est donc du point de vue de la
sociologie qu'il faut analyser comment un
savoir savant peut se transformer en un
savoir à enseigner, et identifier qui sont
les responsables qui s'occupent des
transpositions didactiques externes dans
la société. Par exemple : qui décide des
programmes ?
Qui sont les responsables qui s'occupent des transpositions
didactiques externes dans la société ? Par exemple : qui écrit
les programmes ?
Exemple historique des nombres décimaux
Arithmétique décimale L’an septième de la
République Française une et Indivisible
La naissance du système décimal.
Les États généraux ayant exprimé le vœu que les différentes mesures établies dans
chaque province et qui étaient une source intarissable de procès fussent remplacées par
une mesure unique pour toute la France, un décret de l’Assemblée nationale du 8 mai 1790
établit l’uniformité des poids et mesures pour tout le Royaume. Le système métrique
décimal fut officialisé par les lois du 7 avril 1795 et 10 décembre 1799.On crée ainsi le
système métrique décimal, permettant de convertir plus aisément les unités puisque
désormais pour passer d'une unité à ses multiples (et sous-multiples), il suffit de déplacer
la virgule. Il fut rendu obligatoire et exclusif le 2 novembre 1804. La loi du 4 juillet 1837
porte qu’à partir du 1° janvier 1840, des poids et mesures autres que ceux établis par la loi
sont interdits sous peine de sanctions.
En 1839, le Conseil royal de l’instruction publique ordonne à tous les instituteurs l’usage
exclusif du système légal et interdit les ouvrages scolaires qui contiendraient les mesures
anciennes.
Loi sur l’Instruction primaire, 28 juin 1833
Loi Guizot
A Paris, le 28 juin 1833. LOUIS-PHILIPPE, ROI DES FRANÇAIS,
à tous présents et à venir, SALUT. Nous avons proposé, les
Chambres ont adopté, NOUS AVONS ORDONNÉ et ORDONNONS
ce qui suit :
Titre premier
De l’Instruction primaire et de son objet
Article premier
L’instruction primaire est élémentaire ou supérieure.
L’instruction primaire comprend nécessairement l’instruction
morale et religieuse, la lecture, l’écriture, les éléments de la
langue française et du calcul, le système légal des poids et
mesures.
…
Un autre exemple : les
« mathématiques modernes »
On peut considérer que les transpositions de la réforme des
« mathématiques modernes » sont un exemple qui correspond
bien à la définition de « transposition didactique » telle que
l'entend Chevallard.
Au cours des années 1960, cette question des « mathématiques modernes » va être
au centre de la réflexion concernant l’enseignement mathématique à l’école primaire. On passe
ainsi d’une simple demande de révision des programmes à l’exigence de leur modernisation, au
niveau des contenus comme au niveau des méthodes. Les réformateurs militent pour un
enseignement de mathématiques modernes, mais aussi pour un enseignement moderne
des mathématiques.
Pour les réformateurs, cette modernisation doit prendre en compte l’état de la discipline «
mathématique » telle qu’elle s’est développée depuis le début des années 1950, ainsi que les
apports récents de la psychologie de l’enfant. Ces derniers identifient volontiers
l’élaboration des structures mathématiques et le développement des structures mentales
de l’enfant mis en évidence par la psychologie génétique de Jean Piaget. C’est le cas
notamment au sein de la Commission internationale pour l'étude et l’amélioration de
l'enseignement des mathématiques (CIEAEM) fondée en 1952 par des mathématiciens,
des philosophes et des psychologues, et dont les premières réflexions ont pour thème
les « Relations entre structures mathématiques et structures mentales ». De même, lors
du colloque de Royaumont en 1959, le mathématicien Gustave Choquet – l’un des premiers
promoteurs de l’enseignement des mathématiques modernes en France – déclare qu’« après
tout, le mathématicien est un enfant qui a grandi et que les structures mathématiques qui lui
paraissent fondamentales, proviennent de l’élaboration des structures mentales qui se
développent spontanément chez l’enfant ».
Ces conceptions se retrouvent, explicitement ou implicitement, dans les projets de programme
de mathématiques élaborés dans les années 1960, jusqu’au programme officiel qui sera publié
en 1970. Dès 1964, l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement
public (APMEP) souhaite que l’enseignement mathématique soit consacré, au niveau de
l’école primaire, à l’« apprentissage des structures », lesquelles permettent d’unifier des
notions antérieurement présentées de façons éparses.
« La commission Lichnérowicz »
C’est durant la période des années 70 qu’a été
appliquée la réforme conduite par la dite
« Commission Lichnérowicz ».
Cette réforme a été dans un premier temps
souhaitée et unanimement soutenue en
France.
Le programme de la Commission était clair.
Elle devait tout d’abord travailler sur de
nouvelles orientations pour l’enseignement
mathématique dans le primaire et le
secondaire et les faire expérimenter.
Elle devait, d’autre part, mettre sur pied un
dispositif de formation des enseignants et
créer de nouveaux instituts pour cela – qui
furent plus tard nommés les IREM.
« Commission Lichnérowicz »
Les principales caractéristiques mathématiques de
ces nouveaux programmes montrent l’importance
donnée à l’algèbre moderne et aux concepts de la
théorie des ensembles dans tous les cursus, depuis
le niveau élémentaire jusqu’au baccalauréat, la
géométrie d’Euclide et le calcul n’étant plus
enseignés en tant que tel.
On peut souligner deux enjeux caractéristiques de
cette réforme qui plus tard sont devenus source
d'obstacle à sa réalisation.
Le premier est que la reforme devait s’adresser à
tous les élèves, quel que soit leur avenir à l’école et
dans la société.
Le deuxième est qu’elle devait embrasser toute la
scolarité, depuis l’école maternelle jusqu’à
l’université.
Transposition dans
l'univers symbolique ensembliste
Un exercice des « mathématiques modernes » en
sixième. Voici l'énoncé :
Parmi les signes suivants ∈,
celui qui convient ?
{a} ....{a, b, c}
b .... {a, b, c}
∉, ⊂, ⊄ quel est
Transposition dans l'univers symbolique ensembliste : Soient
A= {u,v,x,y,z} B= {m,n,u,y} , écrire l'ensemble C tel que: A ∩ B
=C
Transposition du ∩ dans
Transposition de ∩ dans
l'univers des
tables de vérité
Transposition de ∩
dans l'univers des
diagrammes de Venn
v
A
Transposition de ∩ dans
l'univers des diagrammes de
Karnaugh
x
z
u
C
y
L'univers des circuits
électriques : montage en
série
m
n
B
La Transposition dans l'univers des diagrammes de Venn est un
exemple de transposition didactique qui a produit un effet de
« glissement métacognitif ».
"Lorsqu'une activité d'enseignement a échoué, le professeur peut être conduit à se justifier et pour
continuer son action, à prendre ses propres explications et ses moyens heuristiques comme objets
d'étude à la place de la véritable connaissance mathématique. [...] le 'moyen' devient à son tour objet
d'enseignement et se surcharge de conventions, de langages spécifiques à leur tour enseignés et
expliqués à chaque étape de diffusion. Dans ce processus, plus l'activité d'enseignement produit de
commentaires et de conventions, moins les étudiants peuvent contrôler les situations qui leur sont
proposées. -- C'est l'effet de « glissement métacognitif » (Brousseau G. , 1986, p43-44.23. Théorisation
des phénomènes d’enseignement des mathématiques, Thèse d’état de l’Université de Bordeaux,
Bordeaux)
A
v
x
z
u
C
y
B
m
n
Représentation de Venn
Diagramme de Caroll
Soit E un ensemble
Soit (A,B) ∈ Р(E)²
(A∩Β)∪(Α∩C) = A∩(Β∪C)
La tentative de Bourbaki d'unifier
les savoirs savants fut un essai
unique dans l'histoire et de courte
durée.
Nicolas Bourbaki Premier tome de la
« nouvelle édition » des Éléments de
mathématique, 1970, chez Hermann.
L'Enseignement Mathématique :
la réflexion actuelle de la CIEM
CIEM / ICMI
La Commission Internationale de
l'Enseignement Mathématique (CIEM),
plus connue aujourd'hui sous
son nom anglais
International Commission on Mathematical
Instruction (ICMI),
est la sous-commission en charge
des questions d'éducation de l'Union
Mathématique Internationale (IMU).
Elle constitue le principal cadre de discussion
à l'échelle internationale
sur les grands problèmes
de l'enseignement des mathématiques.
Variable didactique
• « Un champ de problèmes peut être engendré à partir d'une situation
par la modification des valeurs de certaines variables qui, à leur tour,
font changer les caractéristiques des stratégies de solution (coût,
validité, complexité…etc.) […]
Seules les modifications qui affectent la hiérarchie des stratégies sont à
considérer (variables pertinentes) et parmi les variables pertinentes,
celles que peut manipuler un professeur sont particulièrement
intéressantes : ce sont les variables didactiques. »
(G. Brousseau, 1982, Actes de la Deuxième école d’été de didactique
des mathématiques.)
•
Variable didactique
« Ces variables sont pertinentes
à un âge donné dans la mesure
où elles commandent
des comportements différents.
Ce seront des variables didactiques
dans la mesure où en agissant sur elles,
on pourra provoquer
des adaptations et des régulations :
des apprentissages »
(G. Brousseau, 1982, Actes de la Deuxième
école d’été de didactique des mathématiques)
Variable didactique
Exemple 1
Dans l'enseignement des fractions, la longueur de la bande de
référence - la bande unité - est une variable didactique.
Dans l'univers de bandes (voir module 1) le choix de 12 cm de
longueur est meilleur que 10 cm, (car 12 a plus de diviseurs).
Variable didactique Exemple 2
Dans l'Univers des pliages (voir module1),
« la forme du contour de la feuille » donnée aux
élèves est une variable didactique.
Ici le choix de la forme irrégulière empêche
d'utiliser le contour dans un problème de pliage.
Variable didactique
Exemple 3
Dans l'univers des doigts des mains, la taille du
cardinal des ensembles est une variable
didactique. Par exemple, on peut choisir des
cardinaux inférieurs à 5
Variable didactique
Exemple 4
En géométrie, il y a un obstacle dans l'Univers des figures et symétries
axiale et centrale.
Quelques élèves font la confusion entre symétrie axiale et symétrie
centrale pour certaines figures.
Ainsi le type de figure donnée aux élèves sera une variable didactique
qualitative ; il y a des cas où seule la symétrie axiale est pertinente,
d'autres cas où seule la symétrie centrale est adéquate et enfin il peut y
avoir des cas où les deux symétries sont possibles.
Variable didactique
Exemple 5
Dans l'Univers des pliages et taches, les
variables didactiques importantes sont :
Les types de couleurs
Le nombre de taches
La position des taches par rapport à l'axe
L'alignement ou pas.
...
Variable didactique
Exemple 6
Dans l'Univers des symétries axiales et feuille quadrillée, les
variables didactiques importantes sont :
La position relative de l'axe
Les figures ayant les sommets sur les nœuds ou pas.
La présence des segments obliques ou pas
Notion de saut informationnel
Le saut informationnel consiste, après avoir trouvé une situation
fondamentale faisant“fonctionner” une notion, à choisir d’abord
les valeurs de ses variables de telle manière que les
connaissances antérieures des élèves permettent d’élaborer des
stratégies
efficaces…puis, sans modifier les règles du jeu, à changer les
valeurs des variables de façon à rendre beaucoup plus grande la
complexité de la tâche à accomplir.
De nouvelles stratégies doivent être établies qui demandent la
construction de nouvelles connaissances.
(Brousseau G., 1986, p. 23. Théorisation des phénomènes
d’enseignement des mathématiques, Thèse d’état de l’Université
de Bordeaux, Bordeaux I
De nouvelles
stratégies doivent être établies qui demandent la
construction de nouvelles connaissances.
J'ai 15 billes à
partager entre 3
enfants
J'ai 138 billes à partager entre
4 enfants
On distingue le plus souvent trois types d'obstacles
selon leur origine.
1- Obstacle ontogénétique lié au développement
psychogénétique cognitif du sujet.
2- Obstacle didactique lié à la transposition didactique
du savoir : c'est un obstacle qui
peut être évité sans conséquence pour la construction
de la connaissance, qui peut disparaître en agissant
sur les situations d'enseignement.
3- Obstacle épistémologique lié au développement
historique du concept et à sa structure mathématique.
1- Obstacle ontogénétique lié au développement
psychogénétique du sujet.
Exemple. Quand les élèves de la fin de l'école
primaire disent : « un carré n'est pas un rectangle »,
il y a une explication qui se trouve dans les
compétences transversales logiques de l'enfant de
cet âge.
Les enfants refusent d'accepter qu'un objet possède
deux attributs simultanément dans une même
catégorie, ils classifient par exclusion.
Ici quand on demande combien de segments il y a
au maximum...
2- Obstacle didactique lié à la transposition didactique du savoir :
c'est un obstacle qui
peut être évité sans conséquence pour la construction de la
connaissance, qui peut disparaître en agissant sur les situations
d'enseignement.
Exemple. Quand les élèves de la fin de l'école primaire disent : « 4,56
sont deux entiers 4 et 56 séparés par une virgule »....
On voit que les élèves ayant suivi le parcours qui va des « bandesfractions » (voir module 1) aux écritures décimales dé-contextualisées
en passant par les fractions décimales ne rencontrent pas cet
obstacle.
Par contre les élèves qui découvrent les décimaux avant les fractions
à partir des grandeurs comme les longueurs
4m56cm =4,56m rencontrent l'obstacle mentionné plus haut.
3- Obstacle épistémologique lié au
développement historique du concept et à
l'épistémologie mathématique.
Exemple. Quand face à la question « peut-on trouver un nombre
décimal entre « 3,6 et 3,7 », une bonne part de la classe répond :
« Il n'y a pas de nombre décimal entre 3,6 et 3,7 »...
La propriété de densité des nombres décimaux - « entre deux
décimaux il y a toujours un nombre décimal » - contredit le
caractère discret des nombres entiers.
Il n 'y a pas de nombre entier entre 6 et 7 ou entre 36 et 37. Par
contre, il y a une infinité de nombres décimaux entre 3,6 et 3,7.
Une variable didactique ici présente est le choix de « travailler dans
plusieurs univers simultanément » Ceci favorise les psychomorphismes
(voir module1) entre les univers de droites passant par l'origine dans
l'algèbre, dans le plan repéré et dans le tableur. Ceci est favorisé par
les possibilités des logiciels comme GEOGEBRA.
Une variable didactique ici présente est le choix de « travailler dans
plusieurs univers simultanément » Univers U : les
parallélogrammes , Univers U' : les angles, Univers U'' : les
longueurs.
Variable didactique
Exemple : « Choix de travailler sur plusieurs univers ou pas »
Sur la notion de fonction dérivé d'un produit de fonctions.
Ici nous avons choisi de travailler sur l'Univers des dérivés des sommes
et sur l'Univers des produits.
Une autre variable didactique ici présente est le choix du type des fonctions.
Ici nous avons choisit de fonctions
« polynômes de premier degré ou seconde degré, a coefficients entiers »
Exemple
Calculer la dérivé de la fonction f : R dans R
définie par son expression analytique f(x)=(x+1)(x+3),
de deux façons comme un produit de fonctions ensuite
réduction algébrique et en commençant par un développement
puis réduction pour calculer la dérivé après.
Dans l'univers des polynômes écrits sous la forme canonique
f(x) = (x+1)(x+3) =
= x²+3x+x+3 = x²+4x+3
Univers des produits de polynômes de
f(x) = (x+1)(x+3)
premier degré
f '(x) = 1x(x+3) +(x+1)x1 =
f '(x) = 2x+4
= x+3+x+1 = 2x+4
Calcul de ∫x3dx
dans deux univers de calcul des
primitives.
1) Dans l'Univers des primitives
des fonctions puissances
Une primitive de
la fonction de R dans R
x → x3
Est la fonction F de R dans R
F(x) = x4/4
2) Dans l'Univers des fonctions
primitives des produits des
fonctions.
Intégration par parties
à partir de l'égalité fonctionnelle :
(u.v)' = u'.v + u.v'
u.v' = (u.v)' - u'.v
Intégration par parties
∫x3dx = ∫x. x2 dx
Soit x3 = x. x2
∫x3dx = ∫x. x2dx
Intégration par parties à partir de l'égalité fonctionnelle :
(u.v)' = u'.v + u.v'
u.v' = (u.v)' - u'.v
Intégration par parties
Soit u=x u'=1
v'= x2 v = x3/3
On a
∫x3dx = ∫x. x2 dx =
= x.x3/3 - ∫1.x3/3 dx
= x4/3 - x4/12 =
= 3x4/12 = x4/4
Alors on retrouve une primitive : la
fonction F de R dans R
F(x) = x4/4
Concernant la didactique des
mathématiques, on peut dire qu'il y a deux
univers :
celui U des « transpositions didactiques
externes » et celui U' des
« transpositions didactiques internes ».
L'enseignant navigue entre ces deux
univers dans un phénomène de
psychomorphisme qui lui permet d'avancer
dans l’enseignement-apprentissage et
donc dans ses compétences
professionnelles.
Didactique des mathématiques :
les fondamentaux
Année 2014-2015
Dr. Ruben Rodriguez Herrera
Agrégé en Mathématiques
[email protected]
IREM, ESPE, Ifé, CEMU
Université de Caen Normandie France
IREM de Basse - Normandie

Download Report