Anelli Noetheriani

Esercizi su Noetherianit`a 19/05/2014
Roberto Pirisi
19 maggio 2014
Esercizio 1. Sia M un A-modulo, M1 , M2 suoi sottomoduli. Se M M1 e M M2
sono entrambi Noetheriani(risp. Artiniani), allora anche M M1 ∩ M2 lo `e.
Esercizio 2. Sia A un anello.
❼ Sia Σ l’insieme degli ideali non finitamente generati di A. Mostrare che
questo insieme ha elementi massimali e questi sono ideali primi.
❼ Msotrare che un anello `e Noetheriano se e solo se ogni suo ideale primo
`e finitamente generato.
Esercizio 3. Uno spazio topologico si dice Noetheriano se soddisfa la condizione
delle catene ascendenti per gli aperti. Mostrare che:
❼ Ogni sottospazio di uno spazio Noetheriano `e Noetheriano.
❼ Uno spazio `e Noetheriano ⇔ ogni suo aperto `e compatto ⇔ ogni suo
sottospazio `e compatto.
❼ Uno spazio Noetheriano ha un numero finito di componenti irriducibili.
❼ Se A `e un anello Noetheriano allora Spec(A) `e uno spazio Noetheriano.
Conseguentemente, un anello Noetheriano ha un numero finito di primi
minimali.
❼ Esiste un anello A tale che Spec(A) `e Noetheriano ma A non lo `e. (suggerimento: Spec(A) non distingue due ideali che hanno lo stesso radicale)
❼ Dato un A-modulo M , definiamo il supporto Supp(M ) come l’inieme
dei primi di A tali che Mp := M ⊗A Ap sia diverso da zero. Se M `e
un modulo Noetheriano allora Supp(M ) `e un sottospazio Noetheriano di
Spec(A).(suggerimento: a lezione ho mostrato che se M `e Noetheriano,
A
Ann(M ) `e Noetheriano)
Esercizio 4. Sia X uno spazio topologico. Una catena di chiusi irriducibili di
X `e una sequenza finita di contenimenti stretti X0 ⊃ . . . ⊃ Xn . Il numero n
`e detto lunghezza della catena. Definiamo la dimensione di Krull di X come
il sup delle lunghezze delle catene di chiusi irriducibili di X. Dato un anello
A, la sua dimensione di Krull dim(A) `e quella di Spec(A), ovvero il sup delle
lunghezze di catene di ideali primi P1 ⊂ . . . ⊂ Pn .
❼ La dimensione di Krull di A `e uguale al sup sugli ideali massimali M di
A della dimensione di AM .
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❼ La dimensione di Krull di A `e zero ↔ Spec(A) `e un insieme finito di punti
chiusi ⇔ A N (A) `e un prodotto di campi.
❼ Se k `e un campo, la dimensione di Krull di k [x1 , . . . , xn ] `e almeno n. Se A
`e un anello, la dimensione di Krull di A [x1 , . . . , xn ] `e almeno dim(A) + n.
(per i curiosi, l’uguaglianza `e vera se A `e Noetheriano ma -sorprendentementenon in generale)
❼ Sia A = k [x1 , . . . , xn , . . .] un anello di polinomi in infinite variabili. Definiamo gli ideali primi Pr di A come P1 = (x1 ), P2 = (x2 , x3 ), . . . , Pr =
(xn+1 , . . . , xn+r ) . . . dove xn `e l’ultima variabile che appare in Pr−1 . Sia
S = A ∪r Pr . Allora S −1 (A) ha dimensione di Krull infinita ma `e un
anello Noetheriano. (suggerimento: per dimostrare che A `e Noetheriano
si pu`
o usare l’esercizio che ho fatto in classe che dice che se AM `e Noetheriano per ogni massimale M e ogni elemento a appartiene solo a finiti
massimali allora A `e Noetheriano)
Esercizio 5. Sia A un anello Noetheriano.
❼ Il nilradicale di A `e nilpotente, ovvero N (A)r = 0 per qualche r.
❼ Se I `e un ideale contenuto in N (A) e M un A-modulo tale che IM = M ,
abbiamo che M = 0.
❼ Se A ha dimensione di Krull uguale a zero, ogni primo di A `e massimale.
Dedurre che esiste un prodotto di ideali massimali non necessariamente
disgiunti M1 . . . Mr che `e uguale a zero.
Sia A un anello Artiniano.
❼ Se A `e un dominio, deve essere un campo. (suggerimento: considerate un
elemento a. Gli ideali (an ) formano una catena discendente)
❼ Ogni primo di A `e massimale. Conseguentemente A ha dimensione di
Krull zero.
❼ A ha solo un numero finito di ideali massimali (suggerimento: se ne avesse
infiniti, le intersezioni M1 ∩ . . . ∩ Mn formerebbero una catena discendente
infinita)
❼ Il nilradicale di A `e nilpotente. (suggerimento: dato che N (A)r `e una
catena discendente, deve stabilizzarsi, per cui esiste un ideale n tale che
N r = n per ogni r maggiore di un certo numero. L’insieme degli ideali tali
che In = 0 `e non vuoto, e dato che A `e Artiniano ha elementi minimali.
Mostrate che un elemento minimale deve essere principale, e usatelo per
dire che n = 0 porta a un assurdo)
❼ Esiste un prodotto di ideali massimali non necessariamente disgiunti M1 . . . Mr
che `e uguale a zero.
Sia ora A un anello.
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❼ mostrare che se esiste un prodotto di ideali massimali non necessariamente
disgiunti M1 . . . Mr che `e uguale a zero, allora A `e Artiniano e Noetheriano. Dedurre che un anello `e Artiniano se e solo se `e Noetheriano e ha
dimensione di Krull uguale a zero. (suggerimento: uno spazio vettoriale `e
sia artiniano che Noetheriano, inoltre M1 . . . Mr−1 M1 . . . Mr `e un A Mr
modulo, quindi uno spazio vettoriale. Costruite induttivamente delle successioni esatte che mostrano che M1 . . . Mr−s `e Noetheriano e Artiniano,
fino ad arrivare a 0 → M1 → A → A M1 → 0)
❼ Dare un esempio di un modulo Artiniano ma non Noetheriano.
❼ Mostrare che se A `e Artiniano e M1 , . . . , Mr sono i suoi ideali massimali
esistono n1 , . . . , nr tali che A = A M n1 × . . . × A M nr . Dedurre che un
r
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anello artiniano `e prodotto di anelli Artiniani locali.
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