Esercizi sugli anelli 13/03/2014

Esercizi sugli anelli 13/03/2014
Roberto Pirisi
15 marzo 2014
Negli esercizi seguenti `e inteso che anello sta per anello commutativo con
identit`
a.
Esercizio
delle serie formaP 1. Siai A un anello. Chiamiamo
P A [[x]] l’anello
i
li f =
a
x
,
con
somma
f
+
g
=
(a
+
b
)x
e
prodotto f · g =
i
i≥0 i
P
P i≥0 i
i
i≥0
r+s=i ar bs x . Dimostrare i seguenti fatti:
f `e invertibile in A [[x]] se e solo se a0 `e invertibile in A.
Se f `e nilpotente, allora ai `e nilpotente per ogni i. Il viceversa `e vero?
f appartiene al radicale di Jacobson di A [[x]] se e solo se a0 appartiene
al radicale di Jacobson di A.
La contrazione di un ideale massimale M di A [[x]] `e un ideale massimale
di A, e M `e generato da Mc e x.
Ogni ideale primo di A `e la contrazione di un ideale primo di A [[x]].
Esercizio 2. Sia A un anello. Provare che:
L’insieme degli ideali primi di A contiene degli elementi minimali per
l’inclusione.
√
Un ideale I `e uguale al proprio radicale I se e soltanto se I `e intersezione
di ideali primi.
Siano ora
A = Z [x, y](3x + y + 5y 2 + 15xy, 12),
B = Z [x, y](3x + y + 5y 2 + 15xy − 12x3 + 4y, 21).
Determinare i primi minimali di A e B. Gli ideali I = (3x + x2 + y + 5xy − 6y 2 )
di A e J = (3, x3 − 5x2 + 6x − 8) di B sono intersezione di ideali primi?
Esercizio 3. Provare a descrivere come spazi topologici (ad esempio, fare un disegno) i seguenti spettri di anelli: Spec(Z), Spec(R), Spec(C [x]), Spec(R [x]) Spec(Z [x]).
(Suggerimento: Spec(C [x]) = C ∪ {P }, dove P `e il punto relativo all’ideale
0. Considerate la mappa Z → Z [x]. Come sono fatte le controimmagini dei
punti di Spec(Z) rispetto alla mappa Spec(Z [x]) → Spec(Z) corrispondente?)
Esercizio 4. Sia A un anello, X = Spec(A). Dato f ∈ A, chiamiamo Xf =
X \ V ((f )), ovvero Xf `e l’aperto dello spettro di A dato dall’insieme degli ideali
primi di A che non contengono f . Mostrare che:
1
Xf ∩ Xg = Xf g .
Xf = ∅ se e solo se f `e nilpotente.
Xf = X se e solo se f `e invertibile.
Gli insiemi Xf sono una base della topologia di Zariski su X (suggerimento: xf ∪ Xg = X \ V ((f, g)).
X `e compatto (suggerimento: basta dimostrare che ogni ricoprimento di
aperti Xfi ammette un sottoricoprimento finito; se gli Xfi formano un
ricoprimento, mostrare che necessariamente l’ideale generato dagli fi deve
contenere 1).
Esercizio 5 (teorema cinese del resto). Sia A un anello, I, J due ideali tali che
I + J = A. Allora I ∩ J = IJ e AIJ = AI × AJ .
Esercizio 6. Sia A un anello. Mostrare che:
Se A `e locale, ogni elemento tale che a = a2 `e uguale a 1 o 0.
A `e uguale a un prodotto A1 × A2 di anelli se e solo se esiste un elemento
i di A tale che i2 = i, i 6= 1, 0.
Gli ideali primi di un prodotto A1 × . . . An di anelli sono tutti e soli gli
ideali nella forma A1 × . . . × Ai−1 × P × Ai+1 × . . . × An dove P `e un
ideale primo di A.
Se A = A1 × . . . × An allora Spec(A) = Spec(A1 ) t . . . t Spec(An ) e questa
`e una divisione in componenti connesse.
Supponiamo che A non contenga elementi nilpotenti diversi da 0. Allora
Spec(A) `e connesso se e solo se A non `e un prodotto di anelli, se e solo se
non esistono elementi di A tale che i2 = i, i 6= 1, 0 (suggerimento: usare
il teorema cinese del resto).
Se esistono solo finiti elementi tali che i2 = i in A, allora Am ' An
implica m = n. (Suggerimento: si possono contare equivalentemente le
componenti connesse di Spec(Ar ) o gli elementi idempotenti di Ar ).
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