Deledda International School – Anno Scolastico 2012/13 Proff. A. Damiano ed E. Minetti PROGRAMMA DI MATEMATICA - Classe Terza Media (8th grade) LIBRO IN ADOZIONE Bertinetto et al. : “Contaci!” vol.3, nei due tomi “numeri, relazioni, dati” e “msure, spazi e figure” Edizioni Zanichelli OSSERVAZIONI SULLO SVOLGIMENTO DEL PROGRAMMA E DELLE PROVE SCRITTE Uso della calcolatrice Durante tutte le prove scritte svolte durante l’anno, ad eccezione delle simulazioni delle prove INVALSI, è stato sempre consentito agli alunni l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile. Agli studenti è stata quindi data la possibilità di lasciare indicati nei calcoli e nei risultati numeri irrazionali come 81π e √3,oppure di approssimarli usando almeno 2 cifre decimali dopo la virgola, senza penalizzazione nel caso gli arrotondamenti successivi avessero prodotto un risultato distante da quello corretto. Piano cartesiano Negli esercizi di geometria analitica, come specificato anche in seguito, si è concesso agli alunni di calcolare le lunghezze di segmenti verticali ed orizzontali “contando i quadretti”, purché’ fosse specificata chiaramente a fianco del grafico l’unità di misura adottata per il riferimento cartesiano, e purché’ il disegno fosse coerente non tale unità. La formula della distanza e/o il teorema di Pitagora sono stati invece utilizzati nel calcolo delle lunghezze dei segmenti obliqui. Figure piane e solide Negli esercizi di geometria solida, è sempre stato richiesto all’alunno di produrre una rappresentazione grafica della figura con l’uso di matita e righello, anche non necessariamente in scala. La figura deve essere opportunamente dotata di simboli e nomi per i vertici e deve contenere gli elementi necessari alla risoluzione. Nel caso di prismi e piramidi, è sempre stato richiesto che, a parte, fosse anche rappresentata la figura bidimensionale della base vista nel piano orizzontale. La rappresentazione di entrambe le figure e la scrittura completa dei dati, costituisce parte integrante e fondamentale della risoluzione del problema, anche in funzione di una adeguata valutazione. Prove di simulazione Si allegano in appendice a questo programma esempi di alcune prove di simulazione dello scritto finale di matematica svolte negli ultimi mesi di scuola. I quesiti di scienze sono stati inseriti coerentemente con il programma di scienze come presentato dalla collega Prof. Delfino a cui si rimanda per i dettagli. In alcuni casi la scelta del quesito era facoltativa. La richiesta di rappresentazione del solido in assonometria isometrica è stata inserita coerentemente con il programma di Tecnologia svolto dalla Prof. Minetti a cui si rimanda. Criteri di valutazione Oltre alla valutazione dei disegni delle figure piane e solide e della scrittura dei dati del problema a cui si è già accennato, nel valutare lo svolgimento dei passaggi logici e algebrici si è tenuto conto sia dell’applicazione del metodo (formula, formula inversa, ragionamento geometrico, deduzione logica...), sia della correttezza del calcolo, cercando di non penalizzare troppo chi avesse seguito un metodo corretto pur avendo prodotto un risultato sbagliato. In tal senso, si è deciso di assegnare comunque i punteggi dei passi successivi all’errore di calcolo o di metodo, purché’ coerenti con i risultati precedenti. Deledda International School – Anno Scolastico 2012/13 Proff. A. Damiano ed E. Minetti PROGRAMMA DI MATEMATICA - Classe Terza Media (8th grade) ELENCO DEGLI ARGOMENTI SVOLTI Algebra - Gli insiemi numerici Gli insiemi N, Z, Q, R e I e la loro rappresentazione insiemistica. Appartenenza di un numero agli insiemi dati. Operazioni all’interno dell’insieme Q dei numeri razionali relativi: somma, prodotto, potenza e radice di indice qualunque. Regola dei segni. Riconoscimento delle radici prive di significato. IN PARTICOLARE: unicità della radice aritmetica di un numero positivo. Ad es: la radice quadrata di 4 è intesa soltanto come 2, non come radice algebrica (quindi +2 e -2). Proprietà delle potenze estese ad esponenti negativi con basi razionali relative. Calcolo letterale Monomi: grado complessivo, grado rispetto ad una lettera, operazioni di somma, prodotto, divisione, elevamento a potenza. Non sono stati trattati i monomi frazionari. Polinomi: grado complessivo, grado rispetto ad una lettera. Polinomi omogenei. Operazioni: somma, prodotto, divisione per un monomio. Cenni al quadrato del binomio (calcolato principalmente con prodotto di due binomi). - Equazioni lineari in una variabile Principi di equivalenza. Principio del trasporto. Tecnica della riduzione a denominatore comune. Risoluzione di un’equazione di 1° grado intera con una incognita. Equazioni determinate, indeterminate e impossibili. Problemi di applicazione: ricerca di un numero date alcune sue proprietà aritmetiche, problemi di geometria piana risolti con l’uso dell’incognita. Semplici equazioni quadratiche del tipo x2=k con k razionale positivo. - Geometria - - - Ripasso di geometria piana del 2° anno. Equivalenza delle figure piane. Calcolo dell’area di poligoni regolari e composti. Il teorema di Pitagora. Rappresentazione insiemistica dei trapezi: trapezi, parallelogrammi, rettangoli, rombi e quadrati. Principali proprietà dei quadrilateri: lati congruenti, paralleli, perpendicolari. Angoli congruenti, supplementari. Congruenza e perpendicolarità delle diagonali. Il cerchio e la circonferenza. Definizioni: corda, raggio, diametro. Congruenza dei segmenti di tangenza condotti da un punto esterno, e loro perpendicolarità al raggio che unisce il centro con il punto di tangenza. Formule di perimetro e area e formule inverse. Misura di arco di circonferenza con proporzionalità all’angolo al centro corrispondente. Area del settore circolare. Area del segmento circolare come differenza tra l’area del settore e quella del triangolo inscritto. Proprietà del cerchio e dei suoi elementi: gli angoli al centro misurano il doppio dei corrispondenti angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco. Ogni triangolo inscritto in una circonferenza che abbia come lato un diametro e’ rettangolo. Problemi con il cerchio e figure composte ottenute togliendo o aggiungendo settori circolari a poligoni noti. Geometria analitica Deledda International School – Anno Scolastico 2012/13 Proff. A. Damiano ed E. Minetti PROGRAMMA DI MATEMATICA - Classe Terza Media (8th grade) - Le coordinate cartesiane di un punto nel piano e i quattro quadranti. Formula della distanza tra due punti (la distanza tra due punti di coordinate intere posti su di una retta verticale o orizzontale viene calcolata “a mano” contando i quadretti). Trasformazioni nel piano: simmetria rispetto agli assi cartesiani, rispetto all’origine, rispetto alla bisettrice y=x, traslazione di vettore v=(a,b). Rappresentazione di una funzione matematica nel piano cartesiano mediante una tabella di valori. Equazione di una retta passante e non passante per l’origine. Coefficiente angolare e suo significato geometrico come rapporto tra “alzata” e pedata”. Ordinata all’origine o intercettay (detta anche cut-off). Verifica algebrica e grafica di appartenenza di un punto ad una retta. Rette speciali e loro equazioni: gli assi cartesiani, rette parallele agli assi cartesiani, bisettrici degli assi cartesiani. Rette parallele e perpendicolari fra di loro, e relazioni tra i loro coefficienti angolari. Proporzionalità: rette e proporzionalità diretta (solo le rette passanti per l’origine sono considerate come leggi di proporzionalità diretta). Rappresentazione della proporzionalità inversa: l’iperbole equilatera. Proporzionalità quadratica del tipo y=ax2 e sua rappresentazione grafica con la parabola. Esempi di relazioni di proporzionalità diretta, inversa, quadratica o lineare dalle scienze e dalla geometria. [Il riconoscimento del tipo di proporzionalità è effettuato mediante la rappresentazione grafica, piuttosto che algebricamente mediante analisi della formula). Geometria nello spazio Confronto tra gli enti geometrici elementari nel piano e nello spazio. Angoli diedri e angoloidi. Posizioni reciproche di piani e rette nello spazio tridimensionale. Il quinto postulato di Euclide nel piano e nello spazio. Poliedri regolari e irregolari. Confronto tra solidi, solidi equivalenti. Volume, capacità, peso (massa). Il concetto di peso specifico (densità). Equivalenza tra misure di peso, volume e capacità. Definizione di volume di un solido, calcolo del volume, della superficie laterale e della superficie totale di: prisma retto a base poligonale, parallelepipedo rettangolo, cubo, piramide retta e regolare. Definizione, volume, superficie laterale e totale dei solidi di rotazione: cilindro, cono, sfera. Definizione di cilindro equilatero e cono equilatero. Solidi ottenuti mediante la rotazione di semplici poligoni (massimo 4 lati) attorno ad uno dei loro lati. Superficie e volume dei solidi composti. Problemi di geometria solida. Statistica - Dati e previsioni Grandezze discrete e continue. Raccolta di dati e individuazione delle variabili. Grafici di frequenze. Frequenze assolute, relative e percentuali. Media, moda, mediana e range. Calcolo della probabilità. Probabilità teorica e sperimentale. Relazione tra probabilità e frequenza relativa. Esempi di calcolo della probabilità teorica in casi semplici (senza principio di moltiplicazione per eventi indipendenti/dipendenti o diagrammi ad albero/tabelle). Applicazioni alla genetica (probabilità dei figli di presentare alcuni caratteri recessivi o dominanti, o malattie genetiche associate ai cromosomi sessuali). Deledda International School – Anno Scolastico 2012/13 Proff. A. Damiano ed E. Minetti PROGRAMMA DI MATEMATICA - Classe Terza Media (8th grade) Simulazione della prova di Matematica 1 - classe 8E Quesito 1 1. Considera i vertici del quadrialtero ABCD e disegnali nel riferimento cartesiano: A (-2;1), B(4; 1), C(4; 4), D(-4; 4). Calcola Perimetro e area del quadrilatero dopo averlo classificato. 2. Verifica analiticamente se il triangolo ACD e’ un triangolo rettangolo. 3. Scrivi le coordinate dei vertici del trasformato di ABCD nella simmetria rispetto all’asse x, rispetto all’origine e rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 4. Calcola il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando ABCD intorno alla base maggiore. 5. Disegna la retta di equazione y = -2 x - 4 e verifica graficamente ed analiticamente che passa per il vertice D del quadrilatero e per i punti E (-1; -2) ed F(0,-4). 6. Stabilisci se il triangolo CDF e’ equilatero, isoscele o scaleno, motivando adeguatamente. 7. Calcola la mediana CM e l’altezza CH relative a DF e spiega come mai non sono congruenti. Quesito 2 Un prisma ha per base un trapezio rettangolo di area 73,5 cm2 ed è alto 12 cm. 1. Calcola il suo volume e il suo peso, supponendolo di sughero (ps = 0,25). 2. Verifica se la soluzione della seguente equazione è uguale alla misura in cm dell'altezza del prisma. 2 1 1 3 12 3 2 3 6 3. L'altezza del trapezio è di 7 cm, mentre il rapporto delle basi è di 1 / 2 . Calcola il perimetro del trapezio. 4. Calcola l'area totale del prisma. Quesito 3 1. Un treno parte alle 9:30 e, dopo un viaggio di 960 km, arriva a destinazione alle 13:30. Qual è stata la velocità media? 2. Scrivi la legge che esprime lo spazio percorso dal treno in funzione del tempo impiegato, supposta costante la sua velocità e rappresentala graficamente. Di che tipo di proporzionalita’ si tratta? 3. Un secondo treno parte alle 10:20 e percorre lo stesso itinerario alla velocità media di 120 km/h. A che ora arriva? 4. Mantenendo stavolta fisso il percorso di 960 km, scrivi la legge con cui varia la velocità in funzione del tempo, rappresentala graficamente ed indica che tipo di grafico ottieni, nonché di che tipo di relazione di tratta. Quesito 4 1. 2. 3. 4. 5. • • • Considerando la popolazione degli alunni del DIS , sappiamo che il 26% pratica il calcio, il 18% il nuoto, il 12% il tennis, il 9% la pallavolo , il 5% non pratica alcuno sport. Nessuno pratica due sport contemporaneamente. Se gli alunni del DIS sono circa 200, possiamo sapere quanti al massimo praticano la scherma? Pensi che la stima sia plausibile? Spiega in che senso non si possono calcolare la mediana e la media di questa distribuzione. Disegna un istogramma che rappresenti la distribuzione di frequenza definita nel problema, considerando anche la classe “altri sport” come una sola classe. Tra moda, media e mediana qual è l'unico valore significativo che può essere determinato in questo caso e perché? Scegliendo a caso uno studente del DIS, qual è la probabilità che: Pratichi uno sport diverso da quelli elencati sopra; Pratichi calcio o tennis; Pratichi contemporaneamente la pallavolo e il tennis. Quesito 5 Una malattia genetica e’ associata ad un gene presente solo sul cromosoma X ed ha carattere recessivo. a) Spiega come mai non e’ possibile per un uomo essere portatore. b) Calcola la probabilita’ che una donna sana e uomo malato abbiano un figlio maschio malato c) Calcola la probabilita’ che una donna portatrice sana e un uomo sano abbiano una figlia sana. Deledda International School – Anno Scolastico 2012/13 Proff. A. Damiano ed E. Minetti PROGRAMMA DI MATEMATICA - Classe Terza Media (8th grade) d) Un uomo malato ha sposato una donna con cui ha avuto un figlio maschio malato e due figlie femmine che non presentano la malattia, di cui pero’ non si sa se siano effettivamente sane o portatrici. Cosa si puo’ affermare con sicurezza riguardo alla madre? E’ sana, malata o portatrice sana? Simulazione della prova di Matematica 2 - classe 8E Quesito 1 Consideriamo i seguenti punti nel riferimento cartesiano ortogonale xOy: A(-1;-6), B(3;-3), C(3;5), D(-1;2). a) Rappresentali nel piano cartesiano, e classifica il quadrilatero ABCD che si ottiene congiungendoli nell’ordine. b) Calcola area e perimetro di ABCD. c) Facendo ruotare ABCD intorno ad uno dei lati paralleli all’all’asse x, che solido si ottiene? d) Scomponendo opportunamente il solido e ricomponendolo in modo diverso, dimostra che il volume del solido del punto c) e’ lo stesso di quello di un cilindro, e quindi calcolalo. Quesito 2 Un prisma retto ha come base un trapezio isoscele la cui area misura 44 dm2. L’altezza del trapezio di base misura 4 dm, mentre il rapporto tra le due basi e’ di 4/7. a) Sapendo che il volume del prisma e’ di 880 dm3, calcolane l’altezza e la superficie laterale. b) Calcola inoltre il peso del prisma supponendo che sia riempito di un liquido il cui peso specifico e’ di 0,75 kg/dm3. Quesito 3 Risolvi la seguente equazione algebrica. Stabilisci poi a quali dei seguenti insiemi appartiene la sua soluzione (piu’ risposte sono possibili). 2 1 3 1 a) R+ b) Q c) Z - d) Q - e) I Quesito 4 La resistenza R di un certo conduttore e’ pari a 3 Ohm. a) b) c) d) Scrivere la legge di Ohm e calcolare i valori del potenziale V per almeno 5 valori di i Rappresentare la relazione cosi’ ottenuta nel piano cartesiano. Dire di che tipo di relazione si tratta Un secondo conduttore e’ alimentato da una pila da 4,8 Volt. Scrivere la legge che lega l’intensita’ di corrente (asse y) alla resistenza (asse x) e rapprenentarla. e) Di che tipo di legge si tratta? Quesito 5 Il 25% degli alunni di una certa scuola hanno partecipato ad un progetto di teatro. Di questi, il 60% erano femmine. In totale, i partecipanti al progetto erano 45. a) Quanti alunni ha la scuola? b) Quanti maschi hanno partecipato all’ attivita’ teatrale? c) Quale e’ la probabilita’, scegliendo a casotra gli allievi della scuola, anche tra quelli che non fanno teatro, di aver selezionato una studentessa che ha fatto teatro? Quesito 6 La capacita’ di arrotolare la lingua si eredita geneticamente da un carattere recessivo. a) Se entrambi i genitori sanno arrotolare la lingua, cosa possiamo dire dei figli? b) Se un genitore arrotola la lingua ma l’altro no, quali possibilita’ ci sono per i figli? Analizzare tutti i casi possibili per il secondo genitore. c) Da due genitori che non sanno arrotolare la lingua e’ nato un figlio che la sa arrotolare. Cosa si puo’ concludere? Deledda International School – Anno Scolastico 2012/13 Proff. A. Damiano ed E. Minetti PROGRAMMA DI MATEMATICA - Classe Terza Media (8th grade) Simulazione della prova di Matematica 3 - classe 8E Quesito 1 a) b) c) d) e) f) g) Individua nel piano cartesiano i punti di coordinate A(0;-1), B(8;-1), C(5;3), D(3;3). Classifica il poligono ABCD che si ottiene, motivando adeguatamente la risposta. Verifica graficamente e algebricamente che la retta y=-2x+7 passa per il punto C Calcola area e perimetro di ABCD. Stabilisci SE il triangolo ABC e’ rettangolo motivando opportunamente. Disegna, a parte, il poligono che si ottiene facendo ruotare ABC intorno ad AB. Descrivi a parole il solido di rotazione cosi’ ottenuto. Calcola la superficie totale e il volume del solido. Quesito 2 Un prisma retto ha come base un trapezio rettangolo ABCD, di base maggiore AB e lato obliquo BC, la cui area misura 24 dm2. L’altezza del trapezio di base e’ congruente alla base minore, mentre la base maggiore e’ il doppio della minore. a) Disegna con precisione il trapezio, rispettando i nomi dei vertici e le proporzioni date. b) Dividi il trapezio in tre triangoli uguali tracciando la diagonale minore, e calcola l’area di ciascun triangolo ottenuto. c) Utlizza il risultato ottenuto precedentemente per calcolare la misura della base minore, osservando che il quadrilatero AHCD e’ un quadrato. d) Calcola il perimetro del trapezio di base. e) Posto che il volume del prisma e’ di 960 dm3, calcolane l’altezza. f) Calcola la superficie laterale e totale del prisma. Quesito 3 Risolvi la seguente equazione algebrica. Stabilisci poi a quali dei seguenti insiemi appartiene la sua soluzione (piu’ risposte sono possibili). 1 5 3 6 3 4 14 3 7 a) R - b) Q + c) Z - d) Q - e) N Quesito 4 Definisci i vari tipi di leve e le condizioni che ne regolano l’equilibrio. Indichiamo con R la resistenza, P la potenza, bR il braccio della resistenza, e bP il braccio della potenza. a) Posto R=15 kg, bR=4 dm e P=20 kg, trova bP affinche la leva sia in equilibrio. b) mantenendo costanti i valori di R e bR del punto precedente, completa la seguente tabella in modo che la leva sia comunque in equilibrio: P (kg) bP (dm) c) 20 6 12 15 6 20 15 Riporta su di un opportuno grafico i valori della tabella precedente e stabilisci il tipo di relazione. Quesito 5 I genotipi possibili per la determinazione del gruppo sanguigno sono AA, A0, BB, B0, 00 e AB. a) Per ciascuno genotipo, stabilisci il fenotipo (A, B, 0 oppure AB) b) Costruisci la tabella per i figli di due genitori A0 e AB, e calcola le probabilita’ dei figli di essere rispettivamente di gruppo A, B, 0 e AB. c) Da quale coppia di genitori possono nascere figli AA (25%), AB (50%) e BB (25%)? Quesito 6 La sezione controlli di una fabbrica di minuteria metallica ha scartato in un mese dei pezzi il cui numero e’ riportato di seguito, giorno per giorno. Raccoglili in un opportuna tabella 18, 19, 15, 18, 21, 17, 19, 15, 19, 24, 19, 15, 21, 22, 25, 18, 17, 19 a) b) c) d) Calcola la frequenza relativa e percentuale di ciascun dato Calcola la media, la moda e la mediana di ciascun dato Rappresenta i dati con un areogramma circolare Stima la probabilita’ che il numero di pezzi scartati in un dato giorno sia maggiore di 18