BREVET BLANC No 2 (Correction

GIACOMATHSBB2
Session 2014
BREVET BLANC No 2 (Correction)
Jeudi 22 mai 2014
MATHÉMATIQUES
Troisième
Durée de l’épreuve : 2 heures
Coefficient : 2
Une calculatrice électronique de poche est autorisée conformément à la loi en vigueur.
Le sujet est composé de différents exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.
1
Exercice 1 :
6 points
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731 dragées aux amandes.
1. Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles.
Chaque corbeille doit avoir la même composition.
Pour les dragées au chocolat, comme 3003 = 20 × 150 + 3, il en restera 3.
Pour les dragées aux amandes, comme 3731 = 20 × 186 + 11, il en restera 11.
2. Emma et Arthur changent d’avis et décident de proposer des petits ballotins dont la composition est identique. Ils
souhaitent qu’il ne leur reste pas de dragées.
(a) Emma propose d’en faire 90. 90 n’est ni un diviseur de 3003, ni un diviseur de 3731, donc il restera des dragées, cela
ne convient pas.
(b) Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins de composition identique, donc on doit trouver le PGCD
de 3731 et de 3003. Utilisons l’algorithme d’Euclide :
3731 = 3003 × 1 + 728
3731
3003
Ils feront 91 ballotins de
= 41 dragées en chocolat et
= 33 dragées aux
3003 = 728 × 4+ 91
91
91
amandes.
728 = 91 × 8 + 0
hg
hg
hg
Exercice 2 :
1.
5 points
A
B
C
n’existe pas
est égal à −5
est égal à 5
elles sont superposables
elles ont le même périmètre
leurs périmètres ne sont
pas forcément égaux.
f est une fonction affine
f (x) = 3x − 2x − 7 + 3x + 5
= 4x − 2
f est une fonction linéaire
f n’est pas une fonction
affine.
AC = 2000 m
AC = 1500 m
AC = 1000 m
(x + 3)(x − 5)
(x − 4)(x + 4)
x 2 − 2x − 15
p
(−5)2
2. Si deux surfaces ont la
même aire alors
3.
Soit f la fonction
définie
par
:
f (x) = 3x − (2x + 7) + (3x + 5)
4. Le triangle ABC est tel
= 90◦ , AC

que ABC
B = 60◦
p
et AB = 3 km.
5. Une expression factorisée de (x − 1)2 − 16 est ...
hg
hg
hg
Exercice 3 :
7 points
Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisées ci-dessous :
• le parcours ACDA
• le parcours AEFA
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km.
C
D
E′
E
A
F′
Départ et arrivée.
F
′ ′
(E F ) // (EF)
b dans le triangle AEF vaut 30 °
L’angle A
AC = 1,4 km
CD = 1,05 km
AE0 = 0,5 km
AE = 1,3 km
AF = 1,6 km
E0 F0 = 0,4 km
. Calcul de la longueur AD : dans le triangle AC D, rectangle en
C , nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore.
AD 2 = AC 2 +C D 2 = 1, 42 + 1, 052 = 3.0625 = 1.752 .
Le périmètre mesure donc 1, 4 + 1, 05 + 1, 75 = 4, 2 soit 4,2 km.
. Calcul de la longueur F A :
Les droites (E E 0 ) et (F F 0 ) sont sécantes en A et (E 0 F 0 )//(E F ),
AE 0
AF 0
EE0
d’après le théorème de Thalès, on a :
=
=
d’où
AE
AF
FF0
0, 5 0, 4km
0, 4 × 1, 3km
=
donc E F =
= 1, 04 km.
1, 3
EF
0, 5
Le périmètre mesure 1, 3 + 1, 04 + 1, 6 = 3, 94 soit 3, 94 km.
4, 2−4 = 0, 2 et 4−3.94 = 0, 16 donc le parcours qui se rapproche
le plus de 4 km est AE F A
2
hg
hg
hg
Exercice 4 :
3 points
« Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J’ajoute le triple du nombre de départ au résultat
et j’enlève 21. J’obtiens toujours un multiple de 10. »
C’est exact, en effet soit n un nombre entier. On a 7(3 + n) + 3n − 21 = 21 + 7n + 3n − 21 = 10n
hg
hg
hg
Exercice 5 :
4 points
goulot
Voici une bouteille constituée d’un cylindre et d’un tronc de cône surmonté par un
goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu’elle est remplie jusqu’au goulot.
1. Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donner
un arrondi au cm3 .
Le volume vaut π × (5cm)2 × 15cm = 375π cm3 soit 1178 cm3 arrondi à l’unité.
15 cm
10 cm
+
+
2. Pour obtenir le tronc de cône, on a coupé un cône par un plan parallèle à la base passant par O0 . La hauteur SO du grand
cône est de 6 cm et la hauteur SO’ du petit est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm.
a. Calculer le volume V1 du grand cône de hauteur SO (donner la valeur exacte).
1
S
Le volume vaut V1 = π × (5cm)2 × 6cm = 50π cm3
3
1 300
b. Montrer que le volume V2 du tronc de cône est égal à
π cm3 .
27
O′
1
Le petit cône est une réduction du grand cône de rapport donc son volume vaut
3
µ ¶3
1
50
× 50πcm3 =
πcm3
3
27
50
50 × 27 − 50
1300
Donc V2 = 50πcm3 − πcm3 =
πcm3 =
πcm3
27
27
27
O
11 425
3. Montrer que le volume V de la bouteille est
π cm3 . La bouteille peut-elle
27
contenir 1 litre ? Peut-elle contenir 1,5 litre ?
1300
375 × 27 + 1300
11425
πcm3 =
πcm3 =
πcm3 ≈ 1269cm3 = 1, 269L.
27
27
27
La bouteille peut contenir 1 litre mais pas 1,5 litre.
On a : V = 375πcm3 +
3
Exercice 6 :
5 points
1. Voici un extrait du tableur :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
1
Nombre de
médailles
d’or
1
2
3
4
5
6
11
13
14
15
18
32
40
2
Effectif
8
2
2
2
1
3
1
2
1
1
1
1
1
O
26
Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule O2 pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une médaille d’or ?
La formule est =SOMME(B2 :N2)
2.
(a) Calculer la moyenne de cette série (écrire le calcul et arrondir le résultat à l’unité).
La moyenne est
8 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 1 × 5 + 3 × 6 + 1 × 11 + 2 × 13 + 1 × 14 + 1 × 15 + 1 × 18 + 1 × 32 + ×40 205
x¯ =
=
≈ 7, 88
26
26
soit environ 8 médailles arrondi à l’unité.
(b) Déterminer la médiane de cette série (justifier correctement).
L’effectif total est pair. or
26
4+4
= 13 donc la médiane est la moyenne entre la 13e et la 14e valeur : m =
=4
2
2
(c) En observant les valeurs prises par la série, donner un argument qui explique pourquoi les valeurs de la moyenne
et de la médiane sont différentes.
Cette différence est due au fait qu’il y a beaucoup de pays qui ont peu de médailles et peu de pays qui ont beaucoup
de médailles.
3. Pour le cyclisme masculin, parmi tous les pays participants, seuls 65 % des pays médaillés ont obtenu au moins une
médaille d’or. Quel est le nombre de pays qui n’ont obtenu que des médailles d’argent ou de bronze ?
26
= 40
0, 65
Le nombre de pays médaillés d’argent et de bronze seulement est donc 40 − 26 = 14.
Soit x le nombre total de pays. on a : x × 0, 65 = 26 soit x =
hg
hg
hg
Exercice 7 :
6 points
On écrit sur les faces d’un dé équilibré à six faces, chacune des lettres du mot :
NOTOUS
On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure.
1. Quelles sont les issues de cette expérience ?
Les issues de cette expérience sont N ; O, T ; S et il n’y a pas équiprobabilité des issues.
2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements :
2 1
(a) E1 : « On obtient la lettre O ». p(E 1 ) = =
6 3
(b) Soit E2 l’évènement contraire de E1 . Décrire E2 et calculer sa probabilité. p(E 2 ) = 1 − p(E 1 ) =
3 1
=
6 2
(d) E4 : « On obtient une lettre du mot K I W I ». p(E 4 ) = 0 (E 4 est un événement impossible)
4 2
(e) E5 : « On obtient une lettre du mot C A G O U S ». p(E 5 ) = =
6 3
(c) E3 : « On obtient une consonne ». p(E 3 ) =
4
2
3

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