a ， ¡! (1) - SUUGAKU.JP

年番号
1
a > 0 とし，2 次関数 f(x) = x2 ¡ 2ax +
4
2a (0 5 x 5 2) の最小値を m(a) とする．この
氏名
関数 f(x) =
1
について，次の問いに答
1 + x2
えよ．
とき，m(a) の最大値と，そのときの a の値を求
(1) y = f(x) の極値および変曲点を調べて，その
めよ．
グラフの概形をかけ．
¼
¼
(2) ®; ¯ は定数で，¡
<®<¯<
とする．
2
2
Z tan ¯
f(x) dx を ®; ¯ を用
このとき，定積分
（富山県立大学 2015 ）
tan ®
2
4OAB において，辺 OA を 2 : 1 に内分する点
いて表せ．
Z ¼
2
sin t
dt を求めよ．
(3)
¼
3
+
4 cos2 t
3
（富山県立大学 2015 ）
を P，辺 OB の中点を Q，線分 PQ を 2 : 1 に
内分する点を R とし，線分 OR の延長が辺 AB
¡!
¡
!
と交わる点を S とする．このとき，OA = a ，
¡! ¡
!
OB = b として，次の問いに答えよ．
5
x についての 2 次方程式 x2 ¡ 2px + 2p + 1 = 0
¡! ¡
! ¡
!
(1) OR を a ; b を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(2) OS を a ; b を用いて表せ．
が次のような異なる 2 つの実数解をもつとき，定
(3) 線分 OQ を 3 : 2 に外分する点を T とするとき，
する．
数 p の値の範囲を求めよ．ただし，p は実数と
3 点 P，S，T は一直線上にあることを示せ．
（富山県立大学 2015 ）
(1) 2 つの解がともに正
(2) 2 つの解がともに負
(3) 1 つの解が正，他の解が負
（富山県立大学 2006 ）
3
次の問いに答えよ．
(1) 等式 sin 3µ = 3 sin µ ¡ 4 sin3 µ が成り立つこ
とを示せ．
(2) 方程式 8x3 ¡ 6x + 1 = 0 が sin
¼
を解にも
18
つことを示せ．
(3) 方程式 8x3 ¡ 6x + 1 = 0 のすべての解が実数
であることを示せ．
6
a; b は定数で a Ë b とする．関数 f(x) =
x(x ¡ a)(x ¡ b) について，次の問いに答えよ．
Z
(1) 不定積分
f(x) dx を求めよ．
(2) 定積分
Z
b
a
f(x) dx = 0 のとき，a + b の値を
求めよ．
（富山県立大学 2015 ）
（富山県立大学 2006 ）
7
p
関数 f(x) = cos x ¡ 3 sin x (0 5 x 5 ¼) に
ついて，次の問いに答えよ．
(1) f(x) = 0 となる x の値を求めよ．
(2) f(x) = 0 となる x の値の範囲を求めよ．
Z¼
(3) 定積分
f(x) dx の値を求めよ．
0
（富山県立大学 2007 ）
8
数列 fan g を
a1 = 1;
an+1 =
an
1 + 3an
(n = 1; 2; 3; Ý)
により定める．次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 を求めよ．
(2) 一般項 an を推測し，その推測が正しいことを
数学的帰納法を用いて示せ．
（富山県立大学 2007 ）
9
1 個のさいころを n 回続けて投げるとき，1 の目
が奇数回出る確率 pn について，次の問いに答え
よ．ただし，n は自然数である．
(1) p1 ; p2 ; p3 を求めよ．
(2) pn+1 を pn を用いて表せ．
1
(3) lim pn =
を示せ．
2
n!1
（富山県立大学 2010 ）

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