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⼒学
第7回
剛体の⼒学(1)
担当：
明愛国，杉正夫
1
剛体とは
⼤きさと質量を持ち，形が不変な物体のこ
とを剛体という
剛体は多質点系の一種として扱える
ただし一般の多質点系では，質点同⼠の距離は
一定とは限らない（例：バネ結合系）
剛体の場合，任意の質点間の距離は不変
質点間距離が不変という拘束のため，数学的な
扱いが容易になる
2
剛体の⾃由度
⾃由度
物体の位置・姿勢を記述するのに必要となる
変数の個数のこと
例：2次元平面内を運動する1個の質点の
⾃由度は2 (
の2つ．⼤きさがないので姿勢
は考えなくてよい)
例： 2次元平面内を運動する3個の質点の⾃由
度は 2×3=6 (
)
では，2次元平面内を運動する，
互いの距離が不変な3質点の⾃由度は？
3
2次元平面内を運動する
互いの距離が不変な
3点の⾃由度は 3
位置が2⾃由度と
回転が1⾃由度，右図)
「互いに距離不変」という拘束があるため，
前ページの「距離が可変な3質点」(6⾃由度)
よりも⾃由度が⼩さくなる
一般に， 2次元平面内を運動する
「互いに距離不変な点」(=剛体)
の⾃由度は3
4
3次元空間を運動する質点の⾃由度
個の質点の⾃由度は
個の質点の⾃由度は
剛体(=互いに距離が不変な
の⾃由度は 6
個の質点)
2次元平面内を運動する場合(前ページ)と同様に
「位置の⾃由度+回転の⾃由度」で表せる
位置の⾃由度：3 ( , , )
回転の⾃由度(姿勢の⾃由度)：3
3+3=6
2次元平面(
平面)内の運動の場合，回転軸の向き
は必ず軸と平⾏になるため，回転の⾃由度は1しか
ないが，3次元空間の運動の場合，回転軸の向きは
3次元のベクトルになるため，回転の⾃由度は3
5
剛体のつり合い
1個の剛体に個の外⼒が
働いて静止しているとする
⼒を，その作用点を
とする
まず剛体は静止していて並進運動しないので，
全運動量 (第5回授業資料9ページ参照)は常に
その時間微分も常に
= ∑
=
，
となり
←外⼒の総和はゼロ
また剛体は回転もしていないので，全角運動量
(第5回資料12ページ参照)は常に
，その時間微分
(=
) も常にとなり
= ∑
(
×
)=
←外⼒のモーメントの総和もゼロ
6
以上をまとめると，剛体が静止するため
の外⼒のつり合いの条件は
(1)
(2)
となる
(1)式は位置に関する⼒のつり合いの式
(2)式は回転(=姿勢)に関する
⼒のモーメントのつり合いの式
(2)式は原点をどこに取っても必ず成り⽴つ
7
例題
P
G
壁に⽴てかけた均一な細い棒
⻑さ，質量
壁は摩擦なし，床には摩擦あり
⼒のつり合い
上式を
と
成分と
Q
を求める
成分に分ける．
,
成分:
成分:
O
より，
(3)
よって
(4)
8
⼒のモーメントのつり合い
どの点まわりに計算しても同じことだが，
点，点，点まわりに計算すると
ベクトルを一つ無視できるので
計算が楽になる
例えば点まわりだと
の項は無視できて
P
G
O
(5)
となる
#
#
Q
#
，
，
，
より(5)式は
(6)
となる
9
P
前ページ(6)式から
G
(7)
O
となる．(7)式と(3)式から
Q
(8)
(4)式，(7)式，(8)式をまとめると
$
となる．
10
⼒のモーメントのつり合い (G点まわり)
P
先ほどの(5)式では，⼒のモーメントを
点まわりで計算したが，どの点まわりでも
同じになる．例えば点まわりで計算すると
の項が無視できて
O
(5)’
#
#
また(4)式より
#
#
，
#
，
，
，よって (5)’式は
#
Q
，
#
となる．ここで(3)式から
G
(6)’
を上式に代入すると
となり，これは (7) 式と一致．
11
連続体の剛体
前回授業や今回の授業の7ページ目までで扱ってき
たのは，いずれも質点から成る
質点：質量はあるが，⼤きさはゼロであるような物体
現実の物体はゼロではない⼤きさを持ち，質量は
連続的に分布している
先ほどの例題の「均一な棒」の場合，⻑さが
線密度(単位⻑さあたりの質量)が
で，
上記の「均一な棒」のように⼤きさを持つ物体の
ことを，連続体という
以下では，連続体の剛体を扱う
連続体なので，質量があり⼤きさもある
剛体なので，変形（伸縮やたわみ）は発生しない
12
連続体の重心
多質点系の重心の定義
→第5回講義資料参照
各質点の質量，位置
重心の座標
∑%
∑%
% %
%
に対して
∑%
% %
&
連続体の重心も同様に求められる
質量の連続体を多数の微⼩な質量要素
に分解し，多質点系の定義式を適用する
重心の座標
∑% % ' %
∑% ' %
∑% % ' %
&
ここから先は具体的な例で説明する
(9)
13
1次元の細⻑い棒の場合
(密度は均一に限定しない)
Δ+
棒に沿って座標を取る
密度
とすると， 0
Δ
微⼩要素の質量
は
と書ける．
上式より棒全体の質量 ( は
(
=,
⋅Δ
'
となる．上式を
の極限値を取ると，
これは積分の定義そのもので，
となる．
(
14
よって13ページ(9)式において，分⺟の
Δ+ = ,
は
に
置き換えられる．
0
(9)式の分子
は，
Δ
棒に沿って座標を取っているので
⋅Δ
となる．後は先ほどと同様に考えると，
は
に置換えられる．
(
以上により，13ページ(9)式の連続体の重心位
置は，1次元の細⻑い棒の場合
∫ ⋅/
∫/
∫ ⋅/ &01
となる．
15
連続体が細⻑い棒(1次元)ではなく
薄い板(2次元)の場合
密度
とすると，
微⼩要素の質量
は
となり，板全体の質量 ( は
(
'
'
となる．
赤い文字の部分が14ページとの相違点
最終的に重心の座標
は
∬ /( , )
∬ /( , )
&31
&31
となる．
16
連続体が3次元物体の場合
密度
とすると，微⼩要素の質
量
は
となり，
全体の質量 ( は
(
'4
'
'
となる．
4
赤い文字の部分が16ページとの相違
重心の座標
4
は
∭ /( , ,4)
4 ∭ /( , ,4)
4 ∭ 4/( , ,4)
&61
&61
&61
となる．
4
17
例題
A
底辺，高さ，質量で
密度が均一な⼆等辺三角形の O
重心座標を求める．
密度をとすると，
16ページの結果から，重心の座標は
∬ /( , )
&
∬ /( , )
&
∬
B
∬
78
78
となるはず．
ここで積分範囲が問題となる．
18
線分
線分
線分
と線分
の式は
8
7
$8
7
:
:
=<
=
=
;
7
;
A
O
このとがの
積分範囲の両端となる．
従って積分範囲は以下の通り．
7
>
<
?
B
−>
<
?
@
8
7
$8
7
8
7
$8
7
19
A
から計算していく．
O
7
;
7
;
7
;
8
7
B
$8
7
A8
7
$8
7
7
;
20
A
次に
を計算．
7
;
7
;
重心
↓
O
8
7
B
$8
7
A8
7
7
$8
7
;
以上により，⼆等辺三角形の重心の座標は
7
となる．
21
=<
=
備考
>
<
?
先ほどの解法では，
O
微⼩質量要素を
右図の台形領域で表し，
この台形を⻑⽅形に近似して
@
解を求めている．
この近似には誤差があるが，台形の高さ
が充分に⼩さければ誤差は無視できる
=
A
B
−>
<
?
8
7
で，
⻑⽅形近似による面積の誤差は
微⼩量
の2乗の⼤きさとなる．一般に微⼩量
の乗の形の誤差は無視できる．
22
=<
例題の別解
=
剛体の形状に対称性がある
場合，対称性を利用して
より簡単に重心位置を
計算できる．
>
<
?
A
O
B
=
−>
<
?
@
まず上下の対称性から，
は⾃明．
次にの計算は，「右に⾏くほど密度の高くなっ
ている1次元の棒」と⾒なせばよい．つまり15
ページの結果
を代入して，
7
& ;
∫ ⋅/C &
&
73
8
7
に，
&
73
7
73
;
23
別解の備考
一般に軸対称性を持つ図形の重心座標は，
対称軸と垂直な面での断面を考えると，
比較的容易に解を求めることができる．
軸対称性を持つ図形：
半球，球，円錐，正n角錐，
円柱，正n角柱など
24
例題
トラス構造
直線材をボルトやピンで結合し，
多数の三角形を形成する構造
軽く変形しにくいため，
様々な構造物（例えば橋など）で用いられる
このトラス構造に働く⼒を考える
簡単のため，以下ではトラス構造の
三角形を1つだけ考えて，
各頂点にどのような⼒が
加わるか考える
25
K
1個の⼆等辺三角形
底角
各辺の直線材の重さは無視
加わる⼒
M
M
M
M
M
M
L
頂点に荷重が加わるとする
頂点，頂点における垂直抗⼒をとする
L
⼒のつり合い
点鉛直⽅向：
点鉛直⽅向：
点水平⽅向：
以上から
D
EFG H
D
IJG H
D
26

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