提出期限: 電物・電シ → 2017 年 1 月 19 日（木） 17:00 社環 → 2017 年

線形代数宿題１２ [2016・後] 担当:
梅原
電物 (月 1-2), 電シ (月 5-6), 社環 (水 3-4)
マルせよ→（電物・電シ・社環）学籍番号
[13]
氏名
注意事項
1. この用紙を提出すること。用紙を授業 web ページからプリントアウトする場合は, A4 用紙かつ両面印刷にすること。
以上の指定が守られていないものは受け付けない。
2. 紙を付け足す場合は, A4 用紙とし, クリップ止めにしてください（ホチキスは避けてください）。
3. 授業 web ページにある解答を見て, 自分で添削を済ませてから提出すること。提出先は A209 のドアポスト
提出期限:
問1
電物・電シ
社環
→
→
2017 年 1 月 19 日（木）17:00
2017 年 1 月 16 日（月）12:50
問2
クラメルの公式を使って次を解け.


 2x + y − z = 3
−x + 2y + 2z = −1


3x + 4y + z = 2
問 1 の方程式の係数行列を A とするとき,
e を求めよ.
(1) 余因子行列 A
(2) A−1 を求めよ.
(3) (2) の結果を使って, 問 1 の連立方程式を解け.

[解答] まず, 係数行列

2 1

A =  −1 2
3 4
−6 −5
e=
[解答] (1) A
5
 7
−10 −5

−1

2
1
(2) A−1
の行列式を求める. 結果は, |A| = 5 となる. クラ
メルの公式は,
(x, y, z) =
1
2
4
  


 

x
3
x
3
  

 


A  y  =  −1  =⇒  y  = A−1  −1 
z
2
z
2
−1 2 = −5,
1
2
D2 = −1
3
3 −1 −1
2 = 10,
2
1
2
D3 = −1
3
1
2
4
より,
 

x
−6
1
 
=
y
 7
5
z
−10


−5
4
3


5 −3   −1 
−5
5
2

 

−5
−1
1
 

=  10  =  2 
5
−15
−3
3 −1 = −15
2
(終わり)
あ
となる. よって,
あ
1
(x, y, z) = (−5, 10, −15) = (−1, 2, −3)
5
あ
あ
(終わり)
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ


−6 −5
4
e
A
1

=
=  7
5 −3 
|A|
5
−10 −5
5
(3)
1
(D1 , D2 , D3 )
|A|
であり, D1 ∼ D3 を求めると,
3
D1 = −1
2

4

−3 
5
1
問2
次の行列式を因数分解せよ.
1
(1) x1
2
x1
1
x2
x2 2
[解答] (1) たとえば, 次のようにできよう.
1
1
1 2 × (−x1 ) + ⃝
3
⃝
x1 x2 x3 =
x1 2 x2 2 x3 2 1 × (−x1 ) + ⃝
2
⃝
=
1 x3 x3 2 (2) 1
x1
0
1
x2
1
x1
1
x2
1
x3
x1 2
x2 2
x3 2
x1 3
x2 3
x3 3
x2 (x2 − x1 )
1
1
x2 − x1
0
0 x2 (x2 − x1 )
2
x4 x4 3 1
x4
x3 (x3 − x1 ) 1
x3
x3 (x3 − x1 ) 1
x3 − x1
x2 − x1
x
−
x
3
1
= 1 · (−1)1+1 x2 (x2 − x1 ) x3 (x3 − x1 ) 1
1 = (x2 − x1 )(x3 − x1 ) x2 x3 = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )
(2) たとえば,
1
x1
x1 2
x1 3
次のようにできよう.
1
1
1
1 1
1
x1
x2 x3 x4 x2
x3
3 × (−x1 ) + ⃝
4 ⃝
=
x1 2
x2 2 x3 2 x4 2 x2 2
x3 2
0 x2 2 (x2 − x1 ) x3 2 (x3 − x1 )
x2 3 x3 3 x4 3 1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
2 × (−x1 ) + ⃝
3 ⃝
=
0 x2 (x2 − x1 ) x3 (x3 − x1 ) x4 (x4 − x1 ) 0 x2 2 (x2 − x1 ) x3 2 (x3 − x1 ) x4 2 (x4 − x1 ) 1
1
1
1
0
x
−
x
x
−
x
x
−
x
2
1
3
1
4
1
1 × (−x1 ) + ⃝
2 ⃝
=
0 x2 (x2 − x1 ) x3 (x3 − x1 ) x4 (x4 − x1 ) 0 x2 2 (x2 − x1 ) x3 2 (x3 − x1 ) x4 2 (x4 − x1 ) 2
x4
x4 2 (x4 − x1 ) 1
x4
x2 − x1
x3 − x1
x4 − x1 = 1 · (−1)1+1 x2 (x2 − x1 ) x3 (x3 − x1 ) x4 (x4 − x1 ) x2 2 (x2 − x1 ) x3 2 (x3 − x1 ) x4 2 (x4 − x1 ) 1
1
1 = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x4 − x1 ) x2 x3 x4 x2 2 x3 2 x4 2 = (x2 − x1 )(x3 − x1 )(x4 − x1 ) × (x3 − x2 )(x4 − x2 )(x4 − x3 ) ← (1) の結果を使った
= (x4 − x3 )(x4 − x2 )(x4 − x1 )(x3 − x2 )(x3 − x1 )(x2 − x1 )
(終わり)
[補足] この問題の行列式には, ヴァンデルモンド（Vandermonde）の行列式という名前が付いている.
—–
通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） ——
教科書 p.68 にも記載がある.
あ
2

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