解析入門演習問題8（2016年後期半年使用）

練習問題８（科目名解析入門２Ｃ/１２月５日）
出題者澤野嘉宏
氏名合計点点ノート点検
学修番号 ○ １５１７２０ ○ １５１７５０ ○ １１７（その他）.
1. 留数の計算（２点×１６）
８３ページ例題３６，９４ページ定義５．１４
問題 1.1. 次の関数の z = 0 における留数 Res(f ; 0) と z = 0 の極の位数 m を求めよ．
5 + 6z
4 + 6z + 3z 2
1 + 4z 2
(1) f (z) =
(2) f (z) =
(3) f (z) =
2
3
z
z
z4
８３ページ例題３６，９４ページ定義５．１４
問題 1.2. 次の関数の z = 0 における留数 Res(f ; 0) と z = 0 の極の位数を m 求めよ．
sin z
1 − cos z
ez
(1) f (z) = 2
(2) f (z) =
(3)
f
(z)
=
z
z3
z4
９４ページ例５．１５，９５ページ例５．１６，９５ページ例５．１７
問題 1.3. 次の関数の z = 1 における留数 Res(f ; 1) と z = 1 の極の位数 m を求めよ．
sin z
sin((z − 1) + 1)
cos z
ez
(1) f (z) =
=
(2) f (z) =
(3) f (z) =
z−1
z−1
z−1
z−1
８４ページ例題３７，９４ページ例５．１５，９５ページ例５．１６，９５ページ例５．１７
問題 1.4. 次の関数の z = 1 における留数 Res(f ; 1) と z = 1 の極の位数 m を求めよ．
1
cos z
ez
(1) f (z) =
(2) f (z) =
(3) f (z) =
2
2
(z + 1)(z − 1)
(z + 2)(z − 1)
z(z − 1)2
７７ページ定理５．３，
1
,α=1
−1
z8 + 1
1−i
(4) f (z) = 4
,α= √
z +1
2
問題 1.5. 次の関数 z = α の留数 Res(f ; α) を求めよ．(1) f (z) =
(2) f (z) =
z2 + 3
,α=1
z6 − 1
(3) f (z) =
z8 + 1
1+i
,α= √
4
z +1
2
z4
2. 留数と線積分の計算（２点×３＋８点×４）
問題I 2.1. 積分経路を図示して，次の線積分を求めよ．
I
I
4dz
9dz
6dz
(1)
(2)
(3)
∂∆(2) z − 1
∂∆(4) z + 3
∂∆(5) z + 7
1
2
練習問題８
９８ページ系５．１９，９８ページ命題５．２０，９８ページ例題４４
問題 2.2. 被積分関数を f とする．複素数平面 C 内の f の極をすべて求めよ．積分経路を図示し
て，次の線積分を求めよ．
I
I
√
4dz
dz
(1)
(2)
【積分経路の中心は z = 4 で半径は 17 とする．
】
√
2
2
∂∆(2) z + 3z − 4
∂∆(4; 17) z − 1
９８ページ系５．１９，９８ページ命題５．２０，９８ページ例題４４
問題 2.3. 被積分関数を f とする．複素数平面
C 内の f の極をすべて求めよ．また，積分経路を
I
I
ez dz
dz
(2)
図示して，次の線積分を求めよ．(1)
2
∂∆(4;6) z − 1
∂∆(2) z(z − 1)(z + 5)
練習問題８
3
問題 1.1. (1) Res(f ; 0) = 6, m = 2 (2) Res(f ; 0) = 3, m = 3 (3) Res(f ; 0) = 0, m = 4
問題 1.2. (1) Res(f ; 0) = 1, m = 1 (2) Res(f ; 0) =
1
1
, m = 1 (3) Res(f ; 0) = , m = 4
2
6
問題 1.3. (1) Res(f ; 1) = sin 1, m = 1 (2) Res(f ; 1) = cos 1, m = 1 (3) Res(f ; 1) = e, m = 1
問題 1.4. 極の位数はすべて 2，(1) Res(f ; 1) = −
1
1
1
(2) Res(f ; 1) = − cos 1 − sin 1
4
9
3
(3) Res(f ; 1) = 0
2
1
(2) Res(f ; 1) =
4
3
α
1+i
α
1−i
(3) Res(f ; α) = − = − √ (4) Res(f ; α) = − = − √
2
2
2 2
2 2
問題 1.5. 極の位数はすべて 1，(1) Res(f ; α) =
問題 2.1. (1) 8πi, (2) 18πi, (3) 0
4
8πi
問題 2.2. 経路の図示は省略する．(1) z = 1, −4 が極である．Res(f, 1) = より積分値は
5
5
1
(2) z = 1, −1 が極である．Res(f, 1) = より積分値は πi
2
1
1
問題 2.3. 経路の図示は省略する．(1) z = 0, 1, 5 が極である．Res(f, 0) = − , Res(f, 1) = よ
5
6
πi
e
1
り積分値は −
(2) z = 1, −1 が極である．Res(f, 1) = , Res(f, −1) = − より積分値は
15
2
2e
π 2
(e − 1)i
e

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