数学 I 演習第 5 回

数学 I 演習第 5 回
◦ 数列 {an } (n = 1, 2, 3, . . .) に対して以下の定義を思い出します.
• ある定数 C を選ぶと全ての n に対し an ≤ C が成り立つようにできるとき数列 {an } は上
に有界であるという.
• ある定数 C を選ぶと全ての n に対し an ≥ C が成り立つようにできるとき数列 {an } は下
に有界であるという.
• a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · が成り立つとき数列 {an } は単調増加という.
• a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · が成り立つとき数列 {an } は単調減少という.
定理 1 (教科書 p.48.)
上に有界な単調増加数列は収束する. 下に有界な単調減少数列は収束する.
◦ sk =
k
∑
an としたとき, lim sk を
k→∞
n=1
問 5-1.
∞
∑
n=1
∞
∑
an と書き, （無限）級数と呼ぶ.
n=1
1
を計算せよ.
n(n + 1)
◦ 一般に級数の和の値を実際に求めるのは難しいか不可能であることが多いです. しかし級数が収
束することを示すだけならば比較的容易な場合があります. 一般に次のことが成り立ちます.
定理 2 数列 {an }, {bn } について次の (a)(b) が成り立つと仮定する：
(a) 全ての n = 1, 2, 3, . . . に対し 0 ≤ an ≤ bn .
∞
∑
(b)
bn は収束する.
n=1
このとき
∞
∑
an も収束する.
n=1
問 5-2. [必修問題] 定理 2 を以下の手順で証明する. 数列 {an }, {bn } が定理 2 の仮定 (a)(b) をみ
k
∑
たしているとする. sk =
an とし, 次の (1)(2)(3) を証明せよ.
n=1
(1) 数列 {sk } (k = 1, 2, 3, . . .) は単調増加である.
(2) 数列 {sk } は上に有界である.
(3)
∞
∑
an は収束する. (Hint: 定理 1 を利用.)
n=1
問 5-3.
∞
∑
1
が収束することを証明せよ.
n2
n=1
問 5-4. [必修問題]
使ってもよい.)
♣ 裏につづく
∞
∑
n=1
∞
∑
1
1
が収束することを証明せよ
.
(
但し
が収束することを認めて
2
n +1
n2
n=1
∞
∑
問 5-5. r を 0 < r < 1 なる実数とし, 全ての n = 1, 2, 3, . . . に対し an > 0 を仮定する. 級数
an
n=1
について, 次を示せ:
∞
∑
an+1 (1) 全ての n に対し ≤ r ならば
an は収束する.
an n=1
∞
∑
√
n
(2) 全ての n に対し |an | ≤ r ならば
an は収束する.
n=1
∞
∑
an+1 1
< 1 または lim an n < 1 ならば
(3) lim an は収束する.
n→∞
n→∞
an n=1
問 5-6. (教科書, 定理 7.3)
∞
∑
an+1 1
n
2
n
= k または lim |an | n = k
整級数
an x = a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x + · · · について lim n→∞
n→∞
an
n=0
1
ならば収束半径はであることを示せ. (但し k = 0 のときは収束半径が ∞ であることみなす.)
k
問 5-7. 次の整級数の収束半径を求めよ. 但し, a は正の定数とする.
∞
∞
∞
∞
∑
∑
∑
∑
(n + 1)n n
(n!)2 2n
2 n
n2 n
(1)
n x
(2)
x
(3)
x
a x
(4)
n!
(2n)!
n=0
n=0
問 5-8. 二つの整級数
級数
∞
∑
n=0
∞
∑
n
an x ,
n=0
∞
∑
n=0
(5)
∞
∑
n=0
x
n2
(6)
∞
∑
(3 + (−1)n )n xn
n=0
bn xn の収束半径がそれぞれ r1 , r2 だったとする. このとき整
n=0
(an + bn )xn を考える.
n=0
(1) もし r1 < r2 なら
∞
∑
(an + bn )xn の収束半径が r1 であることを示せ.
n=0
(2) r1 = r2 のとき
∞
∑
(an + bn )xn の収束半径は r1 となるか. そうであるなら証明し, そうでな
n=0
いなら反例を与えよ.
問 5-9.
(1) |x| < 1 のとき次を示せ (Hint: 等比級数):
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · .
1−x
x
の整級数展開（マクローリン展開）を (1) と項別微分と「テイラー展開の計算
(1 − x)2
)′
(
1
を計算する
法」のプリントの問 1(2) を用いて求めよ. (証明をきちんとしてください. x
1−x
だけでは不十分です.)
(2) f (x) =
問 5-10. 数列 {an } に対し Sn を次のように定義する:
a1 + a2 + · · · + an
.
n
(1) lim an = α のとき lim Sn = α であることを示せ.
Sn =
n→∞
n→∞
(2) ある正の整数 L が存在して, 全ての n = 1, 2, 3, . . . に対して an+L = an が成り立っていると
きに lim Sn は収束するか. 収束するなら証明し, そうでないなら反例を与えよ.
n→∞
(3) ある正の定数 M が存在して, 全ての n = 1, 2, 3, . . . に対して |an | ≤ M が成り立っていると
きに lim Sn は収束するか. 収束するなら証明し, そうでないなら反例を与えよ.
n→∞

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