(1) a - SUUGAKU.JP

1
n = 1; 2; 3; Ý に対して，an =
Z
1
0
(1 ¡ x)n ex dx とおき，整数 bn ; cn
3
関数 f(x) が
を
8
f(x) = cos x +
7
an = bn e + cn
Z
¼
3
0
f(t) sin t dt
を満たすとき，次の問いに答えよ．
で定める．ただし，e は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) a1 を求めよ．
(1) f(x) を求めよ．
(2) ® を 0 でない定数とするとき，不定積分
(2) 0 5 an 5 a1 を示せ．
Z
(3) 2 曲線 y = f(x) (0 5 x 5 ¼) と y = f #
(3) an+1 を an で表せ．
で囲まれた図形を図示せよ．
(4) bn を求めよ．
cn
(5) 極限値 lim
を求めよ．
n!1 bn
x2 sin ®x dx を求めよ．
x
; (0 5 x 5 2¼)，および x 軸
2
(4) (3) の図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ．
（富山大学 2007 ）
（富山大学 2006 ）
4
2
次の問いに答えよ．
Z
(1) 不定積分
x log(1 + x) dx を求めよ．
次の問いに答えよ．
(1) a; b を a < b;
1
1
1
1
+
< 1 をみたす任意の自然数とするとき， +
a
a
b
b
5
であることを証明せよ．
6
1
1
1
+
(2) a; b; c を a < b < c;
+
< 1 をみたす任意の自然数とする
a
c
b
1
1
41
1
とき，
+
の最大値が
であることを証明せよ．
+
a
c
42
b
の最大値が
（富山大学 2006 ）
(2) 数列 fan g を
1
2
3
n
n + n n2
n + 1 n2 n + 2 n2 n + 3 n2
; #
; #
; Ý#
;
an = #
n
n
n
n
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定義するとき， lim an を求めよ．
n!1
（富山大学 2008 ）
5
6
次の問いに答えよ．
(1) k を正の整数とし，x > 0 に対して
f(x) =
1
(x + ®) ¡
k+1
C
k+1
(1) 関数 y =
®
=
k
C
k
ex¡1
(x > 0) のグラフをかけ．また，y のとり得る値の範囲を
2x
求めよ．
¯x
(2) k = 1; 2; 3; Ý に対して，2(k ¡ 1)¼ 5 t 5 2k¼ を満たし，かつ，sin t の
値が (1) で求めた範囲に含まれるような t の値の範囲 ak 5 t 5 bk を求めよ．
n Z bk
P
(3) n = 1; 2; 3; Ý に対して，In =
e¡t sin t dt とする．In を求
とおく．ただし，®; ¯ は
® > 0; ¯ > 0;
次の問いに答えよ．
¯
k=1
ak
めよ．
を満たす定数である．このとき，f(x) = 0 であることを示せ．
(4) lim In を求めよ．
n!1
(2) n を正の整数とする．x1 > 0; x2 > 0; Ý; xn > 0 のとき
（富山大学 2009 ）
B
x1 + x2 + Ý + xn
= n x1 x2 Ýxn
n
が成立することを示せ．
(3) M を正の定数とし，5 個の正の数 a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 が a1 a2 a3 a4 a5 = M
を満たしているとする．a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 から取り出した 3 つの数の積
ai aj ak を Sijk と表すことにする．1 5 i < j < k 5 5 を満たすすべての整
B
5
数 i; j; k についての Sijk の和を S とおく．このとき，S = 10 M3 であ
ることを示せ．
7
a > 0 に対して，曲線 y = log x と x 軸，および 2 直線 x = a; x = a + 1
で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を f(a) とする．
このとき，次の問いに答えよ．
(1) f 0 (a); f(a) を a を用いて表せ．
（富山大学 2009 ）
(2) f(a) の最小値を求めよ．
（富山大学 2009 ）
8
¼
の範囲にた
2
だ 1 つ存在する．その x を f(t) と表すことにする．さらに，t の関数 g(t)
0 5 t 5 1 をみたす t に対し，sin x = t となる x が 0 5 x 5
を
g(t) =
Z
0
¼
2
j sin x ¡ tj dx ¡ 2tf(t) +
3
¼t
2
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
Z ¼
2
(1)
j sin x ¡ tj dx を，t と f(t) を用いて表せ．
0
(2) g(t) を，f(t) を含まない式で表せ．
(3) g(t) の 0 5 t 5 1 における最大値を求めよ．
（富山大学 2010 ）
9
1
f(x) = (1 + x) x (x > 0) とするとき，次の問いに答えよ．
(1) log f(x) を微分することによって，f(x) の導関数を求めよ．
(2) 0 < x1 < x2 をみたす実数 x1 ; x2 に対して，f(x1 ) > f(x2 ) であること
を証明せよ．
101 101
100 99
; と#
; の大小を比較せよ．
(3) #
100
99
（富山大学 2010 ）

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