Flows in curved spaces - ETH E

Diss. ETH No. 23828
Flows in curved spaces
A thesis submitted to attain the degree of
Doctor of Sciences of ETH Zurich
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
Jens-Daniel Debus
MSc ETH Physics, ETH Zurich
born 15.12.1988
citizen of Germany
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Hans Jürgen Herrmann, examiner
Prof. Dr. Sauro Succi, co-examiner
2016
Zusammenfassung
In dieser Arbeit betrachten wir verschiedene Arten von Strömungen in gekrümmten Räumen, wie sie in vielen physikalischen Systemen in der Natur vorkommen, angefangen von klassischen Flüssigkeiten in gekrümmten
Kanälen bis hin zu Elektronenflüssen in gekrümmten Graphenschichten. Für
die computergestützten Simulationen der Flüsse verwenden wir das LatticeBoltzmann-Verfahren (LB), eine numerische Methode, die sich in den vergangenen Jahrzehnten wachsender Beliebtheit erfreut hat. Um Strömungen
in gekrümmten Räumen zu beschreiben, verwenden wir eine verallgemeinerte Version der LB-Methode für Flüsse auf Mannigfaltigkeiten, welche erst
kürzlich von M. Mendoza, S. Succi und H. J. Herrmann entwickelt wurde
[1, 2]. Im Rahmen dieser Arbeit entwickeln wir diese LB-Methode weiter,
indem wir die numerische Genauigkeit und Effizienz des Algorithmus verbessern.
Das erste physikalische Phänomen, welches wir in dieser Arbeit betrachten, ist die Dean-Instabilität, eine Strömungs-Instabilität, die in Kanälen
mit gekrümmten Wänden auftritt. Die Dean-Instabilität zeichnet sich durch
einen krümmungsabhängigen Übergang von laminarer Strömung zu Wirbelströmung aus und wurde bereits umfassend an rechteckigen Kanälen studiert. Im Rahmen dieser Arbeit untersuchen wir das Phänomen in komplexeren Kanalgeometrien, welche neben einer strömungsgerichteten Kanalkrümmung auch eine Krümmung in Breitenrichtung besitzen. Für die
Strömungssimulationen verwenden wir die LB-Methode in krummlinigen
Koordinaten, welche perfekt auf die Geometrie des Kanals abgestimmt sind.
Interessanterweise stellt sich heraus, dass die Dean-Instabilität entscheidend
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vom Verhältnis der beiden Kanalkrümmungen abhängt. Für sehr stark gekrümmte Kanäle beobachten wir sogar Strömungsübergänge höherer Ordnung, welche durch eine Vielzahl von Flusswirbeln gekennzeichnet sind.
Während die Strömung bei der Dean-Instabilität die Krümmung der Kanalwände lediglich als externe Randbedingung wahrnimmt, die die Flüssigkeit auf das Innere des Kanals eingrenzt, exisitieren auch hydrodynamische
Systeme mit einer intrinsischen Raumkrümmung. Beispiele hierfür bilden
Seifenblasen, gekrümmte Lipid-Doppelschichten oder Elektronentransport
in Graphen, einem der faszinierensten Materialen des letzten Jahrzehnts
aufgrund seiner aussergewöhnlichen mechanischen, elektronischen und optischen Eigenschaften. All diese Systeme besitzen ein hydrodynamisches
Regime, in welchem sie effektiv als zweidimensionale Flüssigkeit auf einer
gekrümmten Oberfläche beschrieben werden können. Dabei ruft die komplexe Wechselwirkung zwischen der Flüssigkeit und der Raumkrümmung
überraschende neue Effekte hervor, die wir im Rahmen dieser Arbeit genauer untersuchen werden. Dazu simulieren wir Strömungen über intrinsisch gekrümmte Oberflächen, die durch einen allgemeinen metrischen Tensor beschrieben werden können. Interessanterweise finden wir, dass der Fluss
durch einen intrinsisch gekrümmten Kanal nur von der mittleren Deformation des Raumes abhängt, nicht aber von der spezifischen örtlichen Verteilung der Krümmung. Diese Erkenntnis erlaubt es uns, ein allgemeines
Flussgesetz für eine grosse Familie von zwei- und dreidimensionalen gekrümmten Räumen zu formulieren. Noch erstaunlicher ist die Beobachtung,
dass Flüssigkeiten in gekrümmten Räumen selbst in der kompletten Abwesenheit von Wänden und Hindernissen einen Energieverlust erfahren, der allein auf die Krümmung des Raumes zurückzuführen ist. Tatsächlich erscheint
es zunächst widersprüchlich, dass eine geometrische Eigenschaft des Raumes Energiedissipation in Flüssigkeiten verursachen kann. Wir erklären dieses
faszinierende Phänomen durch das Auftreten von viskosen Kräften innerhalb
der Flüssigkeit, welche von der Raumkrümmung hervorgerufen werden und
infolgedessen zu einer physikalischen Energiedissipation führen. Wir zeigen
ausserdem, dass Strömungen in gekrümmten Räumen einem nichtlinearen
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Transportgesetz folgen, welches der Form nach dem Darcy-Forchheimer Gesetz [3] ähnelt. Darüberhinaus charakterisieren wir die Permeabilität von
gekrümmten Medien in Abhängigkeit von der räumlichen Deformation.
Schliesslich widmen wir uns den elektronischen Eigenschaften von Graphen, indem wir die elektronische Bandstruktur von Graphenschichten bei
niedrigen Temperaturen mithilfe des Dirac-Formalismus beschreiben. Dazu verwenden wir die Quanten-Lattice-Boltzmann-Methode (QLB) [4], welche wir zunächst auf gekrümmte Räume verallgemeinern. Damit sind wir
prinzipiell in der Lage, Graphenschichten in beliebigen Formen numerisch
zu simulieren. Im Rahmen dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf wellige
Graphen-Oberflächen, für welche wir verschiedene Eigenschaften, wie z.B.
die ortsabhängige Fermi-Geschwindigkeit sowie die inhomogene Ladungsträgerdichte [5, 6], korrekt reproduzieren können. Darüberhinaus simulieren wir Graphenschichten in einem äusseren Magnetfeld, wobei wir eine
krümmungsabhängige Verschiebung der Landau-Energieniveaus beobachten.
Diese Verschiebung wurde — unseres Wissens nach — bisher noch nicht beobachtet und regt zu weiteren zukünftigen Untersuchungen an.
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Abstract
In this work we study flows through curved spaces, starting from classical fluid flows through curved channels and ending with electron flows in
curved graphene sheets. For our numerical simulations, we use the lattice
Boltzmann (LB) method, a powerful numerical technique, which has gained
increasing popularity during the last decades. To simulate flows in curved
spaces, we improve and extend the LB method on manifolds, which has been
proposed recently by M. Mendoza, S. Succi and H. J. Herrmann [1, 2].
As a first application, we study the Dean instability. This flow instability
occurs in channels with curved walls and is characterized by a curvaturedependent transition from laminar flow to vortex flow. While the Dean
instability has been widely studied for rectangular channels, we simulate
more complex channel geometries by curving the channel in both streamwise
and spanwise direction, using the LB method in curvilinear coordinates. We
find that the flow instability depends significantly on the relative strength
of the streamwise and spanwise curvature. For strongly curved channels,
we even observe higher-order transitions, characterized by a multitude of
counter-rotating vortices.
While for the Dean instability the curvature of the channel walls affects
the flow only as an extrinsic constraint, confining the fluid inside the channel, there also exist hydrodynamic systems with an intrinsic curvature of
space. Some examples are curved soap films, lipid bilayer membranes or
electron flow in graphene, being one of the most fascinating materials of
the last decade due to its extraordinary mechanical, electronic and optical
properties. In the hydrodynamic regime, all these systems can effectively be
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described as a two-dimensional viscous fluid, moving on a curved surface.
The complex interaction between the fluid motion and the spatial curvature
gives rise to surprising macroscopic effects, as studied in the present work.
To this end, we simulate flow through intrinsically curved spaces, which are
described by a general metric tensor. Interestingly, we find that the mass
flow through an intrinsically curved channel depends only on the average
deformation of space, but not on the specific distribution of curvature. This
allows us to formulate a general flux law, applicable to a wide family of
curved spaces in two and three dimensions. More surprisingly, we find that
even in the complete absence of solid walls or obstacles, the free motion of
fluids exhibits loss of energy only due to the intrinsic curvature of space. It
appears counter-intuitive that a geometrical property of space yields physical dissipation in fluid flows. We explain this intriguing observation by
curvature-induced viscous stresses, which create velocity gradients between
adjacent fluid layers, leading to an irreversible dissipation of energy. We
show that flows in curved spaces follow a non-linear transport law, resembling in form Darcy-Forchheimer’s law [3]. In addition, we characterize the
permeability of curved media in terms of the spatial deformation.
Finally, we study electron flow in graphene from a different approach
by using the Dirac formalism, which describes the electronic band structure
of graphene sheets at low temperatures. By improving and extending the
quantum lattice Boltzmann (QLB) method [4] to curved spaces, we are able
to simulate graphene sheets of, in principle, arbitrary smooth shapes. In this
work, we focus on rippled graphene sheets, for which we correctly recover
the space-dependent Fermi velocity and the inhomogeneous carrier density
predicted in Ref. [5, 6]. Furthermore, we observe a curvature-dependent
shift of the Landau levels, arising in a magnetic field, which — to the best
of our knowledge — has not been reported before and deserves future investigation.
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