電磁気学 I

＜平成28年度前期＞
内容：
8-2. 導体と誘電体(2)
導体と誘電体(2)　(2)　誘電体の原子論的記述
電磁気学 I
9. コンデンサーのエネルギー　帯電したコンデンサーに蓄えられているエネルギー，
電界内のエネルギー密度
第10回
10. 誘電体の効果　誘電体を挟んだコンデンサー
（《参考》コンデンサーの構造，コンデンサーの種類）
井上　真澄
11. コンデンサーの充電　電気を貯める装置
8-2. 導体と誘電体(2)
導体と誘電体(2)
分極の種類
・電子分極：　原子を構成する電子雲の原子核に対する相対位置の変化に
基づく
誘電体の原子論的記述
帯電したコンデンサー（電源はつながっていない）の極板間に比誘電率
κ（εrとも書く）の誘電体を挿入　→極板間の電圧は1/κに減少
誘電体内で何が起こっているか考える
誘電体がないときの電界をE0とする
→　誘電体が存在するときの電界は
E=
E0
κ
(26.22)
・原子分極：　イオン結晶内の正および負イオンのように正に帯電した原
子と負に帯電した原子の相対的位置の変化に基づく
（∵　平行平板コンデンサの極板間電位差　（dは極板間距離））
V = Ed
分子・原子レベルで考える。
電界中に誘電体を置く
・誘電体を構成する原子または分子の中の
正電荷・・・電界方向に変位
・　〃　負電荷・・・電界と反対方向に変位
→　誘電体の表面に電荷（片側に正電荷，反対側に負電荷）が現れる
・・・分極
・双極子分極：　有極性分子（永久的な電気双極子モーメントを持つ
分子）の双極子モーメントの配向に基づく
誘導された電荷が電界に与える影響
電荷密度σi, - σiが
誘起された誘電
体内に外部電界
と逆向きの誘導
電界Eiが生じる。
E=
式(26.23)
E = E0 − Ei
E=
(26.23)
∴
σ
= σ −σ i
κ
∴
σi = σ −
平行平板コンデンサーの極板間に誘電体がある場合
外部電界E0と極板上の自由電荷密度σ
σ
の関係・・　E =
0
誘電体内に誘導された電界Ei
と誘電体表面に誘起された電
荷密度σiの関係・・　Ei =
ε0
より
E0 σ
σ σ
=
= E0 − Ei = − i
κ κε0
ε0 ε0
→　誘電体内の正味の電界の大きさは
E = E0 − Ei
E0
κ
式(26.22)
σ κ −1
=
σ
κ
κ
(26.24)
σi < σ
κ >1
→　なので
σi
ε0
9. コンデンサーのエネルギー
q=Q
q = 0 から　まで充電するのに必要な仕事Wは
帯電したコンデンサーに蓄えられているエネルギー
帯電したコンデンサー・・・エネルギーを蓄えている
・導線などで電極間を接続　→　電荷は一方の電極から他方に流れる　・・　放電
・空気中の放電では火花が飛ぶこともある。
・誤って両電極に触ると人体を通して放電　→　電気ショックを感じる
容量Cのコンデンサーを電池につないで充電することを考える。
・初期は帯電していない（極板間電位差ゼロ）とする。
・充電中の任意の時刻の電荷をq，充電後の電荷をQとする。
充電中のコンデンサに生じている電位差：
q
V=
C
W=
∫0
Q
q
1
dq =
C
C
∫0
Q
q dq =
Q2
2C
これはコンデンサーに蓄えられたポテンシャルエネルギーU
Q = CV を使うと
U=
1
Q2 1
= QV = CV 2
2C 2
2
(26.12)
これはコンデンサーの幾何学的形状に関わらず成立する。
電荷-qを持つ電極から電荷+qを持つ電極へさらにdqの電荷を移動させ
るのに必要な仕事：
dW = V dq =
q
dq
C
［例題26.5］（帯電した2つのコンデンサーの再結線）
電界内のエネルギー密度
平行板コンデンサーで考える。
（E：電界の大きさ，A：極板面積，d：極板間距離　とする。）
A
d
V = Ed
C = ε0
容量C1およびC2（ただしC1 > C2）の2つのコンデンサーが同じ電位V0
に充電されているが，反対符号の極性に充電されている。充電したこ
れらのコンデンサーを電池から取り外し，図(a)に示すように結線（接
続）する。次に図(b)に示すように，スイッチS1およびS2を閉じる。
(a) 2つのスイッチを閉じた後の点a, b間の最終電位差を求めよ。
(b) 2つのスイッチを閉じる前後のコンデンサーに蓄えられる全エネル
ギーを求めよ。
と式(26.12) より
1
1 A
1
U = CV 2 = ε0 ( Ed )2 = (ε0 Ad ) E2
2
2 d
2
(26.13)
平行板コンデンサーで電界が占める体積はAd　→　単位体積あたりのエネルギーuは
u=
U
1
= ε0 E 2
Ad 2
(26.14)
(b)
＜解＞
(a) 容量と電荷が分かれば電位
差が求められる。
スイッチを閉じる前のコンデンサーに蓄えられる全エネルギーU1：
1
1
1
U1 = C1V02 + C2V02 = (C1 + C2 )V02
2
2
2
スイッチを閉じた後のコンデンサーに蓄えられる全エネルギーUf：
スイッチを閉じる前：　コンデンサーの左側の電
極にある電荷・・・
Q1 = C1V0 および Q2 = −C2V0
C −C 
=  1 2  U1
 C1 + C2 
2
スイッチを閉じた後：
コンデンサーの左側の電極にある全電荷・・・
Q = Q1 + Q2 = C1V0 − C2V0 = (C1 − C2 )V0
2つのコンデンサーの合成容量：
1
1
1
U f = C1V 2 + C2V 2 = (C1 + C2 )V 2
2
2
2
2
2

 C −C  1
1
C −C
2
2
= (C1 + C2 ) 1 2 V0  =  1
 (C1 + C2 )V0
C
+
C
C
+
C
2
2
 1 2   1
2 
C = C1 + C2
U f  C1 − C2 
=

U1  C1 + C2 
初期エネルギーに対する比で表すと
2
コンデンサーにまたがる最終電位差：
V=
Q (C1 − C2 )V0 C1 − C2
=
=
V0
C1 + C2
C1 + C2
C
→　最終エネルギーは初期エネルギーより小さい
（減少分は電流発生に伴う導線でのエネルギー消費や空中への
電磁波放射となる。）
10. 誘電体の効果
コンデンサー上の電荷Q0は変化しない →　容量が変化
誘電体を挟んだコンデンサー
電荷Q0を持つ平行板コンデンサー
を考える（コンデンサーに電源は
つないでない状態）。
C=
Q0
Q
Q
= 0 = κ 0 = κC0
V V0 / κ
V0
∴ C = κC0
(26.15)
→　極板間の領域を誘電体（比誘電率κ）で完全に満たすとき，
コンデンサーの容量はκ倍に増大する。
電圧計をつないで極板間の電位差
を見る。
平行板コンデンサ（極板面積A，極板間距離d）の場合，
誘電体なしの容量：
誘電体を入れないとき：　容量C0，極板間電位差V0とすると
Q
V0 = 0
C0
C0 =
ε0 A
d
誘電体を満たしたときの容量： C = κ
ε0 A
d
(26.16)
絶縁耐力
極板間に誘電体（比誘電率κ）を挿入すると電位差は1/κ倍に減少する。
V=
V0
κ
（V < V0 なので κ > 1）
誘電体にかかる電界がある限度以上に強くなると絶縁性を失って
放電する（絶縁破壊）
許容可能な最大の電界・・・誘電体の絶縁耐力　（表26.1参照）
《参考》コンデンサーの構造
《参考》コンデンサーの種類
固定コンデンサー・・誘電体の種類によりいろいろな種類
セラミック・コンデンサー
（高周波特性に優れる）
(a) チューブラーコンデン
サー
(c)電解コンデンサー
(b) 絶縁油を用いた
高電圧コンデンサー
フィルム・コンデンサー
（ポリエステル（マイラ），
ポリプロピレン，他を使用）
マイカ・コンデンサー
（マイカ（雲母）を使用）
（高精度，高安定）
［例題26.7］（誘電体挿入前後に蓄えられているエネルギー）
電解コンデンサー
（大容量，極性が決まっている）
アルミ電解
コンデンサ
タンタル電解
コンデンサ
図(a)に示すように，ある平行
板コンデンサーを電池で充電し，
電荷Q0を与える。次にこの電池
を外し，図(b)に示すように極
板間に比誘電率κの板を挿入す
る。この誘電体を挿入する前後
にコンデンサーに蓄えられてい
るエネルギーを求めよ。
可変コンデンサー
バリコン・・・ラジオ，無線機の同調，など
トリマ　・・・水晶発振器の微調整，など
＜解＞
誘電体がないときのコンデンサーに蓄えられるエネルギーは
2
U0 =
使用上の注意：
Q0
2C0
電池を外して誘電体を挿入した後 →　コンデンサー上の電荷は不変　容量はκ倍・・ C = κC0
蓄えられるエネルギーは
2
定格電圧（使用に耐えうる電圧）を守って使用。
2
Q
Q
U
U= 0 = 0 = 0
2C 2κC0 κ
最終エネルギーは初期エネルギ
ーよりも1/κ倍に小さくなる。
［＜参考＞誘電体をコンデンサーに挿入する際には引き込む力が作用する。］
11. コンデンサーの充電
電気を貯める装置
○電気二重層キャパシタ
一般に，異なる物質を接触させると，電荷の移動により電気二重層と呼
ばれる界面が生じて安定する。この現象を利用したのが電気二重層キャパ
シタ。
○ライデン瓶（1746年）［オランダのライデ
ン大学の名前に因んで命名］
（原理的には現在のコンデンサーと同じ）
電気を貯めるというより，電気を長
く保つための研究から生まれた。
静電気を貯めて実験などに利用でき
るようになった。
最初の実用的コンデンサー。
○コンデンサー
原理
構造
電気二重層は極めて薄い層
・一般的なアルミ電解コンデンサー（µFオーダー）の100万倍以上の静
電容量（Fオーダー）で，1000 F以上の大容量のものもできてきている
・重放電を繰り返しても物質劣化がない（二次電池のように電気化学反
応を利用するものではない）
（ライデン瓶のような）誘電体を電極で挟んだ構造で，小型化や
大容量化した種々の構造のものが作られてきた
電子回路，整流回路から電力系統まで様々なところで使用。
用途：携帯電話・ノートパソコンなどのメモリバックアップ電源，
プリンターやコピー機のウォームアップ電源，　無停電電源装置
電気自動車・ハイブリッド自動車の補助電源，　など
まとめ
コンデンサーに蓄えられているエネルギー
Q2 1
1
U=
= QV = CV 2
2C 2
2
(26.12)
電界内のエネルギー密度
1
u = ε0E2
2
(26.14)
極板間に誘電体（誘電率κ）
極板間に誘電体（誘電率）を挿入したコンデンサーの容量
(26.15)
C = κC0
（C0：元のコンデンサーの容量）
誘電体（誘電率κ）
誘電体（誘電率）内の電界
E=
E0
κ
（E0：外部磁界）
(26.22)
→　誘電体の分極
分極の効果
分極
そして・・・
コンデンサーの問題を考える際に重要なこと：　コンデンサーの状
態を変えたときに変化しない量は何か
変化しない量は何かをしっかり意識すること。
変化しない量は何か

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