Lösungen

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Lösung 9
1. (a) überall diﬀerenzierbar, Ableitung: x !→ 3x2 − 2, (b) diﬀerenzierbar
√für x > 0,
Ableitung: x !→ 2√1 x , (c) diﬀerenzierbar für x ≥ 0, Ableitung: x !→ 23 x und (d)
!
1
falls x > 0;
diﬀerenzierbar für x ̸= 0, Ableitung: x !→
−1 falls x < 0.
2. Polynome sind überall diﬀerenzierbar.
Ableitung: x !→ a1 + 2a2 x + . . . + iai xi−1 + . . . + nan xn−1
√
3. (a) x !→ 3a2 x2 −2 bx+ 21 c, (b) x !→ (1−q) 2√1 x +1, (c) x !→ 2x−x−2 +2x−3 +5x−6 ,
a
.
(d) x !→ xx (log x + 1) und (e) x !→ ax+b
4.
" #′
0 · v − 1 · v′
v′
1
=
=
−
v
v2
v2
Aber natürlich nur da wo v(x) ̸= 0!
5. Die Ableitung f ′ (x0 ) muss in x0 gleich ±1 sein. (a) {(1/2, 1/4), (−1/2, 1/4)}, (b)
1
)}, (c) {(1, 2), (2, 2)} und (d) {(0, 1)}.
{±( √13 , 33/2
6.
′
"
sin x
cos x
#′
cos x cos x + sin x sin x
cos2 x
#2
"
2
2
cos x + sin x
sin x
=
=
1
+
cos2 x
cos x
(tan x) =
=
= 1 + tan2 x
7.
(tan x)′ =
=
"
sin x
cos x
#′
=
cos x cos x + sin x sin x
cos2 x
cos2 x + sin2 x
1
=
cos2 x
cos2 x
√
8. (a) arctan 21 = 0.46365 = 26.565◦ und (b) arctan 3 2 3 = 1.20337 = 68.948◦
9. (a) f ′ (x) = 4x + 3 +
g ′′ (t) = −16 cos(4t)
10. (a)
4
(ex +e−x )2
und (b)
3
x2 ,
f ′′ (x) = 4 −
1
x log x .
92
6
x3
und (b) g ′ (t) = sin(4π) − 4 sin(4t),
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Lösung 10
1. Wurfbahn: f : x !→ −2x2 + 4x, Ableitung in 0 ist 4, also Schiesswinkel mit der
x-Achse ist gleich arctan 4 = 1.3258 = 75.964◦.
2. (a) Nullstellen bei x = −1, x = 2, absolutes Minimum in (1/2, −9/4), (b) Nullstellen bei x = 0, x = 1, relatives Maximum in (0, 0), relatives Minimum in
(2/3, −4/27) und (c) Nullstellen und absolute Minima in (−6, 0) und (3, 0), relatives Maximum in (0, 108) (bemerke: x3 + 9x2 − 108 = (x + 6)2 (x − 3)).
y
y
y
1
1
x
1
1
x
25
1
(a) x !→ x2 − x − 2
(b) x !→ x3 − x2
x
(c) x !→ ∥x3 + 9x2 − 108∥
3. (a) absolutes Minimum in (1, 2), (b) absolutes Minimum in (−1, −1/2), absolutes
Maximum in (1, 1/2) und (c) absolutes Minimum in (a, 0).
4. Maximiere x(a − x). Dies ergibt x = a/2. Also: a1 = a2 = a/2.
√
x = ± a. Da nur positive Lösungen
5. Finde die Extrema von x + xa . Dies ergibt √
gesucht sind ist die Lösung also a1 = a2 = a.
6. (a) Definitionsbereich: R; keine Polstellen; keine Nullstelle; Asymptote: x-Achse
y = 0; absolutes Maximum (0, 1). (b) Definitionsbereich: R \ {0}; Polstelle in
x = 0; Nullstelle in x = −1; Asymptote: y = 12 x + 1, relatives Maximum in
(−1, 0), relatives Minimum in (1, 2). (c) Definitionsbereich: R \ {− 21 }; Polstelle
in x = − 21 ; keine Nullstelle; Asymptote: x-Achse y = 0; keine Extrema.
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Lösungen
y
y
y
1
2
x
1
x
1
5
1
(a) x !→
1
1+x2
(b) x !→
x2 +2x+1
2x
(c) x !→
x
4
(2x+1)2
7. (±1, ±1).
8. Dreiecksfläche : Rechtecksfläche = 2 : 1
9. Es sollten 5708 Stück Radiergummi produziert werden.
Lösung 11
1. (a) x !→ 41 x4 − 35 x3 + 27 x2 − 2x + c, (b) x !→ −x−2 + c, (c) x !→ 23 x3/2 + c, (d)
x !→ − x21+1 + c und (e) x !→ 2 log(|x + 1|) − 3 log(|1 − x|) + c.
$1
1
2. A = 0 x2 − x3 dx = 31 − 14 = 12
$1
3
3. (a) 1, (b) −1 x23x
+1 dx = 2 (log(2) − log(2)) = 0
√
4. Nullstellen von p sind x1 = 0 und x2,3 = ± a. Damit können wir folgende
Gleichung (für a) aufstellen:
Flächenstück =
%
0
√
a
ax − x3 dx = 9
Die Lösung davon ist a = 6.
5. Die Nullstellen von p sind x1 = 0 und x2 = 3.
Die Steigung der Tangenten: f ′ (x1 ) = f ′ (0) = 3 und f ′ (x2 ) = f ′ (3) = −3.
Gleichungen der Tangenten sind gegeben durch t1 : x !→ 3x und t2 : x !→ −3x+9.
Die Tangenten schneiden sich bei (1.5, 4.5). Da die Figur achsensymmetrisch ist,
94
Lösungen
reicht es aus die eine Hälfte zu berechnen und schlussendlich das Ergebnis zu
verdoppeln.
% 1.5
% 1.5
3x − (3x − x2 ) dx =
x2 dx = 1.125
0
0
Also misst die Fläche A = 2 · 1.125 = 2.25
π
4
π
4
6. (a) sin x = cos x für x =
Schnittpunkte sind also
+ kπ, wobei k ∈ Z. Zwei aufeinanderfolgende
und 5π
4 .
(b)
A=
%
5π
4
π
4
√
5π
sin x − cos x dx = [− cos x − sin x] π4 = 2 2
4
7. f (x) = t22 x − t13 x2 = x( t22 −
Fläche ist gegebene durch
1
t3 x)
%
0
2t
hat die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 2t. Die
2
1
4
x − 3 x2 dx =
2
t
t
3
und somit unabhängig von t.
Lösung 12
1.
%
π
2
%
π
2
π
sin x cos x dx = [sin x sin x]02 −
0
%
π
2
cos x sin x dx
0
Daraus folgt
2·
%
sin x cos x dx = 1 =⇒
0
π
2
sin x cos x dx =
0
1
2
2.
%
π
2
sin2 x cos x dx =
0
%
π
2
(sin x)2 (sin x)′ dx
0
Nun können wir die Substitutionsregel anwenden. Mit t = sin x führt dies auf
%
π
2
sin2 x cos x dx =
0
%
0
95
1
t2 dt =
&
t3
3
'1
0
=
1
3
Lösungen
3.
$
π
2
−π
2
x3 cos x dx = 0. Man kann entweder dreimal partielle Integration anwenden
oder feststellen, dass der Graph von x3 cos x punktsymmetrisch bezüglich des
Ursprungs ist, woraus direkt folgt, dass das Integral verschwindet.
4.
%
e
log x dx =
0
%
0
e
1 · log x
=e
,
5. (a) y = b 1 −
%
e
1
dx
x
1
= (e log e) − (1 log 1) −(e − 1) = 1
( )* + ( )* +
e
= [x log x]1 −
x·
=0
x2
a2
(b) Nullstelle ist a und somit ist die Fläche gegeben durch
% π2
% a x2
π
b 1 − 2 dx =
ab cos2 t dt = ab
a
4
0
0
Dabei haben wir die Substitution x = a sin t verwendet.
(c) Für den Flächeninhalt der Ellipse gilt A = πab.
6.
%
1
∞
%
n
1
dx
2
x
& 1 'n
−1
= lim
n→∞
x 1
1
= lim − + 1 = 1
n→∞
n
1
dx = lim
n→∞
x2
96

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