（参考12）同次関数に関するオイラーの定理

（参考１２）同次関数に関するオイラーの定理
x, y, z の関数 f (x, y , z ) について，以下の関係があるとき， f を r 次の同次関数という。
f (λx, λy, λz ) = λ rf (x, y , z )
（＊）
f の全微分が以下のように表されるとき，
df = (
∂f
∂f
∂f
) dx + ( ) dy + ( )dz = X (x, y, z ) dx + Y (x, y , z ) dy + Z (x, y , z ) dz
∂x
∂y
∂z
（＊）式の両辺を λ で微分した後に， λ = 1 と置くことで， f は以下のように表される。
(
∂f
∂f
∂f
) x + ( ) y + ( ) z = rλ r −1f
∂x
∂y
∂z
∴ X (x, y, z ) x + Y (x, y, z ) y + Z (x, y , z ) z = rf (x, y, z )
r = 1 のときの（＊）式は，粒子数を含む全ての示量変数を同時に λ 倍し，系のサイズを変えることに
相当する。例えば，
U (λS , λV , λN ) = λU (S , V , N ) , dU = TdS − pdV + µdN ⇒ U = TS − pV + µN
となり，正しい関係式 G = µN = U − TS + pV を与える。
U (λS , λV ) = λU (S , V ) ， dU = TdS − pdV としてしまうと，誤った結果 U = TS − pV となる。
F (T , V , N ) については，
F (T , λV , λN ) = λF (T , V , N ) , dF = −SdT − pdV + µdN
となるが，同様に両辺を λ で微分することで，以下となる。
F =(
∂F
∂F
)V + (
) N = − pV + µN
∂V
∂N
G(T , p, N ) についても同様である。
G(T , p, λN ) = λG(T , p, N ) , dG = −SdT + Vdp + µdN
⇒ G = µN
なお， U (λS , λV , λN ) = λU (S , V , N ) は， U が S , V , N の関数として U = N u (S / N , V / N )
F (T , λV , λN ) = λF (T , V , N ) は， F が T , V , N の関数として F = Nf (T , V / N )
G ( T , p , λN ) = λG ( T , p , N )
は， G が T , p, N の関数として G = N µ(T , p )
の形に表わされることに対応している。
２成分系では，
G(T , p, λN1 , λN2 ) = λG(T , p, N1 , N2 ) , dG = −SdT + Vdp + µ1dN1 + µ2dN2 ⇒ G = µ1N1 + µ2N2
さらに，
dG = d (µ1N1 + µ2N2 ) = −SdT + Vdp + µ1dN1 + µ2dN2
より，以下のギブズ－デュエムの関係式が得られる。
N1dµ1 + N2dµ2 = −SdT + Vdp
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