第３７回 立体図形① １ サイコロのように，６枚の正方形で囲まれた立体図形のことを，立方体と呼びます。 この立方体の辺を切断して，１枚のつながった平面図形にした図のことを，展開図と呼 びます。立方体の展開図は全部で 11 種類ありますが，全ての展開図を描きなさい。 ～記述欄～ －1－ ２ 断頭柱の体積（高さ平均）など （１） 底面積が１２cm2 の三角柱（右図）について， 下部の体積を求めなさい。 ７cm ４cm ３cm （２） 直方体（右図）のｘの長さを求めなさい。 ｘcm ５cm ２cm （３） 三角柱（右図）の底面積が 30cm2 のとき，右図 の「屋根型」の体積を求めなさい。 ６cm １２cm １２cm （４） ２ｃｍ，３cm，４cm の直方体が 24 個を積み重ねて，大きな直方体を作るとき， ① 表面積が最小になるとき ② 表面積が最大になるとき の表面積をそれぞれ求めなさい。 －2－ ３ 正多面体など （１） 右図のように，ひもをぴんと張った状態で円柱に巻き付けました。 展開図にひもの様子を書き入れなさい。 A A （２） １辺６cm の立方体の中に正八面体を作りました。 正八面体の体積を求めなさい。 ※正八面体の頂点は，立方体の正方形の真ん中 にあるものとします。 ★正多面体★ 全て同じ正多角形から作られている立体図形のことを，正多面体と呼ぶ。 <<立体の成立条件>> ① １つの頂点に集まる各図形の内角の和は，３６０度未満 ② １つの頂点に集まる各図形の数は３面以上が集まる したがって，３６０度÷３＝120 度（未満）・・・構成する正多角形の１つの角度 正三角形で構成 正三角形・正方形・正五角形まで ６０×３＝１８０ 正四面体（正三角すい） 正方形で構成 正五角形で構成 ６０×４＝２４０ ６０×５＝３００ ９０×３＝２７０ １０８×３＝３２４ －3－ 正八面体 正二十面体 正六面体（立方体） 正十二面体 B 見取り図 頂点の数 辺の数 面の数 展開図に するための 切断数 正四面体 ４ ３×４÷３ １点に集ま る頂点数 ６ ３×４÷２ ４ ２本で１本 ６－３＝３ 正六面体 ６ 正八面体 ８ 正十二面体 １２ 正二十面体 ２０ <<考え方のコツ>> 簡単な事例（正四面体など）をバラバラにしてから考える！！ －4－ ３ ４－１＝３ ４ パップス ギュルタンの定理（センターラインの法則<応用>） 回転体の体積 ＝ 平面図形の面積 × 重心の移動距離 直径３cm の円が軸の周りを１回転するとき， ① その立体の体積 ② その立体の表面積 をそれぞれ求めなさい。 <体積> <表面積> －5－ ３cm ３cm ５ 立方体の切断<<１１種類>> ※ 図中の●は等分点を表すものとします。 切断ルール ①同一平面上の２点 は直接結ぶ ②向かい合う面の切り 口は平行 ③ 大 きい三 角 すいを つくるように切り口を 延長 －6－
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