B の 2 つの野球チームが戦い，先に 4 勝したチームを

年番号
1
A，B の 2 つの野球チームが戦い，先に 4 勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，
各試合で A チームが B チームに勝つ確率は
3
3
とする．次の各問に答えよ．
5
氏名
1 個のさいころを続けて 4 回投げて，出た目の数を順に a; b; c; d とする．このとき，座標平
面上の点 P1 ，P2 ，P3 ，P4 を手順 1 から手順 4 で定める．
(1) A チームが 4 勝 1 敗で優勝する確率を求めよ．
手順 1．原点 O から x 軸の正の向きに a だけ移動した点を P1 とする．
(2) A チームが最初の 2 試合で負けてしまった．その後，A チームが優勝する確率を求めよ．
手順 2．点 P1 から y 軸の正の向きに b だけ移動した点を P2 とする．
(3) 4 試合が終わって A チームの 1 勝 3 敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定する
手順 3．点 P2 から x 軸の負の向きに c だけ移動した点を P3 とする．
手順 4．点 P3 から y 軸の負の向きに d だけ移動した点を P4 とする．
までの残り試合数の期待値を求めよ．
以下の各問に答えよ．
（茨城大学 2013 ）
(1) 点 P4 の座標を a; b; c; d を用いて表せ．
(2) 点 P4 の座標が (1; 2) である確率を求めよ．
(3) 2 つの線分 OP1 と P3 P4 が共有点をもつ確率を求めよ．
（茨城大学 2011 ）
2
水戸黄門，助さん、格さん．弥七，お銀，八兵衛の 6 人が左から右へこの順番で 1 列に並んで
4
座っている．6 人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．こ
(1) 集合 A の要素の個数を求めよ．
のとき以下となる確率を求めよ．
(2) 4 桁の数 n が 9 の倍数であるための必要十分条件は，n のすべての位の数字の和が 9 の倍数と
4 桁の自然数のうち 9 の倍数となる数の集合を A とする．次の各問いに答えよ．
なることである．これを証明せよ．
(1) 助さんと格さんが両端に座る．
(2) 水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3) 集合 A の要素のうちすべての位の数字が 1 以上 4 以下である数の個数を求めよ．
(3) 最初と同じ席に座る人がちょうど 3 人．
(4) 集合 A の要素のうちすべての位の数字が 0 以上 4 以下である数の個数を求めよ．
(4) 最初と同じ席に座る人がいない．
（茨城大学 2007 ）
（茨城大学 2011 ）
5
n を自然数とする．3 次方程式 2x3 ¡ 25x2 + (5n + 2)x ¡ 35 = 0 について，次の各問に答えよ．
(1) 方程式の 1 つの解が自然数であるとき，n の値を求めよ．
(2) (1) で求めた n に対して，方程式の解をすべて求めよ．
（茨城大学 2015 ）
6
自然数 m; n に対して，m = qn + r; 0 5 r < n となる整数 q と r をそれぞれ m を n で割っ
9
座標平面上を運動する点 P(x; y) が
たときの商と余りという．ここでは m を n で割ったときの余り r を m @ n で表すことにする．
x = sin 2t cos t;
y = sin 2t sin t;
a; b; c を自然数とするとき，次の各問に答えよ．
(1) 12 @ 3; 22 @ 3; 32 @ 3 を求め，a > 3 に対して a2 @ 3 を求めよ．
0 5 t 5 2¼
で表されるとき，P の描く曲線を C とする．
（ C は，下図のようになっている．
）
p
3
また，P が，第 2 象限 (x < 0; y > 0) に含まれ，かつ直線 y = ¡
x 上にあるときの t の値
3
を a とする．以下の各問に答えよ．
(2) (a + b) @ c = f(a @ c) + (b @ c)g @ c となることを示せ．
(3) a2 + b2 = c2 のとき a; b の少なくともひとつは 3 の倍数であることを示せ．
（茨城大学 2010 ）
(1) 点 P が第 2 象限に含まれるような t の範囲を求めよ．
(2) a を求めよ．
7
複素数平面上で，複素数 z に対応する点 P を P(z) と表す．3 点 O(0)，A(1)，B(¯) を頂点と
する三角形 OAB がある．ただし，複素数 ¯ の偏角 µ は，0 < µ < ¼ を満たすとする．また，s
と t は 4s ¡ t2 > 0 を満たす実数とする．等式
dy
Ë 0 であることを示せ．
dt
(4) a < t < 2¼ を満たす t に対して，点 P における C の接線と x 軸との交点を Q とするとき，左
(3) a < t < 2¼ を満たす t に対して，
側からの極限値
¯2 ¡ t¯ + s = 0
lim
t!2¼¡0
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．
OQ
OP
を求めよ．ただし，O は原点を，OP，OQ は 2 点間の距離を表す．
(1) 複素数 ¯ の実部と虚部をそれぞれ s と t を用いて表せ．
(2) 複素数 ¯ の絶対値と，偏角 µ に対する sin µ を，それぞれ s と t を用いて表せ．
(3) 三角形 OAB が二等辺三角形になるために s と t が満たすべき条件を求めよ．
(4) 三角形 OAB が OA = AB である二等辺三角形とする．このとき，三角形 OAB の面積が
1
4
となる s と t の値の組をすべて求めよ．
（茨城大学 2016 ）
8
®=
p
p
+
2
2i
p
のとき，以下の各問に答えよ．ただし，i は虚数単位である．
3+i
(1) ® の絶対値を r，偏角を µ とする．r と µ の値をそれぞれ求めよ．ただし，偏角 µ の範囲は
0 5 µ < 2¼ とする．
(2) ®20 を計算せよ．
(3) 複素数平面上で複素数 z の表す点 P を点 P(z) と表す．点 A(®20 )，B(®36 )，C(¯) を頂点とす
る正三角形 ABC がある．このとき，複素数 ¯ をすべて求めよ．
（茨城大学 2016 ）
（茨城大学 2009 ）
p
10 a を 15 と異なる正の実数とするとき，次の各問いに答えよ．
x2
+ y2 = 1 上の点 P での接線は，傾きが ¡1 で y 切片が正となる．このとき，点
a2
P の座標とその接線の方程式を a を用いて表せ．
(1) 楕円 C :
(2) (1) で求めた点 P から直線 y = ¡x + 4 へ垂線をひくとき，その交点 Q の座標を a を用いて
表せ．
p
(3) (1)，(2) で求めた 2 点 P; Q の距離が 2 になるように，a の値を定めよ．
（茨城大学 2007 ）

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