(3) 関数 f(x) - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えなさい．
(1) 2 次方程式 x2 + x + p = 0 の 2 解 ®; ¯ に対して ®2 ¡ ¯2 = 3 となるとき，p =
である．
(2) xy 座標平面上で，x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点という．x = 0，y = 0，
x + 2y 5 100 を同時に満たす格子点の個数は
である．
1
1
で最小値
をとるとき，(a; b) =
(3) 関数 f(x) = a(log3 x)2 + log9 bx が，x =
3
4
である．
¼
; のグラフを描きなさい．
(4) 関数 y = 2 sin #2x +
2
(5) 表と裏が等確率で出るコインを n 回投げ，表が出る回数が 0 回ならば 0 点，1 回ならば x
点，2 回以上ならば y 点とするゲームを考え，その点数の期待値を En とする．n = 2 の n
に対して，不等式 En = y が n によらずに成り立つとき，x と y の間の関係を調べなさい．
ただし，x と y は正とする．
（大阪薬科大学 2013 ）
-1-
2
次の問いに答えなさい．
実数 t に対し，一辺の長さが 1 の正三角形 OAB の辺 OA を t : (1 ¡ t) に内分する点を
P，辺 AB を 2t : (1 ¡ 2t) に内分する点を Q，辺 BO を 3t : (1 ¡ 3t) に内分する点を R と
する．ただし，P，Q，R は正三角形 OAB の辺上にあり，いずれの頂点とも一致しないも
のとする．
(1) t がとる値の範囲は
である．
¡! ¡
! ¡! ¡
!
(2) OA = a ，OB = b とする．
!
¡
! ¡
‘ a ¢ b =
である．
¡!
¡
! ¡
!
¡!
’ PQ を t; a ; b を使って表すと，PQ =
となる．
¼
“ ÎQPR =
となるのは，t =
のときである．
2
(3) 三角形 PQR の面積を S とする．S を t を使って表し，また S の最小値を求めなさい．
（大阪薬科大学 2013 ）
-2-
3
次の問いに答えなさい．
p
p
xy 座標平面上に 3 点 P(¡ 3; 0)，Q(0; 3)，R( 3; 0) がある．3 点 P，Q，R を通る放
物線を C とし，また同じ 3 点 P，Q，R を通る円を D とする．
(1) C の方程式を y = f(x) とするとき，f(x) =
(2) D は，中心の座標が
，半径が
である．
である．
(3) D の内部で y = f(x) を満たす部分の面積は
である．
(4) C の接線 ` が D の接線でもあるとき，` の方程式を求めなさい．
(5) C を y 軸方向に p だけ平行移動した曲線が D と共通点をもつとき，p は
の範囲
にある．
（大阪薬科大学 2013 ）
-3-
4
次の問いに答えなさい．
(1) 自然数 m; n に対し，命題「 m2 + n 2 が偶数ならば，m + n は偶数である」が真ならば
「真」と，偽ならば反例を
に記入しなさい．
1
1
(2) 2x = 5y = 100 のとき，
+
=
B
となる．
x
y
(3) xy 座標平面において，円 x2 + y2 = 3 と直線 x + y = 1 の 2 つの交点を結ぶ線分の長さ
は，
C
A
である．
(4) 数直線上を動く点 P が原点 O にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出
ると正方向に 1 だけ進み，裏が出ると負方向に 1 だけ進むことを繰り返す．コインを 10 回
投げるとき，P の座標が ¡6 となる確率は，
D
である．
(5) 方程式 x3 ¡ 3x2 ¡ 9x ¡ a = 0 が異なる 3 つの実数解を持つとき，定数 a が満たさなけ
ればならない条件を
あ
で求めなさい．
（大阪薬科大学 2012 ）
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5
24
次の問いに答えなさい．多項式 P(x) = (1 + x)
(1) P(x) の x2 の係数は
E
を考える．
である．
F
である．
¡ 24 C1 + 24 C2 ¡ 24 C3 + Ý + 24 C22 ¡ 24 C23 + 24 C24 =
1
(P(x) + P(¡x)) とする．このとき，Q(x) は P(x) の
(3) Q(x) =
2
f （ア）奇数次数の項からなる．（イ）偶数次数の項からなる．（ウ）奇数次数と偶
(2)
24 C0
数次数の項からなる． g
（ア），
（イ），
（ウ）の中から最も適切なものを選び，その記号を
G
に記しなさい．
(4) 方程式 x3 = 1 の 3 つの解を 1; ®; ¯ とする．
6
‘ (1 ¡ ®) =
H
である．
’ ®2 ¡ ¯ =
I
である．
12
P
k
“
い
で求めなさい．
24 C2k ¯ の値を
k=0
なお，必要ならば 312 = 531441 を使ってよい．
（大阪薬科大学 2012 ）
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6
次の問いに答えなさい．
原点を O とする xy 座標平面に，点 A(3; 4) がある．O を中心に反時計回りに
1
¼ だけ
4
回転することで，A は点 B に移る．
¡!
(1) OA と x 軸の正の向きがなす角を ® とすると，tan ® =
J
である．
¡!
(2) OB の成分は
K
である．
p ¡!
¡!
(3) OC = ¡2 2 OB となる点 C を定め，OA と OC を 2 辺とする平行四辺形 OAPC を考え
る．また，O と P を通る直線を ` とする．
‘ ` の方程式は，y =
L
である．
’ 3 点 O，A，C を通る放物線と ` で囲まれる部分の面積は，
M
である．
“ AP を (1 ¡ t) : t に内分する点を D，CD と ` の交点を E とするとき，DE : EC を
う
で求めなさい．
（大阪薬科大学 2012 ）
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7
次の問いに答えなさい．
(1) (x + y + 1)10 の展開式で，x5 y3 の係数は
である．
(2) 1 ¢ 2 + 2 ¢ 3 + 3 ¢ 4 + 4 ¢ 5 + Ý + n(n + 1) =
である．ただし，n は正の整数である．
3bc
(3) 4ABC において，sin B sin C =
が成り立つとき，A =
である．ただし，
4a2
A = ÎCAB，B = ÎABC，C = ÎBCA，また，a = BC，b = CA，c = AB である．
(4) a; b; s; t を 1 でない正の実数とし，loga s + logb t = 3，logs a + logt b = 4 が成り
立つとき，(loga s)(logb t) の値は
である．
(5) x を 0 でない実数とするとき，関数 f(x) = #x +
さい．
1 2
1
; ¡ #x +
; の最小値を調べな
x
x
（大阪薬科大学 2011 ）
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8
次の問いに答えなさい．
原点を O とする xy 座標平面上に，2 点 P(1; 2)，Q(2; 0) がある．3 点 O，P，Q を通
る 2 次関数のグラフを C，また，C の O における接線を ` とする．
(1) C の方程式は，y =
である．
(2) C と x 軸で囲まれる図形の面積は
(3) ` の方程式は，y =
である．
である．
(4) ` と線分 OP のなす角を µ とするとき，tan µ =
である．ただし，0 < µ <
¼
2
とする．
(5) C を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動して得られる曲線を C0 とする．` が C0 の
接線であるとき，a; b が満たす条件を求めなさい．
（大阪薬科大学 2011 ）
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9
次の問いに答えなさい．
1 から 6 までのどの目も同様に確からしく出るサイコロ A，B，C がある．A を振って出
た目を x，B を振って出た目を y，C を振って出た目を z とする．
(1) 積 xyz が奇数である確率は
である．
(2) (x ¡ y)(y ¡ z) = 0 となる確率は
である．
¡
!
¡
! ¡
!
(3) 空間のベクトル a = (x; y; z) に対して， a と p = (2; ¡1; 0) が垂直である確率
¡
! ¡
!
は
， a と q = (1; 2; 3) が平行である確率は
である．
(4) log3 x + log3 y + log3 z が整数となる確率を求めなさい．
（大阪薬科大学 2011 ）
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