1 散らばりを表す V と D の関係

1 散らばりを表す V と D の関係
1.1 準備
x1 ;x2 ;x3 ;ß;xn 2 R に対し，これらの散らばりを表す指標として次の 2 つを考えます。
² 分散
V=
n
1 P
(x ¡ x)2
n i=1 i
² 全 2 値間の平方距離の平均 D =
n
n
P
1 P
!xi ¡ xj 92
C
n 2 i=1 j=i+1
1.2 V について
V = x2 ¡ (x)2 を示します。(有名だけど一応)
n
1 P
(x ¡ x)2
V=
n i=1 i
n
1 P
Rx 2 ¡ 2xi x + (x)2 j
=
n i=1 i
n
n
n
1 P
1 P
1 P
(x)2
=
xi 2 ¡ 2 ¢
xi x +
n i=1
n i=1
n i=1
= x2 ¡ 2(x)2 + (x)2
= x2 ¡ (x)2
ここで，a =
n
P
i=1
xi ，A =
n
P
i=1
xi 2 とおきます。
V=
A
a2
A
a 2
¡# ; =
¡ 2
n
n
n
n
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ 1
1.3 D について
D も a; A で表すことを目指します。
n
n
P
1 P
!xi ¡ xj 92
D=
n C2 i=1 j=i+1
=
n P
n
P
1
n C2 i=1 j=1
!xi ¡ xj 92 ¢
(x1 ¡ x1 )2
(x2 ¡ x1 )2
1
S (x3 ¡ x1 )2
=
n C2
Ý
(xn ¡ x1 )2
=
=
=
=
=
1
n C2
1
n C2
1
n C2
1
2
(←
(x1 ¡ x2 )2
(x2 ¡ x2 )2
(x3 ¡ x2 )2
Ý
(xn ¡ x2 )2
P
で足すものを 2 倍に増やして 2 で割っておいた)
(x1 ¡ x3 )2
(x2 ¡ x3 )2
(x3 ¡ x3 )2
Ý
(xn ¡ x3 )2
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
(x1 ¡ xn )2
(x2 ¡ xn )2
(x3 ¡ xn )2 の和 k
1
2
Ý
(xn ¡ xn )2
Rn(x1 2 + Ý + xn 2 ) + n(x1 2 + Ý + xn 2 ) ¡ 2(x1 + Ý + xn )(x1 + Ý + xn ) j
1
2
Rn(x1 2 + Ý + xn 2 ) ¡ (x1 + Ý + xn )2 j
(nA ¡ a2 )
2
(nA ¡ a2 )
n(n ¡ 1)
A
a2
2n
$ ¡ 2<
n ¡1 n
n
1.4 V と D の関係
1; 2 より，D =
2n
V であることが分かりました。
n ¡1
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ 2
1.5 定義を変える
D は組合せ n C2 で平均をとりましたが，今度は重複順列 n 2 で考えてみます。
² 全 2 値間の平方距離の平均 D0 =
n P
n
1 P
!x ¡ xj 92
2
n i=1 j=1 i
1.6 V と D0 の関係
D0 も同様に示します。D の計算とほとんど同じです。
D0 =
n P
n
1 P
!x ¡ xj 92
n 2 i=1 j=1 i
(x1 ¡ x1 )2
(x2 ¡ x1 )2
1
= 2 S (x3 ¡ x1 )2
n
Ý
(xn ¡ x1 )2
(x1 ¡ x2 )2
(x2 ¡ x2 )2
(x3 ¡ x2 )2
Ý
(xn ¡ x2 )2
(x1 ¡ x3 )2
(x2 ¡ x3 )2
(x3 ¡ x3 )2
Ý
(xn ¡ x3 )2
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
(x1 ¡ xn )2
(x2 ¡ xn )2
(x3 ¡ xn )2 の和 k
Ý
(xn ¡ xn )2
1
Rn(x1 2 + Ý + xn 2 ) + n(x1 2 + Ý + xn 2 ) ¡ 2(x1 + Ý + xn )(x1 + Ý + xn ) j
n2
2
= 2 Rn(x1 2 + Ý + xn 2 ) ¡ (x1 + Ý + xn )2 j
n
2
= 2 (nA ¡ a2 )
n
a2
A
= 2$ ¡ 2 <
ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ 3
n
n
=
1; 3 より，D0 = 2V となりました。
1.7
2 次元への拡張
n 個の点 (x1 ; y1 ); (x2 ; y2 );(x3 ;y3 ); ß; (xn ;yn ) 2 R2 に対し，これらの散らばりを表す指標として次の 2
つ (3 つ) を考えます。
² 分散の和
V=
n
n
1 P
1 P
(x ¡ x)2 +
(y ¡ y)2
n i=1 i
n i=1 i
² 全 2 点間の平方距離の平均
n
n
P
1 P
R !xi ¡ xj 92 + !yi ¡ yj 92 j
組合せ版 D =
n C2 i=1 j=i+1
重複順列版
D0 =
これでも同様に，D =
n P
n
1 P
R !xi ¡ xj 92 + !yi ¡ yj 92 j
2
n i=1 j=1
2n
V，D0 = 2V が成り立ちます。
n ¡1

Download Report