a ，¡! (1) - SUUGAKU.JP

年番号
1
各辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える．辺 OA を 2 : 1 に内分する点を D，辺 BC を 2 : 1
6
に内分する点を E とする．このとき，線分 DE の長さを求めよ．
4ABC において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を P，辺 AC を 1 : 2 に内分する点を Q とし，辺
BC 上に点 R があるとする．
（小樽商科大学 2016 ）
2
氏名
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3 つのベクトル a ; b ; c は， a + b + c = 0 ， a = 4， b = 5， c = 7 を満た
¡
! ¡
!
す． a ¢ b の値を求めよ．
(1) 線分 PQ の中点を M とし，点 A，M，R が一直線上にあるとき，BR : RC を求めなさい．
(2) 4ABC の重心 G と 4PRQ の重心 H が一致するとき，BR : RC を求めなさい．
(3) 直線 AR，BQ，CP が一点で交わるとき，BR : RC を求めなさい．
（大分大学 2015 ）
（自治医科大学 2016 ）
7
3
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
4ABC について考える．点 P は，6AP + 3BP + 2CP = 0 を満たすものとする．4ABC の面
積を S1 ，4PBC の面積を S2 としたとき，
11S2
の値を求めよ．
S1
（自治医科大学 2015 ）
4
¡!
¡
! ¡!
¡
!
三角形 OAB において，OA = a ，OB = b とする．また，線分 OB を 2 : 3 に内分する点を
C，線分 AC の中点を P とする．さらに直線 OP と線分 AB の交点を D とおく．
¡! ¡
! ¡
!
¡!
(1) OP を a と b を用いて表すと，OP =
¡! ¡
! ¡
!
¡!
(2) OD を a と b を用いて表すと，OD =
¡
!
b である．
¡
!
テ
b である．
M
(3) 三角形 OPC の面積を M，三角形 ADP の面積を N とおくとき，
の値は
N
4ABC において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を P，辺 AC を 1 : 2 に内分する点を Q とし，辺
¡
!
a +
¡
!
ツ
a +
タ
チ
ト
である．
（北里大学 2015 ）
BC 上に点 R があるとする．
(1) 線分 PQ の中点を M とし，点 A，M，R が一直線上にあるとき，BR : RC を求めなさい．
8
(2) 4ABC の重心 G と 4PRQ の重心 H が一致するとき，BR : RC を求めなさい．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) ベクトル a ; b が， a ¢ a = 4， a ¢ b = ¡5， b ¢ b = 9 を満たすとき，
(3) 直線 AR，BQ，CP が一点で交わるとき，BR : RC を求めなさい．
次の問いに答えなさい．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
b a + a b
2
（大分大学 2015 ）
の値を求めなさい．
5
4ABC において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を P，辺 AC を 1 : 2 に内分する点を Q とし，辺
BC 上に点 R があるとする．
(2) 直線 y = kx ¡ k2 が k の値によらず放物線 y = ax2 に接するとき，a の値を求めなさい．
p
(3) 曲線 y = (1 ¡ x)2 と x 軸および y 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1) 線分 PQ の中点を M とし，点 A，M，R が一直線上にあるとき，BR : RC を求めなさい．
(2) 4ABC の重心 G と 4PRQ の重心 H が一致するとき，BR : RC を求めなさい．
(3) 直線 AR，BQ，CP が一点で交わるとき，BR : RC を求めなさい．
（大分大学 2015 ）
（龍谷大学 2015 ）
9
四面体 OABC において，辺 AB の中点を D，辺 BC を 2 : 1 に内分する点を E，4OCA の重心
¡! ¡! ¡! ¡!
を F，4DEF の重心を G とする．そのとき，OG を OA，OB，OC で表せ．
（小樽商科大学 2015 ）
10 4OAB において，辺 OA を 2 : 1 に内分する点を P，辺 OB の中点を Q，線分 PQ を 2 : 1 に
¡!
¡
!
内分する点を R とし，線分 OR の延長が辺 AB と交わる点を S とする．このとき，OA = a ，
¡! ¡
!
OB = b として，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) OR を a ; b を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(2) OS を a ; b を用いて表せ．
(3) 線分 OQ を 3 : 2 に外分する点を T とするとき，3 点 P，S，T は一直線上にあることを示せ．
（富山県立大学 2015 ）

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