Second Kind Single-Trace Boundary Integral - ETH E

DISS. ETH NO. 23620
Second Kind Single-Trace
Boundary Integral Formulations
for Scattering at Composite Objects
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
ELKE SPINDLER
MSc ETH Mathematics, ETH Zurich
born on 14.12.1988
citizen of
Domat/Ems GR, Switzerland
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Ralf Hiptmair, examiner
MCF Dr. Xavier Claeys, co-examiner
Prof. Dr. Christoph Schwab, co-examiner
2016
Zusammenfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir die Streuung von zeitharmonischen akustischen und
elektromagnetischen Wellen an Objekten bestehend aus verschiedenen isotropischen, homogenen Materialien.
Streuprobleme dieser Art findet man in vielen Ingenieurbereichen, wie zum Beispiel der
Entwicklung von lärmdämmenden Strukturen und der medizinischen Bildgebung.
Randintegralgleichungen erlauben eine geeignete mathematische Behandlung von Streuproblemen im freien Raum, da sie eine numerische Diskretisierung von unbeschränkten
Gebieten auf natürliche Weise zulassen.
Eine populäre direkte Randintegralgleichung zur Lösung solcher Streuprobleme ist gegeben durch die sogenannte klassische single-trace Formulierung erster Art, im elektromagnetischen Kontext oft auch bezeichnet als PMCHWT. Eine Galerkin-Diskretisierung
dieser Formulierung basierend auf stückweise polynominellen Randelementen niedriger
Ordnung führt für feine Gitterweiten zu schlecht konditionierten linearen Gleichungssystemen, für welche keine effektive und gleichzeitig praktikable Vorkonditionierungsstrategie bekannt ist.
Wir stellen eine weitere direkte Randintegralmethode vor. Basierend auf sogenannten
globalen Multipotentialen erhalten wir eine variationelle single-trace Randintegralgleichung zweiter Art, für welche wir ebenfalls eine Galerkin-Diskretisierung basierend auf
stückweise polynominellen Randelementen niedriger Ordnung vornehmen. Wir erhalten
ein lineares Gleichungssystem, welches eine von der Gitterweite unabhängige Konditionierung besitzt.
Im Fall von akustischer Streuung erweitern wir die Randintegralgleichung zweiter Art so,
dass die Behandlung von stückweise undurchlässigen Objekten möglich ist. Um Scheinresonanzen zu unterdrücken, verwenden wir eine direkte combined-field (CFIE) Version
unserer Methode.
Numerische Experimente bestätigen die Unabhängigkeit der Konditionierung der Galerkinmatrix im Bezug auf die Gitterweite und zeigen eine Gruppierung ihrer Eigenwerte
um Eins. Dies führt zu schneller Konvergenz iterativer Löser wie GMRES. Vergleiche
mit der Lösung der Formulierung erster Art zeigen konkurrenzfähige Genauigkeit der numerischen Lösung nach Anwendung einer geeigneten, kosteneffizienten Nachbehandlung.
v
Abstract
In this thesis we consider acoustic and electromagnetic scattering of time-harmonic waves
at objects composed of several homogeneous isotropic materials. Scattering problems
of this kind arise in various fields of engineering, such as the design of noise-blocking
structures and reconstruction in medical imaging.
Boundary integral equations provide a suitable mathematical framework to model scattering problems in free space, as they allow for a numerical treatment of unbounded
domains in a natural way.
A popular direct boundary integral equation to solve this kind of problems is the classical
first kind single-trace formulation, in the electromagnetic setting often referred to as
PMCHWT. Its Galerkin discretisation based on low-order piecewise polynomial boundary
elements leads to ill-conditioned linear systems on fine meshes for which no effective and
practical preconditioning strategy is available yet.
We provide another direct boundary integral approach based on so-called global multipotentials yielding a variational single-trace boundary integral equation of the second
kind. A Galerkin discretisation based on low-order piecewise polynomial boundary elements is performed which yields a Galerkin system with mesh size independent conditioning.
For the acoustic setting, we extend the second kind formulation in such a way that it is
able to treat scattering at objects with impenetrable parts. In order to suppress spurious
resonances, we introduce a direct combined-field (CFIE) version of our method.
Numerical tests highlight the mesh size independent conditioning of the Galerkin matrices
and the clustering of the eigenvalues around one, resulting in fast convergence of iterative
solvers like GMRES. Experiments show competitive accuracy of the numerical second
kind solution in comparison with the widely used first kind approach by applying an
inexpensive postprocessing procedure.
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