Metriktensor, Achsenabschnittsgleichung

Metriktensor, Achsenabschnittsgleichung
Metriktensor G: Basis z.B. a=4, b=5, c=7, =90 , =92,05 , =90
Dabei gilt ^ab = ^ac = ^bc =
0
1
a a
a b cos( ) a c cos( )
b b
b c cos( ) A
G = @b a cos( )
c a cos( ) c b cos( )
c c
(1)
Anmerkung: Eigentlich a a cos(0 ), aber cos(0 ) = 1 !
gleiches gilt für b b und c c
0
16
G=@ 0
1
0
25
0
1
1
0A
49
was bringt uns das ganze: Der Metriktensor ist das Skalarprodukt
der
0 1
a
T
Basis a b c mit der Transponieren Basis a b c = @ b A
c
d.H.
G = BT B
0 1
0 1
0
1
will man nun einen Vektor in der Basis beschreiben z.B X = @2A und Y = @1A so gilt die Formel
1
1
L•
ange : X 2 = X T
Berechnung:
X2
0
G X
10 1
16 0
1
1
= X T @ 0 25 0 A @2A
1 0 49
1
0
1
0 1
1 16 + 2 0 + 1 ( 1)
15
= X T @ 1 0 + 2 25 + 1 0 A = 1 2 1 @50A = 1 15 + 2 50 + 1 48 = 163
1 ( 1) + 2 0 + 1 49
48
p
p
=) jXj = 163 analoge Rechnung für jY j = 74
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Nun haben wir die Längen der Vektoren;Die Winkel zwischen zwei Vektoren lassen sich aus der oberen
Gleichung Ableiten:
XT
G X
=
=)
X 2 = jXj jXj cos ^XX
=
=
=)
X
G Y
jXj jY j
10 1
0
1 0
CB C
B C
25 0 C
A@1A
0 49
1
cos ^XY =
0
XT
B
B
@
16
0
1
(8)
T
(9)
(10)
jXj jY j
0 1
1
1 2 1 @ 25 A
49
98
p
p
=p
163
74
12062
98
^XY = arccos( p
) = 26; 83
12062
(11)
(12)
Zusammenfassung: Der Metriktensor enthält somit die Information einer gewälten Basis; Weitere
Besonderheit ist das der M.Tensor Symetrisch ist und somit auch G* der Inverse Metriktensor gleich G ist. :G*=G;
G* ist der Metriktensor einer reziproken Basis.
Die Achsenabschnittsgleichung (Millersche Indizes)
x
; 'y
Gegeben: Ein Koordinatensystem mit den Achsen [100] [010] und [001] mit den Ausstichspunktwinkeln 'x
y und 'z z :
Außerdem ein Punkt eine Fläche oder was auch immer mit den Winkeln '0 und
wert oder (abc) wert.
h
:
k : l = a cos 'a : b cos 'b : c cos 'c
'a
=
cos('x
'0 ) cos(
x
0
); 'b = cos('y
'0 ) cos(
y
0
0
und entweder ein (hkl)
); 'c = cos('z
'0 ) cos(
z
(13)
(14)
0
()15)
Aus dieser Formel lassen sich die Verhältnisse Berechnen;
Anmerkung: Beim Verhältniss a:b:c ist b als 1 gewählt (immer ?); Zudem ist es für die Bestimmung der (hkl)
werte und (abc) werte NICHT NÖTIG die Formeln für 'a 'b und 'c in irgendeneiner Weise durch Vereinfachungen
zu komplizieren BSP: cos(90
'0 ) = sin('0 ) solche Vereinfachungen sind zwar schön aber sie helfen nicht beim
Rechnen der Aufgabe und sind eher eine Fehlerquelle.
Zonenverband
Die Determinante 2er Flächen(pole) F1 und F2 ergeben eine Zone Z1
Die Determinante 2er Zonen ergibt eine Fläche F3 . Falls F3 auch in Z1 liegt so ist auch die Determinante F1
mit F3 die Zone Z1
Berechnungen (hkl)werte:
Z1
=
Det
1
2
1 3
1 2
j 1
j 1
3
2
h von Z1
=
det
k von Z1
=
det
l von Z1
=
det
=)
F1
1
= Det
F2
2
j 1
j 1
j
j
Z1 = [183]
(17)
1 j
1 j
(18)
3 j
2 j
j j
j j
(16)
1 1 3
2 1 2
1
2
j j 3
j j 2
1 3
1 2
j
j
j
= (1 2)
j
1 j j
= (3
2 j j
1
2
(3 1) =
2)
1 j
= (1 1)
1 j
(1 2) =
(1
(19)
1
2) = 3
8
(20)
(21)
(22)

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