t - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

2. Räumliche Bewegung
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
29.07.16
TM 3 1.2-1
29.07.16
2. Räumliche Bewegung
●
●
Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die
Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im
Raum zu bestimmen.
Es muss ein Ortsvektor angegeben werden.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-2
2. Räumliche Bewegung
29.07.16
2.1 Ortsvektor und Bahnkurve
2.2 Geschwindigkeitsvektor
2.3 Beschleunigungsvektor
2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung
2.5 Schiefer Wurf
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-3
29.07.16
2.1 Ortsvektor und Bahnkurve
●
Ortsvektor:
–
●
Der Ortsvektor eines Punktes P
zeigt vom Ursprung O zum
Punkt P.
Bahnkurve:
–
–
r(t 3 )
Die Bahnkurve ist die Gesamtheit aller Orte, die der Punkt im
Laufe der Zeit einnimmt.
Die Bahnkurve wird durch den
zeitabhängigen Ortsvektor r(t)
beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger
P
r(t 2 )
O
1. Kinematik des Punktes
r(t 1 )
TM 3 1.2-4
29.07.16
2.1 Ortsvektor und Bahnkurve
●
Kartesische Koordinaten:
–
Basisvektoren:
–
Ortsvektor:
e x , e y , ez
z
r t = x t e x yt  e y z t  e z
–
Komponentenform:
P
ez
[ ]
x t 
[ r t  ]= y t 
z t 
ex
O
z(t)
y
ey
x(t)
x
Prof. Dr. Wandinger
r(t)
y(t)
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-5
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
●
●
Der Geschwindigkeitsvektor beschreibt die zeitliche Änderung
des Ortsvektors.
P(t 2 )
Vektor der mittleren Geschwindigkeit:
–
Δr
P(t 1 )
r(t 2 )
Der Vektor
 r= r t 2 − r t 1 
ist die Sekante der Bahnkurve
zwischen den Orten P(t 1 ) und
P(t 2 ).
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
r(t 1 )
O
TM 3 1.2-6
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
Der Vektor
v m=
r t 2 −r t 1 
t 2 −t 1
wird als Vektor der mittleren Geschwindigkeit bezeichnet.
–
Er gibt durch seinen Betrag und seine Richtung eine mittlere geradlinige gleichförmige Ersatzbewegung zwischen den
Orten P(t 1 ) und P(t 2 ) an.
–
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt:
v m=
x t 2 −x t 1 
Prof. Dr. Wandinger
t 2 −t 1
e x
y t 2 − y t 1 
t 2−t 1
e y
1. Kinematik des Punktes
z t 2 −z t 1 
t 2 −t 1
ez
TM 3 1.2-7
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
●
Geschwindigkeitsvektor:
–
Der Grenzwert
v (t 1 )=lim
t 2 →t 1
r (t 2 )−r (t 1 )
t 2 −t 1
dr
= (t 1 )= ṙ (t 1 )
dt
definiert den Geschwindigkeitsvektor im Punkt P(t 1 ).
–
Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit.
–
Der Grenzwert der Sekante ist die Tangente. Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential zur Bahnkurve.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-8
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
29.07.16
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt:
dx
dy
dz
vt = t  e x  t  e y t  e z = ẋ t  e x  ẏt e y ż t  e z
dt
dt
dt
=v x t e x v y t  e yv z t  e z
–
In einem kartesischen Koordinatensystem wird ein Vektor
differenziert, indem seine Komponenten differenziert werden:
ẋ t 
[ vt  ]=[ ṙ t  ]= ẏt 
ż t 
[ ]
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-9
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
●
Zusammenhang mit der Bahngeschwindigkeit:
–
Der Ortsvektor kann auch als Funktion der Bogenlänge geschrieben werden:
r t = r s t 
–
Ableiten nach der Zeit unter Berücksichtigung der Kettenregel führt auf:
d r ds d r
vt = ṙ t =
=
v
ds dt ds
–
Wegen ∣Δ r∣→Δ s für Δ s →0 gilt:
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
∣ ∣
dr
∣Δ r∣
= lim
=1
ds Δ s →0 ∣Δ s ∣
TM 3 1.2-10
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
Der Vektor
dr
=e t
ds
–
∣vt ∣=∣v t  e t t ∣
folgt für die Bahngeschwindigkeit:
ist ein Einheitsvektor, der
tangential zur Bahn gerichtet ist.
–
Für den Geschwindigkeitsvektor gilt:
vt =e t t v t 
Prof. Dr. Wandinger
Aus
∣v∣=∣v e t∣=∣v∣=  v 2x v 2yv 2z
–
Für den Einheitstangentenvektor gilt:
vt 
e t t =
v t 
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-11
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
Ergebnis:
●
●
●
Der Geschwindigkeitsvektor
ist stets tangential zur Bahn
gerichtet.
v(t)
Seine Richtung stimmt mit
dem Durchlaufsinn der Bahn
überein.
Sein Betrag ist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
P
r(t)
O
TM 3 1.2-12
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
●
Beispiel: Archimedische Spirale
–
Ortsvektor:
[ r t  ]=v 0 t
–
[
cos  t 
sin  t 
]
Geschwindigkeitsvektor:
[
]
[
[ vt  =v 0 cos  t  v0  t −sin  t 
–
sin  t 
cos  t 
]
Bahngeschwindigkeit:
v t =v 0   cos  t − t sin  t     sin  t  t cos  t 
2
2
=v 0  1 t
2 2
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-13
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
Einheitstangentenvektor:
[
1
1
cos  t − t sin  t 
e
t

=
vt

=
[ t ] v t  [ ]
 12 t 2 sin  t  t cos  t 
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
]
TM 3 1.2-14
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
●
Addition von Geschwindigkeiten:
–
Da die Geschwindigkeit wie die Kraft ein Vektor ist, kann sie
in Komponenten zerlegt und aus Komponenten zusammengesetzt werden.
–
Die resultierende Geschwindigkeit kann analog zur resultierenden Kraft aus dem Geschwindigkeitsplan bestimmt werden:
v = v1 + v2
v2
v
v1
v2
v
v
v1
Prof. Dr. Wandinger
v2
v1
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-15
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
●
Beispiel: Kursdreieck
–
Ein Flugzeug soll über Grund einen Kurs von 70° fliegen.
–
Die Geschwindigkeit vF des Flugzeugs gegenüber der Luft
ist 200 km/h.
–
Der Wind weht mit einer Geschwindigkeit vW von 40 km/h
aus Süd-Ost.
–
Welchen angezeigten Kurs α muss der Pilot fliegen, und
welchen Wert hat die Geschwindigkeit vG über Grund?
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-16
29.07.16
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
Gegeben:
●
●
–
Winkel über Grund:
γ = 70°
Windwinkel:
A
β = 135°
Winkel im Dreieck
ABC:
N
β
α
vF
C
γ
vW
vG
B
∢CAB=β−α
∢ ACB=−
∢ ABC =180 °−−−−=180 °−=115 °
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-17
2.2 Geschwindigkeitsvektor
–
Angezeigter Kurs:
sin ∢ ACB  sin ∢ ABC 
=
vw
vF
vW
sin (α−γ)= sin (∢ ABC )
vF
40
sin (α−70 ° )=
sin (115°)
200
=0,1813
→ α=70 °+10,44 °=80,44 °
Prof. Dr. Wandinger
–
29.07.16
Geschwindigkeit über
Grund:
vG
vF
=
sin (∢CAB ) sin (∢ ABC )
→ vG =v F
sin (β−α)
sin (β− γ)
km sin (135°−80,44 °)
vG =200
⋅
h
sin (115° )
km
=200
⋅0,8989
h
=179,8 km/ h
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-18
29.07.16
2.3 Beschleunigungsvektor
●
●
●
Der Beschleunigungsvektor beschreibt die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors.
Dabei kann sich sowohl der Betrag als auch die Richtung
der Geschwindigkeit ändern.
Δv
Der Beschleunigungsvektor ist
definiert durch
v(t+Δt )
v(t+Δt )
Δv
a(t )= lim
= v̇(t )= r̈(t )
Δ t →0 Δ t
v(t)
r(t+Δt )
O
Prof. Dr. Wandinger
v(t)
1. Kinematik des Punktes
P
r(t )
TM 3 1.2-19
29.07.16
2.3 Beschleunigungsvektor
–
Der Beschleunigungsvektor ist die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit oder die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit.
–
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt:
at = v̇ x t  e x  v̇ y t  e y v̇ z t  e z = ẍ t  e x  ÿ t  e y z̈ t  e z
=a x t  e xa y t  e y a z t  e z
–
Für den Betrag des Beschleunigungsvektors gilt:
∣a∣=  a2x a2y a2z
–
Der Betrag des Beschleunigungsvektors stimmt in der Regel nicht mit der Bahnbeschleunigung überein.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-20
29.07.16
2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung
●
Aus v t =vt  e t t  folgt nach der Produktregel:
d e t t 
dv
at = t  e t t vt 
= a t t  a n t 
dt
dt
●
Bahnbeschleunigung:
–
Die Komponente a t = v̇ e t ist die Bahnbeschleunigung.
–
Ihre Richtung ist tangential zur Bahn.
–
Ihr Betrag gibt die zeitliche Änderung der Bahngeschwindigkeit an.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-21
29.07.16
2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung
●
Normalbeschleunigung:
–
2
Aus 1=∣e t∣ =e t⋅e t folgt durch Ableiten nach der Zeit:
d et
d et
d et
d et
d
0= ( e t⋅e t )=
⋅e t +e t⋅ =2
⋅e t →
⊥ et
dt
dt
dt
dt
dt
–
Die Beschleunigungskomponente a n=v ė t ist senkrecht
zur Tangente der Bahn. Sie wird als Normalbeschleunigung
bezeichnet.
–
Die Normalbeschleunigung gibt die zeitliche Änderung der
Richtung des Geschwindigkeitsvektors an.
–
Berechnung:
Prof. Dr. Wandinger
at
a n = a−a t =a− v̇ e t = a− v
v
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-22
29.07.16
2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung
●
Beispiel: Archimedische Spirale
–
–
[
Geschwindigkeitsvektor: [ vt  =v 0 cos  t − t sin  t 
sin  t  t cos  t 
Beschleunigungsvektor:
[
− sin  t − sin  t − 2 t cos  t 
[ at  ] =v 0
 cos  t  cos  t −2 t sin  t 
[
−2 sin  t − t cos  t 
=v 0 
2 cos  t − t sin  t 
–
]
]
]
Betrag des Beschleunigungsvektors:
∣at ∣=v 0    2 sin  t  t cos  t    2 cos  t − t sin  t 
2
2
=v 0   4 t
2 2
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-23
29.07.16
2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung
–
Bahngeschwindigkeit:
v t =v 0  12 t 2
2
2
–
Bahnbeschleunigung:
–
Normalbeschleunigung:
at
ω2 t
=
→
2 2
v 1+ω t
a t t =v 0
2 t
2  1 t
2 2
[
2 2
1
t

]
−2 sin (ω t )−ω t cos (ω t )
[ a n (t )] =v 0 ω 2 cos (ω t )−ω t sin (ω t )
v 0 ω 2 t cos (ω t )−ω t sin (ω t )
−
1+ω 2 t 2 sin (ω t )+ω t cos (ω t )
[
Prof. Dr. Wandinger
=
v0  t
1. Kinematik des Punktes
]
TM 3 1.2-24
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
●
Aufgabenstellung:
–
–
●
Gesucht ist die Bahn eines Punkts, dessen Beschleunigungsvektor mit
dem konstanten Vektor
der Erdbeschleunigung
übereinstimmt.
Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit sind bekannt.
Prof. Dr. Wandinger
Koordinatensystem:
–
Der Ursprung liegt im Anfangspunkt.
–
Die Achsen werden so
gewählt, dass der Vektor
der Anfangsgeschwindigkeit und der Beschleunigungsvektor in der xzEbene liegen.
–
Die z-Achse zeigt nach
oben.
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-25
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
●
Bahnkurve:
–
Die Bahn verläuft in der xz-Ebene.
–
Anfangsbedingungen:
z
x 0=0, z 0=0
v x 0=v 0 x =v 0 cos 
v0
v0z
α
a
v0x
x
v z x =v 0 z =v0 sin 
–
Beschleunigungsvektor:
a x =0 , a z =−g
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-26
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
–
In x-Richtung führt der Punkt eine gleichförmige Bewegung
aus:
a x =0 → v x (t )=v 0 x , x (t )=v 0 x t
–
In z-Richtung führt der Punkt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus:
1
a z =−g → v z (t )=v 0 z −g t , z (t )=v 0 z t − g t 2
2
–
Damit lautet die Parameterdarstellung der Bahnkurve:
1 2
x (t )=v 0 cos (α)t , z (t )=v 0 sin (α)t − g t
2
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-27
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
–
Die vektorielle Darstellung der Bahnkurve ist:
[ ] [
]
[]
1 2 0
x t 
cos 
=v 0
t− g t
[ r t  ]=
2
z t 
sin 
1
1 2
r t =v 0 t − g t e z
2
–
Bahngleichung z(x):
●
Aus der Gleichung für x(t) folgt:
●
Einsetzen in z(t) ergibt:
t  x =

x
v0 cos 
 
x
1
x
z  x =z t  x =v 0 sin 
− g
v 0 cos  2 v 0 cos 
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
2

TM 3 1.2-28
2.5 Schiefer Wurf
●
29.07.16
Daraus folgt die Gleichung für die Wurfparabel:
g
2
z  x =tan  x− 2
x
2
2 v 0 cos 
●
Alle Bahnen mit konstantem Beschleunigungsvektor sind Parabeln. Wenn der Beschleunigungsvektor parallel zum Vektor
der Anfangsgeschwindigkeit ist, degeneriert die Parabel zu
einer Geraden.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-29
2.5 Schiefer Wurf
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
29.07.16
TM 3 1.2-30
2.5 Schiefer Wurf
●
29.07.16
Bahnparameter:
H: Wurfhöhe, xW : Wurfweite, φ: Bahnwinkel
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-31
2.5 Schiefer Wurf
–
29.07.16
Bahnwinkel:
dz v z dt v z v 0 sin (α)−g t
tan (ϕ)= =
= =
dx v x dt v x
v 0 cos (α)
gt
→ tan (ϕ)=tan (α)−
v 0 cos (α)
–
Steigzeit und Wurfhöhe:
●
Im Scheitelpunkt ist die Vertikalgeschwindigkeit null. Damit
berechnet sich die Steigzeit tH zu
0=v0 z −g t H =v0 sin (α)−g t H
Prof. Dr. Wandinger
v0
→ t H = sin (α)
g
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-32
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
●
Für die Wurfhöhe folgt:
2
2
v0
v0
1 v0
H =z(t H )=v0 sin (α)
sin (α) − g
sin (α) = sin 2 (α)
g
2 g
2g
(
●
) (
)
Die zugehörige x-Koordinate ist:


2
2
v0
v0
v0
x H =x t H =v 0 cos 
sin  = sin cos =
sin 2 
g
g
2g
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-33
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
–
Wurfweite und Wurfzeit:
●
In der Ebene gilt für die Wurfweite xW :
g
2
0=z  x W =tan  x W − 2
x
W
2
2 v0 cos 
g
=x w tan − 2
xW
2
2 v 0 cos 

●

Diese Gleichung hat die Lösungen xW = 0 und
2
2
2
2
2 v 0 cos 
v0
v0
x W =tan 
=2 sin cos = sin 2 =2 x H
g
g
g
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-34
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
●
Die Wurfzeit tW berechnet sich aus

●
●
1 2
1
0=z t W =v 0 sin  t W − g t W =t W v0 sin − g t W
2
2
v0
zu t W =2 sin =2 t H .
g
v20
Größtmögliche Wurfweite: x Wmax=
für =45 °
g
Wegen

sin 2 =sin 180 °−2 =sin  2 90 °− 
ergeben sich für α1 und α2 = 90° - α1 die gleichen Wurfweiten.
●
Der Wurf mit dem kleineren Winkel wird als Flachwurf und der
mit dem größeren Winkel als Steilwurf bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-35
2.5 Schiefer Wurf
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
29.07.16
TM 3 1.2-36
2.5 Schiefer Wurf
●
29.07.16
Zusammenstellung der Formeln:
Höhe
Weite
t
v0
t H = sin 
g
v0
t W =2 sin 
g
x
v 20
x H=
sin 2 
2g
v 20
x W = sin 2 
g
z
v 20
2
H=
sin (α)
2g
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-37
29.07.16
2.5 Schiefer Wurf
●
Wurf mit Luftwiderstand:
–
Der Wurf mit Luftwiderstand wird als ballistischer Wurf bezeichnet.
–
Der ballistische Wurf wird durch nichtlineare Differenzialgleichungen beschrieben, die nur numerisch gelöst werden
können.
–
Die Wurfweite ist beim Flachwurf größer als beim Steilwurf.
–
Die größte Wurfweite wird bei einem Winkel erreicht, der
etwas kleiner als 45° ist.
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-38
2.5 Schiefer Wurf
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
29.07.16
TM 3 1.2-39
2.5 Schiefer Wurf
–
29.07.16
Wurfweite beim ballistischen Wurf:
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
TM 3 1.2-40
2.5 Schiefer Wurf
Prof. Dr. Wandinger
1. Kinematik des Punktes
29.07.16
TM 3 1.2-41

Download Report