Vorlesungsskript Hydraulik II
3-1
3 Druckstossgleichungen
3.1 Allgemeine Druckstossgleichungen
3.1.1
Herleitung der allg. Druckstossgleichungen
Bei der allgemeinen Druckstossgleichung gehen wir von der Bewegungsgleichung (1-56) aus. Der
λv 2
λv 2
.
Reibungsterm wird umgeschrieben zu: g ⋅ I R = g ⋅
=
4 Rhy 2 g 2 D
λ vv
∂v 1 ∂p
∂v
− g sin α +
=0
+v +
2D
∂x ρ ∂x
∂t
(3-1)
v: querschnittsgemittelte Geschwindigkeit parallel zur Rohrachse, D: Durchmesser
Beachte: |v|v erhält gegenüber v2 das Vorzeichen!
Die Kontinuitätsgleichung ist wie in Gleichung (1-60) definiert:
∂ρ
∂ρ
∂v ρ ∂A
∂A
+v
+ ρ + ( +v ) =0
∂t
∂x
∂x A ∂t
∂x
(3-2)
Da sowohl die Dichte als auch die Querschnittsfläche nur Funktionen des Drucks sind, kann
Gleichung (3-2) umformuliert werden zu:
∂v ρ dA ∂p ρ dA ∂p
dρ ∂p
dρ ∂p
+ v
=0
+
+ρ
+v
∂x A dp ∂t A dp ∂x
dp ∂x
dp ∂t
(3- 3)
Zusammenfassen der einzelnen Terme und dividieren durch ρ führt zu:
1 ⎛ dA
∂p ⎞ ∂v
dρ ⎞ ⎛ ∂p
=0
+ A ⎟⎟ ⋅ ⎜ + v ⎟ +
⎜⎜ ρ
∂x ⎠ ∂x
dp ⎠ ⎝ ∂t
Aρ ⎝ dp
(3-4)
Die Ableitungen nach dem Druck können weiter umgeformt werden. Dazu werden die folgenden
Gleichungen und Zusammenhänge benötigt:
A = A(D ) : A =
πD 2
4
∴
dA πD
=
dD
2
Die Kompressibilität des Rohrs (bei Vernachlässigung der Querdehnung):
1
E Rohr
=
dD
D
dσ
wobei σ die Normalspannung im Rohr in tangentialer Richtung ist,
(3-5)
3-2
Vorlesungsskript Hydraulik II
Die Kesselformel (mit Wandstärke e des Rohres):
p=
2σ ⋅ e
D
∴ dp = dσ
(3-6)
2e
D
(3-7)
1 dA 1 dA dD
4 πD dD
=
=
A dp A dD dp πD 2 2 2dσ e
=
D
1
E Rohr e / D
(3-8)
dρ
ρ
1
Die Kompressibilität des Wassers:
=
EW
dp
De
1 ⎛ dA
dρ ⎞ 1 dA 1 dρ
1
1
⎜⎜ ρ
+
=
+
=
+ A ⎟⎟ =
dp ⎠ A dp ρ dp E Rohr E w E '
Aρ ⎝ dp
∴
(3-9)
Dabei ist E’ der effektive E-Modul des kombinierten Systems Rohr-Fluid.
Die Kontinuitätsgleichung lässt sich nach Umformung letztlich wie folgt schreiben:
1
1
∂p ⎞ ∂ v
1 ⎛ ∂p
= 2 , d.h. c =
= 0 , mit
⎜ +v ⎟+
E ' ρc
∂x ⎠ ∂x
E ' ⎝ ∂t
E'
(3-10)
ρ
Die Gleichungen (3.1) und (3.10) stellen die Druckstossgleichungen dar. Sie werden of auch in
einer anderen Form geschrieben, die dann auf die Charakteristiken und eine alternative
Lösungsmethode führt.
Durch Linearkombinationen der beiden Gleichungen (3-1) und (3-10) in der Form (ρ(3-1)+ ργc2(310)) folgt:
ρ ⎜ (v + γc 2 )
⎛
⎝
Mit γ = ±
ρ
ρλ v v
⎛⎛ 1
⎞ ∂p ∂p ⎞
∂v ∂v ⎞
=0
+ ⎟⎟ − ρg sin α +
+ ⎟ + γ ⎜⎜ ⎜⎜ + v ⎟⎟
2D
∂x ∂t ⎠
⎠ ∂x ∂t ⎠
⎝⎝ γ
(3-11)
1
werden aus (3-11) zwei spezielle Linearkombinationen ausgewählt:
c
ρλ v v
1
dv 1 dp
+
− ρg sin α +
= 0 , mit γ =
c
2D
dt c dt
Für Gleichung (3-12) gilt:
dx
=v+c
dt
(c+-Charakteristik)
(3-12)
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ρ
ρλ v v
1
dv ⎛ 1 dp ⎞
+⎜−
= 0 , mit γ = −
⎟ − ρg sin α +
dt ⎝ c dt ⎠
2D
c
Für Gleichung (3-13) gilt:
3-3
(3-13)
dx
= v − c (c--Charakteristik)
dt
3.2 Linearisierte Druckstossgleichungen
3.2.1
Herleitung der linearisierten Druckstossgleichungen
Für die linearisierten Druckstossgleichungen gehen wir von folgenden Vereinfachungen aus:
• Keine Reibung (IR = 0). Die Bewegungsgleichung ist also verlustfrei.
• Vernachlässigung der konvektiven Beschleunigung.
• Ebenes Rohr (sin α = 0)
Die Bewegungsgleichung (3-1) lässt sich durch diese Vereinfachungen folgendermassen schreiben:
∂v 1 ∂p
+
=0
∂t ρ ∂x
(3-14)
Die Geschwindigkeit v entspricht der querschnittsgemittelten Geschwindigkeit parallel zur
Rohrachse um.
Die Kontinuitätsgleichung (1-60) wird durch die obigen Vereinfachungen zu:
1 ∂p ∂v
+
=0
E ' ∂t ∂x
Der Term v
(3-15)
∂p
entfällt infolge der Linearisierung.
∂x
Die Gleichungen (3-14)und (3-15) werden als linearisierte Druckstossgleichungen bezeichnet.
Wird Gleichung (3-14) partiell nach x und Gleichung (3-15) partiell nach t abgeleitet und die neue
Gleichung (3-15)* von der neuen Gleichung (3-14) * subtrahiert, so erhält man die
Wellengleichung:
(3-14)*- (3-15)* liefert
∂2 p
−
∂t 2
E'
ρ
{
⋅
∂2 p
=0
∂x 2
(3-16)
2
c
Wellenausbreitungs −
geschw.
Die Lösungen dieser Gleichung sind vom Typ f(x-ct) oder F(x+ct).
3.2.2
Allgemeine Lösung
Die allgemeine Lösung der linearisierten Druckstossgleichungen hat die Form:
p = p0 + F(x + ct) + f(x – ct)
(3-17)
3-4
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v = v0 −
1
(F (x + ct ) − f (x − ct ))
ρc
(3-18)
F(x+ct) entspricht einer in x-Richtung zurücklaufenden Welle, f(x-ct) einer in positiver x-Richtung
vorwärtslaufenden Welle.
3.2.3
Joukowski-Stoss
Man spricht vom Joukowski-Stoss, falls an einem Schieber zum Zeitpunkt t=0 die Fluidsäule
schlagartig abgebremst wird. Im Oberstrom ist nur die zurücklaufende Welle (vom Typ F(x+ct)) zu
finden. Die Geschwindigkeit v am Schieber ist gleich Null. Der maximale Druckstoss ∆p, tritt auch
ein, wenn die Schliesszeit ts kleiner als die Rohrperiode 2L/c ist.
Die Lösungen der Druckstossgleichungen (3-17) und (3-18) vereinfachen sich zu:
∆p = p – p0 = F(x +ct)
− v0 = −
1
F ( x + ct )
ρc
(3-19)
(3-20)
Aus den Gleichungen (3-19) und (3-20) folgt:
∆p = ρcv0
(3-21)
Beispiel für den Joukowski-Stoss
• EW = 2000 MN/m2
• ERohr = 200’000 MN/m2
• L = 100 m
• d=1m
• e = 0.02 m
• Q0 = 1 m3/s
Bestimme ∆p und c!
3.3 Numerische Lösung mit Differenzenmethode
Die numerische Lösung erfordert eine Diskretisierung in Raum und Zeit. Sei ∆x der Ortsschritt und
∆t der Zeitschritt. In Bewegungsgleichung und Kontinuitätsgleichung werden die Ableitungen
durch Differenzenquotienten ersetzt. Im folgenden wird die einfachste Differenzenmethode
beschrieben, das explizite Verfahren. Ausserdem wird ein horizontales Rohr angenommen und es
werden der Übersichtlichkeit halber die Reibungsverluste vernachlässigt. Das Rohr wird in N
Abschnitte der Länge ∆x=L/N eingeteilt. Damit existieren N+1 Knoten längs des Rohres.
Man erhält mit einem oberen Index j für die Zeit und einem unteren Index i für den Ort
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∂v vij +1 − vij
=
∆t
∂t
∂p pij +1 − pij
=
∂t
∆t
∂v vij − vij−1
=
∂x
∆x
∂v vij − vij−1
=
∂x
∆x
3-5
Hier wurde bereits eine Näherung gemacht, indem für die Differenzenbildung im Ort die Werte zur
alten Zeit j verwendet wurden.
Einsetzen dieser Ausdrücke in (3.1) und (3.10) liefert für die Knoten j=2 bis N.
vij +1 − vij
vj −vj
1 p j − pi j
+ vij i +1 i + j i +1
=0
∆t
∆x
∆x
ρi
p j − pij−1 ⎞ vij − vij−1
1 ⎛ pij +1 − pij
⎜⎜
⎟+
+ vi j i
=0
∆t
∆x ⎟⎠
E' ⎝
∆x
Dies liefert 2(N-1) Gleichungen für die Unbekannten pij +1 , vij +1 (i=2,...,N). Die übrigen 4
Gleichungen erhält man aus Randbedingungen (in der Druckstossanwendung Druck am Behälter
für i=1 und v=0 für i=N+1) und je eine Gleichung aus dem obigen Gleichungspaar, die erste
Gleichung für i=1 und die zweite Gleichung für i=N+1.
Die Lösung ist wegen des gewählten expliziten Schemas trivial. Sie verlangt allerdings wegen des
expliziten Schemas einen sehr kleinen Zeitschritt. Die Druckfront wird durch numerische Diffusion
stark aufgeweitet. Das Ergebnis ist ungenau. Aus diesem Grund wenden wir uns der
Charakteristikenmethode zu.
3.4 Numerische Lösung mit Charakteristikenmethode
Die numerische Lösung der Differentialgleichungen des Druckstosses erfordert wieder die Diskretisierung des Rohres, allerdings in einer Weise, die auf der Ausbreitung der Druckwellen basiert.
Eine Grösse an der Stelle xi zum Zeitpunkt t+∆t wird durch zwei Beiträge berechnet, den Beitrag
der an der Stelle xi+1 zur Zeit t startete und durch die Rückwärtscharakteristik übertragen wird, und
jenem der von xi-1 durch die Vorwärtscharakteristik übertragen wird. (Abb. 3-1)
3-6
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Abb. 3-1: Charakteristikenmethode
Im Folgenden wird angenommen, dass: c >> v, α = 0
dx
= ±c
Die Charakteristiken sind dann:
dt
Die zu modellierende Strecke wird in N gleiche Teilstrecken ∆x aufgeteilt. Die Knoten werden von
1 bis (N+1) durchnumeriert.
L
Bei der Diskretisierung gilt: ∆x= c∆t, ∆x =
N
Die vollständigen Ableitungen der Geschwindigkeit nach der Zeit lassen sich diskretisiert schreiben
als:
Für die Vorwärtscharakteristik:
dv ∂v ∂v ∂x ∂v ∂v
=
+
=
+ c
dt ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x
(3-22)
∂v vij +1 − vij
=
∂t
∆t
(3-23)
∂v vij − vij−1 vij − vij−1
=
=
c∆t
∆x
∂x
(3-24)
dv vij +1 − vij + vij − vij−1 vij +1 − vij−1
=
=
dt
∆t
∆t
(3-25)
Vorlesungsskript Hydraulik II
3-7
Für die Rückwärtscharakteristik:
dv ∂v ∂v ∂x ∂v ∂v
=
+
=
− c
dt ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x
(3-26)
∂v vij +1 − vij
=
∂t
∆t
(3-27)
∂v vij − vij+1 − vij + vij+1
=
=
∂x
∆x
c∆t
(3-28)
(
)
vij +1 − vij+1
dv vij +1 − vij − − vij + vij+1
=
=
dt
∆t
∆t
(3-29)
Entsprechende Ausdrücke lassen sich für die Ableitungen des Drucks schreiben.
Damit lauten die Druckstossgleichungen in Differenzenform für die Knoten 2 bis N:
j
j
vij +1 − vij−1 1 ⎛ pij +1 − pij−1 ⎞ λ vi −1 vi −1
⎜
⎟⎟ +
+
=0
∆t
∆t
2D
ρc ⎜⎝
⎠
(3-30)
j
j
vij +1 − vij+1 1 ⎛ pij +1 − pij+1 ⎞ λ vi +1 vi +1
⎟⎟ +
− ⎜⎜
=0
∆t
∆t
2D
ρc ⎝
⎠
(3-31)
Die Linearisierung des Reibungsterms erfolgt durch Verwendung des Geschwindigkeitsausdrucks
zum alten Zeitpunkt, um Terme mit der Unbekannten v ij +1 in der zweiten Potenz zu vermeiden.
3.5 Anfangs- und Randbedingungen
Zum Lösen müssen noch Anfangs- und Randbedingungen spezifiziert werden.
Bei den diskretisierten Gleichungen (3-30) und (3-31) gilt Gleichung (3-30) auch für i=N+1 und
Gleichung (3-31) für i=1. Dies liefert zwei Gleichungen, die die Grössen p und v an den
Randknoten miteinander verknüpfen. Zusammen mit den zwei Randbedingungen und den
Anfangswerten für Druck und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt j=0 ist die Integration in der Zeit
möglich. Vom Zeitniveau j=0 führen die Gleichungen (3-30) und (3-31) zusammen mit den
Randbedingungen zum Zeitniveau j=1. Dieses wird dann Startniveau für den nächsten Zeitschritt,
u.s.w.
Randbedingungen können folgendermassen angegeben werden:
3.5.1
•
•
Arten von Randbedingungen
p(Rand) vorgegeben (auch zeitvariabel p(t))
v(Rand) vorgegeben (auch zeitvariabel v(t))
3-8
•
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Funktionaler Zusamenhang v(p) oder p(v) auf Rand vorgegeben.
Beispiel
Ebene Leitung (siehe Abb. 3-2)
Abb. 3-2: Ebene Leitung
Behälter: p = const (oder vorgegebene Zeitfunktion)
v2
Ventil: Druckverlust als Funktion von Geschwindigkeit: stationär ∆p = ζ
2g
Statt ζ kann Verlust ∆p0 bei Durchflussgeschwindigkeit v0 gegeben sein. Dann gilt
2
⎛v⎞
∆p = ∆po ⎜⎜ ⎟⎟ bei voller Öffnung.
⎝ vo ⎠
Pumpe: Bei einer Pumpe ist ebenfalls p als Funktion von v gegeben
Kennlinie: ∆p = c1 + c2v + c2v2
Schliessgesetz (mit dem Schliessungsgrad τ)
3.5.2
Der Schliessungsgrad τ ist abhängig von der Ventilstellung, wobei die Ventilstellung ihrerseits
beim Schliessvorgang eine Funktion der Zeit τ = f(t), mit 0 ≤ τ ≤ 1 ist (vgl. Abb. 3-3):
Abb. 3-3: Schliessungsgrad
Der Schliessungsgrad τ kann durch Vergleich mit den Strömungsbedingungen bei voller Öffnung
(v0, ∆p0) formuliert werden:
τ=
v
vo
∆p o
∆p
(3-32)
3-9
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3.5.3
Säulenabriss
Falls der Druck p kleiner als der Dampfdruck des Fluids ist, kommt es zur Bildung einer
Dampfblase. Der negative Druckstoss wird dadurch gemindert.
3.5.4
Beispiele für Randbedingungen
Für den Knoten 1: Behälter
h1 = konst. bzw. p1 = konst.
Bemerkung: h1 kann fest vorgegeben sein, es kann auch indirekt gegeben sein durch den
Anfangsdurchfluss. Dann muss es aus der Anfangsbedingung (z.B. stationärer Zustand bei
geöffnetem Ventil) berechnet werden.
h1 = hB 2 + ∑ ∆hVerluste
oder p1 = p B 2 + ρg ∑ ∆hVerluste
Zu den Verlusten gehören die kontinuierlichen Verluste und die lokalen Verluste am Ventil und
Auslauf.
Aus der Rückwärtscharakteristik folgt für i=1 mit p1j = p1 ∀j :
j +1
1
v
λ v2j v2j
1
j +1
j
=v −
p − p2 −
⋅ ∆t
2D
ρc 1
(
j
2
)
Für Zeiten vor Beginn des Schliessvorgangs folgt der Randwert aus der stationären Betrachtung:
h1 kann aus hB2, ∆pventil und IR berechnet werden:
1
∆p
+ LI R
ρg ventil
h1 = hB 2 +
(3-33)
oder:
p1 = p B 2 + ∆pventil + ρgLI R
(3-34)
instationär:
Für den Knoten N+1: Ventil
Falls t < tschliess:
τ = 1−
t
t schliess
bei linearem Schliessgesetz
(3-35)
3-10
p
j +1
N +1
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= pB2 +
v Nj ++11 v Nj ++11
2g
∆p ⋅ 2 g
ξ , mit ξ = 02 2
τ v0
(3-36)
Aus Vorwärtscharakteristik:
(
)
p Nj ++11 = p Nj − ρc v Nj ++11 − v Nj −
ρcλ∆t
2D
v Nj v Nj
(3-37)
Einsetzen von p Nj ++11 und lösen der quadratischen Gleichung in v Nj ++11 liefert:
v Nj ++11 = −
τ 2 v 02 ρc
2
⎛ τ 2 v 02 ρc ⎞
τ 2 v 02 ⎛
λ j j ⎞
j
j
⎟ −
v N v N ∆t ⎟
+ ⎜⎜
⎜ p B 2 − v N − ρcp N −
⎟
∆p 0 ⋅ 2
2D
∆p 0 ⎝
⎠
⎝ ∆p 0 ⋅ 2 ⎠
(3-38)
Falls t > tschliess:
v Nj ++11 = 0
(3-39)
⎛
λ j j ⎞
1 j
p Nj ++11 = ρc⎜⎜ v Nj +
pN −
v N v N ∆t ⎟⎟
ρc
2D
⎝
⎠
Damit stehen 2N + 2 Gleichungen für die Unbekannten vi j +1 , pij +1 an (N+1) Knoten zur Verfügung.
Als Anfangsbedingungen müssen vi0 , pi0 gegeben sein (z.B. stationärer Zustand)
Siehe Programm Listing: DRUCKSTOSS (ohne Reibung), ergänze Reibungsterme
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