Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog
M. Sc. Peter Rupp
SoSe 2016
20.06.2016
Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik
9. Übungsblatt
Abgabe bis Montag, 27.06.2016, 12.30 Uhr
Aufgabe 1:
(a) Berechnen Sie
Z
(x2 + y 2 ) d(x, y)
M
wobei M zu vorgegebenen positiven Zahlen r, R und a mit r < R definiert ist durch
(i) M := {(x, y) ∈ R2 : r2 ≤ x2 + y 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0}
(ii) M := {(x, y) ∈ R2 : r2 ≤ x2 + y 2 ≤ R2 , y ≥ ax}.
p
R
M := {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 + y 2 ∈ [r, R], |y| ≤ x}
(b) Berechnen Sie M xy d(x, y),
Lösungsvorschlag:
(a) Nach Transformation in Polarkoordinaten erhält man:
(i)
Z
2
R
Z
2
Z
π/2
(x + y ) d(x, y) =
r
M
s2 · s dφds =
0
π 4
(R − r4 )
8
(ii)
Z
2
2
Z
R
Z
π+arctan(a)
(x + y ) d(x, y) =
M
r
s2 · s dφds =
arctan(a)
π 4
(R − r4 )
4
(b) Wieder mit Polarkoordinaten erhält man
Z
Z R Z π/4
y
s · sin(φ)
d(x, y) =
s dφ ds
M x
r
−π/4 s · cos(φ)
Z R Z π/4
1
=
s
tan(φ) dφ ds = (R2 − r2 ) · 0 = 0
2
r
−π/4
Aufgabe 2 (K):
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers B definiert durch
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ f (x)2 }
für die folgenden Funktionen f und n ∈ N:
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20.06.2016
— bitte wenden —
(a) f (x) = xn (1 − x) (x ∈ [0, 1])
(b) f (x) = ex − 1 − x (x ∈ [0, 1])
(c) f (x) = | sin(nx)| (x ∈ [−π, π])
√
(d) f (x) = |x| 1 − x2 (x ∈ [0, 1]).
Lösungsvorschlag:
Wir verwenden die Formel aus der Vorlesung. Für den Rotationskörper B gilt: |B| =
Rb
π a (f (x))2 dx. Damit erhalten wir:
(a)
Z
1
n
Z
1
Z
1
(x2n − 2x2n+1 + x2n+2 ) dx
0
0
1
2
1
π
=π
−
+
=
2n + 1 2n + 2 2n + 3
(2n + 1)(n + 1)(2n + 3)
|B| =π
2
(x (1 − x)) dx = π
(b)
1
Z
x
2
(e2x − 2ex (1 + x) + (1 + x)2 ) dx
(e − 1 − x) dx = π
|B| =π
0
0
1
1
=π e2x − 2xex + (1 + x)3
2
3
π 2
= (3e − 12e + 11)
6
1
0
(c)
Z
π
Z
2
π
2π
sin(nx) dx =
n
2
| sin(nx)| dx = 2π
nπ 0
2π z − sin(z) cos(z)
=
= π2
n
2
0
|B| =π
−π
Z
nπ
sin(z)2 dz
0
(d)
Z
1
2 1/2 2
(|x|(1 − x )
|B| = π
Z
) dx = π
0
1
x2 (1 − x2 ) dx =
0
2π
15
Aufgabe 3:
Seien f, g ∈ C[a, b] mit 0 ≤ f (x) < g(x) (x ∈ [a, b]). Sei
B := {(x, y) ∈ R2 : f (x) ≤ y ≤ g(x)}.
Ferner sei der Flächenschwerpunkt (x0 , y0 ) ∈ R2 von B definiert durch
Z
Z
1
1
x0 =
x d(x, y),
y0 =
y d(x, y).
|B| B
|B| B
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— bitte wenden —
Beweisen Sie, dass dann für das Volumen V des von B durch Rotation um die x-Achse
erzeugten Körpers gilt:
V = 2πy0 |B|
Lösungsvorschlag:
Das Volumen des von B erzeugten Rotationskörpers ist nach dem Prinzip von Cavalieri:
Z b
(g(x)2 − f (x)2 ) dx
V =π
a
Es gilt weiter:
Z bZ
Z
2πy0 |B| =2π
g(x)
y dy dx
y d(x, y) = 2π
B
Z b
=2π
a
a
f (x)
1
1
2
2
(g(x)) − (f (x)) dx = V.
2
2
Aufgabe 4 (K):
Berechnen die folgenden Integrale (Hinweis: Normalbereiche):
R
x
(a) M cosh( y+1
) d(x, y),
M := {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y − x ≥ −1, y 2 − x − 1 ≤ 0}
R
(b) M (y + x2 ) d(x, y), wobei M das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 5), (5, 1) ist.
R
(c) M sin(z) d(x, y, z), wobei M die durch die Ebenen {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0}, {(x, y, z) ∈
R3 : y = 0}, {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} und {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 1} eingeschlossene Menge ist.
Lösungsvorschlag:
(a) Für (x, y) ∈ M gelten x ≤ y + 1 und x ≥ y 2 − 1. Die Schnittpunkte der beiden Kurven
x = y + 1 und x = y 2 − 1 sind also Lösungen von y 2 − y − 2 = 0, also −1 und 2. Wegen
y ≥ 0 bleibt nur y = 2 als Lösung. Der Normalbereich M hat also die Darstellung
M = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 2, y 2 − 1 ≤ x ≤ y + 1}.
Es folgt für das Integral
Z 2 Z y+1
Z
x
x
cosh(
) d(x, y) =
) dx dy
cosh(
y+1
y+1
M
0
y 2 −1
Z 2
=
((y + 1) sinh(1) − (y + 1) sinh(y − 1)) dy
0
=4 sinh(1) − (2 cosh(1) − 2 sinh(1)) = 2e −
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4
e
— bitte wenden —
(
5x
x ∈ [0, 1]
(b) Für (x, y) ∈ M gilt x ∈ [0, 5], sowie 15 x ≤ y ≤ f (x) mit f (x) =
.
6 − x x ∈ [1, 5]
Für das entsprechende Integral erhält man:
!
Z
Z
Z
5
f (x)
(y + x2 ) dy
(y + x2 ) d(x, y) =
0
M
dx
x/5
1
Z 5
25 2
1
3
( x + 5x ) dx +
=
( (6 − x)2 + x2 (6 − x)) dx
2
0
1 2
Z 5
1
1
( x2 + x3 ) dx = 86
−
5
0 50
Z
(c) Der Normalbereich ist eine Pyramide mit den Endpunkten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
und (0, 0, 12 ). Der Normalbereich ist damit gegeben durch die Punkte (x, y, z) mit der
Eigenschaft 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x und 0 ≤ z ≤ 21 (1 − x − y). Damit gilt nach
zweifacher Anwendung von Cavalieri:
Z
Z
1
Z
1−x
Z
sin(z) dzdydx
sin(z) d(x, y, z) =
M
1−x−y
2
0
0
0
1
1−x
1−x−y
)) dydx
2
0
0
Z 1
1−x
7
1
=
(1 − x − 2 sin(
)) dx = − + 4 cos( )
2
2
2
0
Z
=
Z
(1 − cos(
Anmeldung für die Klausur Die Klausur “Höhere Mathematik I/II (Analysis) für die
Fachrichtung Informatik” findet statt am 30.08.2016 von 08-00Uhr-10:00Uhr (Teil I) und
11:00Uhr-13:00Uhr (Teil II). Die Anmeldungen im CAS-System (keine Prüfungsnummer)
und QISPOS-System (Prüfungsnummer 265) sind möglich, sobald der Übungsschein als bestanden eingetragen ist. Der Anmeldeschluss ist der 16.08.2016. Spätere Anmeldungen können nicht berücksichtigt werden.
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davon, wie viele Punkte Sie gesammelt haben.
HM II –9
20.06.2016
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