解答例(１) 前回の問題 • δ＝0.8のとき3段階の交渉ゲームの、ゲーム の結果(均衡プレイ)を求めましょう。 A y B • 第１段階 n B n A A y y B n 解答例(２) – Aが提案 – Bは拒否すれば、次のランドでδ×(１－δ) – ゲームの結果 – (１－ δ(１－δ), δ(１－δ)) – δ＝0.8のとき – (0.84,0.16) ダイナミック・プログラミング • 動学的最適化(Dynamic programming)： – 時間とともにシステムが変化する状況での最適 化問題の解法 – 均衡が存在すると仮定して、その条件、性質を求 める – 経済学の多分野で用いられる – 詳しくは大学院で • 最終ラウンド(第３段階)： – 最後通牒ゲーム(Aが提案) – ゲームの結果 (１,０) • 第２段階 – Bが提案 – Aは拒否すれば、次のランドではδ×１＝δ – ゲームの結果 (δ,１－δ) 交互提案の交渉ゲーム • 交互に大きさ1のパイの分け方を提案 • 交渉回数は無制限 • 交渉が延びれば、パイはδの率で縮小 A y B n B n A y A y B n 2種類のサブゲーム • 無限回交渉ゲーム – 無限個のサブゲームを持つ – Aの提案から始まるサブゲーム – Bの提案から始まるサブゲーム • 2種類のサブゲームの均衡(SPE) – 均衡の関係から、均衡を求める 1 サブゲームの均衡 均衡の関係 • Aの提案から始まるサブゲーム • Aの提案XAに対するBの意思決定 • Bの提案から始まるサブゲーム 1 X A (1 X B ) • Bの提案XBに対するAの意思決定 – 均衡をXAとする – 均衡なので、AはXAを提案し、Bが承諾して終了 – ゲームの結果 (XA,1－XA) – 均衡をXBとする – 均衡なので、BはXBを提案し、Aが承諾して終了 – ゲームの結果 (XB,1－XB) – Bは提案を拒否しても承諾しても同じ – 拒否した場合：交渉が1段進んで、自分が提案 – 自分の提案で得られるのは δ×(1－XB) – 拒否して自分の提案で得られるのは δ×XA X B X A 部分ゲーム完全均衡 • 割引因子δ • サブゲームの均衡の関係式 1 X A (1 X B ) – 交渉のコスト＝待つことのコスト – 交渉を遅らせることで、交渉の果実が減る割合 – 我慢強い人ほど、将来の果実が減らない – 我慢強い＝待つことのコストが小さい X B X A – 連立方程式を解いて 1 , XB 1 1 • 提案するほうは、自分の取り分が1/(1+δ) XA 1 XB 1 1 • 異なる割引因子 – 2人の我慢強さが異なる場合 – 我慢強い人が交渉力があるのか？ 1 1 交渉費用が異なる場合 XB AX A • 部分ゲーム完全均衡 XA 1 B (1 B ) , XB A , 1 A B 1 A B 空脅しの戦略 • 最後通牒ゲーム • サブゲームの均衡の関係 1 X A B (1 X B ) – 連立方程式を解く 我慢強さ 1 XB – 割引因子が1に近いほど、取り分も大きい – 我慢強い人ほど、交渉力がある 1A 1 A B – Aが提案、交渉決裂の場合、利得はゼロ – 以下の戦略を考える – A: 山分けを提案 – B: 取り分が半分以上なら承諾、未満なら拒否 – この戦略の組はナッシュ均衡ではあるが、部分 ゲーム完全均衡ではない 2 ナッシュ均衡 • Bの戦略を固定した時のAの最適反応 – 山分けを提案 → 承諾 → 利得は1/2 – 戦略を変更 • 自分の取り分が半分未満 → 承諾 → 利得減 • 取り分が半分より多い → 拒否 → 利得ゼロ • Aの戦略を固定したときのBの最適反応 – 戦略を変更しても、利得は増えない • 空脅しが成功する場合のナッシュ均衡 代替手段 • 外部機会(Outside opportunity): – 交渉が決裂したときに得られる利得 – 交渉の対象とは無関係でもよい • 脅し点(Threat point)： – 外部機会のこと – 交渉が決裂しても得られるので、この点よりも不 利な点で合意する必要はない – 交渉力の源泉のひとつ 脅し点のある最後通牒ゲーム • バックワード・インダクション – – – – – Aが提案するので、Bの最適反応から求める Bは合意しなくても20万円もらえる 自分の取り分が20万円に満たなければ、拒否 20万円以上なら承諾 Aは、Bが承諾する提案の中で自分の取り分が最大にな るような提案をする – → (30万円、20万円) – 最後通牒ゲームでも、提案するものが独り占めとは限ら ない • Bの戦略 SPEではない – 自分の取り分が半分以上でなければ拒否 – もしAが、(0.8,0.2)という提案をした場合 • 拒否すれば利得はゼロ • 承諾すれば、0.2の取り分 • 一般に、0＜X＜1のどんなXについても – A：(X,1－X)という提案 – B：自分の取り分が(1－X)以上なら承諾 – ナッシュ均衡 協力の成果の配分 • A,Bが協力すると80万円手に入るが、協力し なければ、Aは10万円、Bは20万円もらえる。 • 2人の協力により発生する余剰は – 協力すれば2人で80万円 – しなければ2人で 10万円＋20万円＝30万円 – 余剰は 80万円－30万円＝50万円 嫉妬心、優越感 • 相手の取り分が自分の利得(効用)に影響を与える • 利得関数 u A x A ( x A xB ) uB x B ( xB x A ) • バックワード・インダクション – Aの提案をx1 – Bの最適反応は？ 3 2段階ゲーム 最後通牒ゲーム • Bの最適反応 – Aの最適反応をｘ1 → (xA,xB)＝(x1,1－x1) – Bは利得がゼロより小さければ拒否 1 (1 x1 ) [(1 x1 ) x1 ] 0, x1 1 2 – したがって、Bの最適反応は 1 1 x1 であれば拒否、 x1 であれば承諾 1 2 1 2 1 を提案 – Aの最適戦略 x1 1 2 • Bの提案に対するAの最適反応 – Aは、提案を拒否すると、交渉を1段階進めてδx＊得られる ので、Bの提案がそれ以上の利得(効用)をもたらすなら承諾 x2 [ x2 (1 x2 )] x1 [x1 (1 x1 )], ( 2 1) x2 (2 1) x1 x2 x1 (1 ) 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 今日の問題 4
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