統計量と確率変数

自習問題４
１．次の各設問における標本平均 X の期待値 E[ X ]と分散 V[ X ]を求めなさい。
（１）母集団が 2 項分布 B(50,1/3)に従うとする。この母集団から選んだ大きさ 30 の標本。
（２）母集団が λ = 5 のポアソン分布に従うとする。この母集団から選んだ大きさ 100 の標本。
（３）母集団が確率密度関数
f (x) = 1 / 30, 0 ≤ x ≤ 30
の一様分布に従うとする。この母集団から選んだ大きさ 10 の標本。
2
（４）母集団が正規分布 N (170, 6 ) とする。この母集団から選んだ大きさ 100 の標本。
２．母集団が正規分布 N (μ, 4) に従うとする。ここから、大きさ 9 の標本を選んだときの標本平均を X
とする。このとき、標準正規分布表を使って P (| X − μ |≥ 1) を求め、チェビシェフの不等式による評価
と比較しなさい。
３．X は E[X]=2,E[X2]=8 となる確率変数とする。このとき、チェビシェフの不等式を用いて、
P ( −2 < X < 6) となる確率の下限を求めなさい。
４．ある食品会社で製造しているお菓子について、一袋の包装の中に入っているお菓子の数が、平均 30
個、分散が 16 であることがわかっている。このとき、次の設問に答えなさい。
（１）母集団が正規分布に従うとするとき、お菓子が 32 個以上入っている確率を答えなさい。
（２）母集団の分布は未知であるとする。このとき、大きさ 100 の標本の標本平均が 30.5 個以上と
なる確率を答えなさい。
５．（１）男子学生 700 人、女子学生 300 人の学校で 10 人の学生を抽出したとき、抽出された学生中
に占める男子学生の割合（標本比率）の期待値と分散を答えなさい。
（ただし、母集団が 1000 人と少
なめなので、抽出が独立・同分布になることを保証するため、復元抽出（毎回の抽出は、それ以前に
抽出した学生も含める）であるとする。）
（２）上記の問題で、抽出する学生の人数を 100 人にした場合、抽出された学生中に占める男子学生
の割合（標本比率）が 80%以上になる確率を答えなさい。
６．X∼N(30,36) とする。このとき、次の設問に答えなさい。
（１）X>31 となる確率を求めよ。
（２） X >31 となる確率を求めよ。ただし、標本の大きさは 16 とする。
７．ある充電池が劣化して使用できなくなるまでの回数を調査したところ、平均 1180 回で、標準偏差
90 回であることが判明した。今、この充電池を 100 個買ってきて使い始めたとき、劣化して使用でき
なくなるまでの平均回数が 1165 回以下になる確率を求めなさい。
2
８．X を母集団とし、X1,X2,X3 を X から取った標本とする。 E[X ] = μ,V [X ] = σ とするとき、以下の
値を、 μ と σ で表せ。
（１） E[X1 + 2X2 − 1]
（２） V [X1 + 2X2 − 1]
（３） E[X1X22 X3 ]
（４） E[X1X2 + X2 ]
2
９．母集団 X の平均は μ 、分散は σ とする。このとき、以下の統計量を求めなさい。ただし、Xi は
i 番目の標本、標本の大きさは n とする。
2
（１） E  (2X − 3) 
n

 (Xi − 2)2 
 i =1

（２） E 
１０．あるピッチングマシンは、ボールを投げさせたとき飛距離の平均が 152 メートル、分散が 152 で
あることがわかっている。このマシンで 900 回投球させたとき、その飛距離の平均が 151 メートル以
上 153 メートル以下になる確率を答えなさい。
１１．あるメーカーで生産されている電球の寿命は、平均 1 万時間、分散 1002 であることが知られて
いる。この電球を 400 個抜き出して検査したとき、その平均寿命が 9990 時間以下である確率を答え
なさい。
１２．天秤で重さ 100 グラムの物体を測定する。1 回ごとに測定には誤差が生じるが、その誤差の確率
分布は N(0,0.1)に従うものとする。このとき次の設問に答えなさい。
（１）測定を 10 回繰り返したときの測定値の平均 X の標本分布を答えなさい。
（２）設問（１）のとき、 X − 100 > 0.3 となる確率を答えなさい。
（３） X − 100 < 0.1 となる確率を 0.9 以上にするためには何回測定を繰り返せばよいか答えなさい。
１３．教科書の p.171（付表 3）の χ
2
2
分布表を用いて次の値を答えなさい。
2
（１） χ4 (0.95)
2
（２） χ4 (0.05)
１４．X は自由度 6 の χ
2
（３） χ9 (0.95)
2
（４） χ9 (0.05)
分布に従う確率変数とする。このとき、教科書の p.171（付表 3）の χ
2
分
布表を用いて次の値を答えなさい。
（１）P(X≧2.204) （２）P(X≦2.204)
（３）P(X≦14.449)
１５．教科書 p.170（付表 2）の t 分布表を用いて次の値を答えなさい。
（１） t7 (0.05)
（２） t7 (0.95)
（３） t12 (0.05)
（４） t12 (0.95)
１６．T が自由度 10 の t 分布に従っているとする。このとき、教科書 p.170（付表 2）の t 分布表を用
いて次の値を答えなさい。
（１）P(T≧1.812)
（２）P(T≦‐1.812)
（３）P(T≦1.812)
（４）P(T≦1.948)
１７．標的を弓矢で射るものとする。標的の中心を原点するとき、矢の当たる場所を(X,Y)とすると、
X と Y は独立に N(0,2)に従うことがわかっている。的の半径が 2.772 とするとき、的に当たる確
率を教科書の p.171（付表 3）の χ
2
分布表を用いて答えなさい。

Download Report